平面向量的数量积(一轮复习)
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第3课时 平面向量的数量积
考试说明
1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义． 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的 运算． 4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断 两个平面向量的垂直关系． 5．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题． 6．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问 题．
.【答案】[0,1 2]
4、【2015 高考湖南，理 8】已知点 A ，B ，C 在圆 x2 y2 1上运动，且 AB BC ，
若点P的坐标为 (2, 0) ，则 PA PB PC 的最大值为（ ）【答案】B.
A.6 B.7 C.8
D.9
课堂总结：
数量积的运算a b a b cos 、转化为坐标 平面向量向量的模（先平方，再展开运算） 向量的夹角cos a b
若 n⊥（tm+n），则实数 t 的值为 B
（A）4
（B）–4
9 （C） 4
9 （D）– 4
3、[2014·惠州调研] 已知向量 p＝(2，－3)，q＝(x，6)，且 p∥q，则|p＋q|的
值为( ) B
A. 5 B. 13 C．5 D．13
题型五：平面向量的范围问题
1、已知两向量 a，b，若|a|＝1，|b|＝2，则|a＋b|的范围是________．
(C) 600
(D)1200
题型四：平面向量的垂直平行
1、（2016 年全国 II 高考）已知向量 a (1, m)，a=(3, 2) ，且 (a + b) b ，则
m=（ ）D （A）－8 （B）－6 （C）6 （D）8
1 2、（2016 年山东高考）已知非零向量 m，n 满足 4│m│=3│n│，cos<m，n>= 3 .
cos
x,
sinx
,
x
0,
2
.
(I)若 a b .求x的值； (II)设函数 f x a b,求f x的最大值.
基础要点整合
[要点梳理]
一、两个向量的夹角
定义
范围
已知两个_非__零__向量 a，b，作O→A 向量夹角 θ 的范围是
＝a，O→B＝b，则∠AOB＝θ 叫做 _[_0_,π_]_，当 θ＝__0_或__π_
变式练习 (1) [2014·全国卷] 若向量 a, b 满足：| a | 1， (a b) a ，
(2a b) b ，则 | b | （ ）
[答案] (1) B
A．2
B. 2
C．1
2 D. 2
(2)已知向量 a，b 满足|a|＝6，|b|＝4，且 a 与 b 的夹角为 60°，求|a＋b|和
题型一 平面向量的数量积的运算
• 例1 (1)已知|a|＝2，|b|＝5，若：①a∥b； ②a⊥b；③a与b的夹角为30°， 分别求a·b.
【答案】 ①±10 ②0 ③5 3
练习（1）已知a，b的夹角为120°，且|a|＝4， |b|＝2，求：(a－2b)·(a＋b)； 【答案】 12
（2）已知单位向量 e1 与 e2 的夹角为 α，且 cos α ＝13，
8 向量 a＝3e1－2e2，b＝3e1－e2，则 a b ________．
例 2 (1)在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝4，则
A→B·A→C等于( )
A．－16 B．－8
C．8
D．16
(2)已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是 AB 边上
的动点，则D→E·C→B的值为________，D→E·D→C的最大值
ab
转化思想、数形结合
题型六： 综合应用
1 、（ 2013 年 高 考 四 川 卷 ） 在 ABC 中 , 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a,b,c , 且
2 cos2
A B cos B sin( A B)sin B cos( A C) 2
3 5
.
(Ⅰ)求 cos A的值;
转化思想、数形结合
题型二：平面向量的模（先平方，再展开运算）
例 3．（1）设向量 a，b 满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－12，则|a＋2b|
＝________.
答案 3
（2）已知单位向量 e1，e2 的夹角为 α，且 cos α ＝13.若向量
a＝3e1－2e2，则|a|＝________．
[答案] 3
2、（2016 年浙江高考）已知向量 a、b, ｜a｜ =1，｜b｜ =2，若对任意单位向量
e，均有 ｜a·e｜+｜b·e｜ 6 ,则 a·b 的最大值是
1 ．【答案】 2
3、（2016 年上海高考）在平面直角坐标系中，已知 A（1,0），B（0，-1），P 是
曲线 y 1 x2 上一个动点，则 BP BA 的取值范围是
若点P的坐标为 (2, 0) ，则 PA PB PC 的最大值为（ ）. 范围问题
A.6 B.7 C.8
D.9
怎么考？ 选择题、填空题
向量数量积的运算
考什么？ 向 向量 量的 的夹 模角
向量垂直、平行 范围问题
1 、（ 2013 年 高 考 四 川 卷 ） 在 ABC 中 , 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a,b,c , 且
规定0·a＝0. 当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝0. 2．a·b的几何意义 a·b等于 a的长度 |a|与 b在 a的方向上的 ___投__影_的__乘_积___．
3. a在b的方向上的投影为 |a|cos<a,b> .
