高中数学复习指导：一道含有三角函数的不等式恒成立问题的5种解法

一道含有三角函数的不等式恒成立问题的5种解法 题目：设[0,]2
π
θ∈，且2cos 2sin 220m m θθ+--<恒成立，求m 的取值范围. 解法1（分离参数，构造函数，利用导数）：
不等式等价于21sin 2sin 220m m θθ-+--<，
2sin 2sin 210m m θθ-+--<，
2(2sin 2)sin 1m θθ-<+. ∵[0,]2
π
θ∈，sin [0,1]θ∈. （1）当sin 1θ=时，不等式显然成立.
（2）当sin [0,1)θ∈时，不等式等价于21sin 12sin 1
m θθ+>⋅-， 令sin ,x θ=211()([0,1))21x f x x x +=⋅∈-，则221(1)2()02(1)
x f x x --'=⋅<-， ()f x 是减函数， max 1()(0).2f x f ==-∴1.2
m >- 综上，m 的取值范围是1(,)2
-+∞. 解法2（利用二次函数的性质）：
不等式等价于21sin 2sin 220m m θθ-+--<，
即2sin 2sin 210m m θθ-+--<，
即2sin 2sin 210m m θθ-++>.
令sin x θ=，则22210x mx m -++>.
令222()221()21,[0,1].f x x mx m x m m m x =-++=--++∈
（1）当1m >时，min ()(1)20f x f ==>，符合题意.
（2）当01m ≤≤时，22min ()()21(1)20,f x f m m m m ==-++=--+>符合题意.
（3）当0m <时，min ()(0)210,f x f m ==+>∴1
0.2
m -<<
综上，m 的取值范围是1(,)2-+∞.
解法3（分离参数，再分离常数，一般可以利用基本不等式，但是本题中利用基本不等式时等号不成立，于是仍然利用函数的单调性）：
不等式等价于21sin 2sin 220m m θθ-+--<，
即2sin 2sin 210m m θθ-+--<，即2(2sin 2)sin 1m θθ-<+. ∵[0,]2
π
θ∈，sin [0,1]θ∈. （1）当sin 1θ=时，不等式显然成立.
（2）当sin [0,1)θ∈时，不等式等价于21sin 12sin 1
m θθ+>⋅-， 设sin 1x θ-=，则[1,0)x ∈-， 且221sin 11(1)112(2)2sin 122x x x x
θθ+++⋅=⋅=⋅++-， 令12()(2)2f x x x =⋅++，则212()(1)02f x x
'=⋅-<， ∴()f x 是减函数， ∴max 121()(12).212f x =⋅-++=--∴1.2
m >- 综上，m 的取值范围是1(,)2
-+∞. 解法4( 利用函数的图象):
不等式等价于21sin 2sin 220m m θθ-+--<，
即2sin 2sin 210m m θθ-+--<，即2sin 2sin 21m m θθ>--，
令 sin x θ=，则22(1)1x m x >--，[1,0]x ∈-.
在同一个坐标系中作出函数2()f x x =和()2(1)1g x m x =--的图象，
注意到()2(1)1g x m x =--的图象是以(1,1)-为端点的线段，
由图象可知只要(0)(0),f g >即021m >--，∴1.2m >-
即m 的取值范围是1(,)2
-+∞.
解法5(直接求导法，注意分类讨论，实际上与解法2类似，只是没有换元) ：
令2()cos 2sin 22f m m θθθ=+--，
()2cos sin 2cos 2cos (sin )f m m θθθθθθ'=-+=--. ∵[0,]2
π
θ∈，∴sin [0,1]θ∈，cos [0,1]θ∈， （1）当1m >时，()0f θ'>，(),f θ[0,]2
π
θ∈是增函数， max ()()20,2
f f π
θ==-<符合题意. （2）当01m ≤≤时，sin m θ<时，()0f θ'>，sin m θ>时，()0f θ'<， 2222max ()122221(1)20f m m m m m m θ=-+--=--=--< ，符合题意.
（3）当0m <时，min ()(0)210,f x f m ==+>∴10.2m -<<
综上，m 的取值范围是1(,)2-+∞.
在具体的题目中，应该选择适当的解法，本例中的解法1、解法2比较合适. 而这个题目：“当01x ≤≤时，不等式sin 2x
kx π≥恒成立，求实数k 的取值范围”
，则是利用图象比较合适，其答案是 (,1]-∞，请同学们作图求解.。