2．向量数量积的性质 设 a，b 都是非零向量，e 是单位向量，θ 是 a 与 b 的夹角． (1)e·a＝a·e.
(2)a⊥b⇔a·b＝____0 ____．
(3)当 a 与 b 同向时，a·b＝___|a_|_|b_|__；当 a 与 b 反向时，a·b
＝___－__|a_|_|b_|；特殊地，a·a＝|a|2 或|a|＝ a·a.
(4)cos θ ＝________．
(5)|a·b|≤|a|·|b|.
3．向量数量积的运算律 (1)交换律：a·b＝b·a. (2)分配律：(a＋b)·c＝_a_·_c＋__b_·_c_． (3)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λ b)．
为________．
[答案] (1)D (2)1 1
总结：1、转化思想
平面向量的基本定理，
转化为用已知角已知模的向量表示未知向量
2、有直角可考虑建系简化问题
• 探究1 求平面向量数量积的步骤是： （1）①求a与b的夹角θ，θ∈[0°，180°]；
②分别求|a|和|b|； ③求数量积，即a·b＝|a||b|cosθ， (2)知道向量的坐标a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则求数量积时用公式a·b＝x1x2＋y1y2计算． (3)利用图形建立直角坐标系，转化为坐标运算
时，两向量共线，当
向量 a 与 b 的夹角(如图)
θ＝_ _π _ _ _ 时，两
2
向量垂直，记作 a⊥
Leabharlann Baidub.
二、平面向量数量积的定义
1．a，b是两个非零向量，它们的夹角为 θ，则数|a|·|b|·cos θ叫做a与b的数量积．记 作a·b，即a·b＝__________|a_||_b|_·.cos θ
2 cos2
A B cos B sin( A B)sin B cos( A C) 2
3 5
.
(Ⅰ)求 cos A的值;
(Ⅱ)若 a 4 2 , b 5 ,求向量 BA 在 BC 方向上的投影.
a
2、（2013 年辽宁）设向量
3 sin x,sin x
,b
怎么考？考什么？
平面向量数量积的运算 向量的模
平面向量的夹角
4
垂直、平行的向量
3、（2016 年上海高考）在平面直角坐标系中，已知 A（1,0），B（0，-1），
P 是曲线 y 1 x2 上一个动点，则 BP BA 的取值范围是
.
4、【2015 高考湖南，理 8】已知点 A ，B ，C 在圆 x2 y2 1上运动，且 AB BC ，
|a－3b|.
【答案】 2 19，6 3
题型三：平面向量的夹角 cos a b
ab
例 4 (1)a，b 为平面向量，已知 a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，
则 a，b 夹角的余弦值等于( ) A.685 B．－685 C.1665 D．－1665
【答案】 C
(2)[2014·江西卷理] 已知单位向量 e1 与 e2 的夹角为 α，且 cos α ＝13，向量 a＝3e1－2e2 与 b＝3e1－e2 的夹角为 β，则 cos β ＝________．
(Ⅱ)若 a 4 2 , b 5 ,求向量 BA 在 BC 方向上的投影.
a
2、（2013 年辽宁）设向量
3 sin x,sin x
,b
cos
x,
sinx
,
x
0,
2
.
(I)若 a b .求x的值； (II)设函数 f x a b,求f x的最大值.
[答案] 2 3 2
练习（1）已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，
且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为__【_答__案_】__．π3
（2）（2016
年全国
III
高考）已知向量
uuv BA
(
1 2
,
3) 2
,
uuuv BC
(
3 2
, 1), 2
则 ABC= A
(A)300 (B) 450
4．平面向量数量积的坐标表示 (1)若非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a·b＝x1x2＋y1y2，故 a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
(2)设 a＝(x，y)，则|a|＝________． (3)若两个非零向量 a＝(x1，y1)与向量 b＝(x2，y2)的 夹角为 θ，则 cos θ ＝a|a·||bb|＝ x21＋x1xy122·＋y1xy222＋y22.
考试说明
1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义． 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的 运算． 4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断 两个平面向量的垂直关系． 5．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题． 6．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问 题．
.【答案】[0,1 2]
4、【2015 高考湖南，理 8】已知点 A ，B ，C 在圆 x2 y2 1上运动，且 AB BC ，
若点P的坐标为 (2, 0) ，则 PA PB PC 的最大值为（ ）【答案】B.
A.6 B.7 C.8
D.9
课堂总结：
数量积的运算a b a b cos 、转化为坐标 平面向量向量的模（先平方，再展开运算） 向量的夹角cos a b
若 n⊥（tm+n），则实数 t 的值为 B
（A）4
（B）–4
9 （C） 4
9 （D）– 4
3、[2014·惠州调研] 已知向量 p＝(2，－3)，q＝(x，6)，且 p∥q，则|p＋q|的
值为( ) B
A. 5 B. 13 C．5 D．13
题型五：平面向量的范围问题
1、已知两向量 a，b，若|a|＝1，|b|＝2，则|a＋b|的范围是________．
(C) 600
(D)1200
题型四：平面向量的垂直平行
1、（2016 年全国 II 高考）已知向量 a (1, m)，a=(3, 2) ，且 (a + b) b ，则
m=（ ）D （A）－8 （B）－6 （C）6 （D）8
1 2、（2016 年山东高考）已知非零向量 m，n 满足 4│m│=3│n│，cos<m，n>= 3 .
cos
x,
sinx
,
x
0,
2
.
(I)若 a b .求x的值； (II)设函数 f x a b,求f x的最大值.
基础要点整合
[要点梳理]
一、两个向量的夹角
定义
范围
已知两个_非__零__向量 a，b，作O→A 向量夹角 θ 的范围是
＝a，O→B＝b，则∠AOB＝θ 叫做 _[_0_,π_]_，当 θ＝__0_或__π_
变式练习 (1) [2014·全国卷] 若向量 a, b 满足：| a | 1， (a b) a ，
(2a b) b ，则 | b | （ ）
[答案] (1) B
A．2
B. 2
C．1
2 D. 2
(2)已知向量 a，b 满足|a|＝6，|b|＝4，且 a 与 b 的夹角为 60°，求|a＋b|和
题型一 平面向量的数量积的运算
• 例1 (1)已知|a|＝2，|b|＝5，若：①a∥b； ②a⊥b；③a与b的夹角为30°， 分别求a·b.
【答案】 ①±10 ②0 ③5 3
练习（1）已知a，b的夹角为120°，且|a|＝4， |b|＝2，求：(a－2b)·(a＋b)； 【答案】 12
（2）已知单位向量 e1 与 e2 的夹角为 α，且 cos α ＝13，
8 向量 a＝3e1－2e2，b＝3e1－e2，则 a b ________．
例 2 (1)在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝4，则
A→B·A→C等于( )
A．－16 B．－8
C．8
D．16
(2)已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是 AB 边上
的动点，则D→E·C→B的值为________，D→E·D→C的最大值
ab
转化思想、数形结合
题型六： 综合应用
1 、（ 2013 年 高 考 四 川 卷 ） 在 ABC 中 , 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a,b,c , 且
2 cos2
A B cos B sin( A B)sin B cos( A C) 2
3 5
.
(Ⅰ)求 cos A的值;
转化思想、数形结合
题型二：平面向量的模（先平方，再展开运算）
例 3．（1）设向量 a，b 满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－12，则|a＋2b|
＝________.
答案 3
（2）已知单位向量 e1，e2 的夹角为 α，且 cos α ＝13.若向量
a＝3e1－2e2，则|a|＝________．
[答案] 3
2、（2016 年浙江高考）已知向量 a、b, ｜a｜ =1，｜b｜ =2，若对任意单位向量
e，均有 ｜a·e｜+｜b·e｜ 6 ,则 a·b 的最大值是
1 ．【答案】 2
3、（2016 年上海高考）在平面直角坐标系中，已知 A（1,0），B（0，-1），P 是
曲线 y 1 x2 上一个动点，则 BP BA 的取值范围是
若点P的坐标为 (2, 0) ，则 PA PB PC 的最大值为（ ）. 范围问题
A.6 B.7 C.8
D.9
怎么考？ 选择题、填空题
向量数量积的运算
考什么？ 向 向量 量的 的夹 模角
向量垂直、平行 范围问题
1 、（ 2013 年 高 考 四 川 卷 ） 在 ABC 中 , 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a,b,c , 且
规定0·a＝0. 当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝0. 2．a·b的几何意义 a·b等于 a的长度 |a|与 b在 a的方向上的 ___投__影_的__乘_积___．
3. a在b的方向上的投影为 |a|cos<a,b> .
2．向量数量积的性质 设 a，b 都是非零向量，e 是单位向量，θ 是 a 与 b 的夹角． (1)e·a＝a·e.
(2)a⊥b⇔a·b＝____0 ____．
(3)当 a 与 b 同向时，a·b＝___|a_|_|b_|__；当 a 与 b 反向时，a·b
＝___－__|a_|_|b_|；特殊地，a·a＝|a|2 或|a|＝ a·a.
(4)cos θ ＝________．
(5)|a·b|≤|a|·|b|.
3．向量数量积的运算律 (1)交换律：a·b＝b·a. (2)分配律：(a＋b)·c＝_a_·_c＋__b_·_c_． (3)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λ b)．
为________．
[答案] (1)D (2)1 1
总结：1、转化思想
平面向量的基本定理，
转化为用已知角已知模的向量表示未知向量
2、有直角可考虑建系简化问题
• 探究1 求平面向量数量积的步骤是： （1）①求a与b的夹角θ，θ∈[0°，180°]；
②分别求|a|和|b|； ③求数量积，即a·b＝|a||b|cosθ， (2)知道向量的坐标a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则求数量积时用公式a·b＝x1x2＋y1y2计算． (3)利用图形建立直角坐标系，转化为坐标运算
时，两向量共线，当
向量 a 与 b 的夹角(如图)
θ＝_ _π _ _ _ 时，两
2
向量垂直，记作 a⊥
Leabharlann Baidub.
二、平面向量数量积的定义
1．a，b是两个非零向量，它们的夹角为 θ，则数|a|·|b|·cos θ叫做a与b的数量积．记 作a·b，即a·b＝__________|a_||_b|_·.cos θ
2 cos2
A B cos B sin( A B)sin B cos( A C) 2
3 5
.
(Ⅰ)求 cos A的值;
(Ⅱ)若 a 4 2 , b 5 ,求向量 BA 在 BC 方向上的投影.
a
2、（2013 年辽宁）设向量
3 sin x,sin x
,b
怎么考？考什么？
平面向量数量积的运算 向量的模
平面向量的夹角
4
垂直、平行的向量
3、（2016 年上海高考）在平面直角坐标系中，已知 A（1,0），B（0，-1），
P 是曲线 y 1 x2 上一个动点，则 BP BA 的取值范围是
.
4、【2015 高考湖南，理 8】已知点 A ，B ，C 在圆 x2 y2 1上运动，且 AB BC ，
|a－3b|.
【答案】 2 19，6 3
题型三：平面向量的夹角 cos a b
ab
例 4 (1)a，b 为平面向量，已知 a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，
则 a，b 夹角的余弦值等于( ) A.685 B．－685 C.1665 D．－1665
【答案】 C
(2)[2014·江西卷理] 已知单位向量 e1 与 e2 的夹角为 α，且 cos α ＝13，向量 a＝3e1－2e2 与 b＝3e1－e2 的夹角为 β，则 cos β ＝________．
(Ⅱ)若 a 4 2 , b 5 ,求向量 BA 在 BC 方向上的投影.
a
2、（2013 年辽宁）设向量
3 sin x,sin x
,b
cos
x,
sinx
,
x
0,
2
.
(I)若 a b .求x的值； (II)设函数 f x a b,求f x的最大值.
[答案] 2 3 2
练习（1）已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，
且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为__【_答__案_】__．π3
（2）（2016
年全国
III
高考）已知向量
uuv BA
(
1 2
,
3) 2
,
uuuv BC
(
3 2
, 1), 2
则 ABC= A
(A)300 (B) 450
4．平面向量数量积的坐标表示 (1)若非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a·b＝x1x2＋y1y2，故 a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
(2)设 a＝(x，y)，则|a|＝________． (3)若两个非零向量 a＝(x1，y1)与向量 b＝(x2，y2)的 夹角为 θ，则 cos θ ＝a|a·||bb|＝ x21＋x1xy122·＋y1xy222＋y22.