《运筹学》整数规划

B1 A1 A2 A3 A4 年需求量 2 8 7 4 350 B2 9 3 6 5 400 B3 3 5 1 2 300 B4 4 7 2 5 150 年生产能力 400 600 200 200
工厂A3或A4开工后，每年的生产费用估计分别为1200万或1500万 元。现要决定应该建设工厂A3还是A4，才能使今后每年的总费用 最少。
min Z x1 5 x 2 x 1 x 2 2 5 x1 6 x 2 30 4 x1 x1 , x 2 0
LP
分支定界法
用图解法求松弛问题的最优解，如图所示。
x1＝18/11, x2 =40/11 Z=－218/11≈(－19.8) 即Z 也是IP最小值的下限。 对于x1＝18/11≈1.64， 取值x1 ≤1， x1 ≥2 对于x2 =40/11 ≈3.64，取值x2 ≤3 ，x2 ≥4 先将（LP）划分为（LP1） 和（LP2）,取x1 ≤1, x1 ≥2
⑵ x2 ⑴
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(18/11,40/11)
3 2 ⑶
1
1
2
3
x1
分支定界法
分支：
min Z x1 5 x 2
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min Z x1 5 x 2
x 1 x 2 2 x 1 x 2 2 5 x1 6 x 2 30 5 x1 6 x 2 30 ( IP 2) x1 4 ( IP 1) x1 4 x x 2 1 1 1 x1 , x 2 0且 为 整 数 x1 , x 2 0且 为 整 数
max z
c
j 1
n
j
xj
n ajxj B j 1 x 2 x1 s .t x x 1 4 3 x5 x6 x7 2 x 0或 者1 （ j 1,2, n） j
整数规划的特点及应用
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例5.3 指派问题或分配问题。人事部门欲安排四人到四个不 同岗位工作，每个岗位一个人。经考核四人在不同岗位的成 绩（百分制）如表所示，如何安排他们的工作使总成绩最好。
分别求出（LP1）和（LP2）的最优解。
分支定界法
先求LP1,如图所示。此时在B 点取得最优解。 x1＝1, x2 =3, Z(1)＝－16 找到整数解，问题已探明，此 枝停止计算。 同理求LP2,如图所示。在C 点 取得最优解。即: x1＝2, x2 =10/3, Z(2)＝－56/3≈－18.7 ∵Z(2)< Z(1)＝－16 ∴原问题有比－16更小的最优 解，但 x2 不是整数，故继续 分支。
分支定界法
例5.4 用分枝定界法求解整数规划问题
min Z x1 5 x 2 x 1 x 2 2 IP 5 x 6 x 30 1 2 4 x1 x1 , x 2 0且 全 为 整 数
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解：首先去掉整数约束，变成一般线性规划问题(原 整数规划问题的松驰问题)
整数规划的特点及应用
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解：这是一个物资运输问题，特点是事先不能确定应该建A3 还是A4中哪一个，因而不知道新厂投产后的实际生产物资。 为此，引入0-1变量：
1 若 建 工 厂 yi ( i 1,2) 0 若 不 建 工 厂
再设xij为由Ai运往Bj的物资数量，单位为千吨；z表示 总费用，单位万元。 则该规划问题的数学模型可以表示为：
⑵ x2 A 3 B (18/11,40/11) C D
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⑴
⑶
1
1
3
x1
分支定界法
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在（LP21）的基础上继续分枝。加入条件3≤x1≤2有下式： min Z x1 5 x 2 min Z x1 5 x 2
分别求出LP21和LP22的最优解
分支定界法
先求LP21,如图所示。此时D 在点取得最优解。 即 x1＝12/5≈2.4, x2 =3, Z(21)＝-87/5≈-17.4 < Z(1)=-16 但x1＝12/5不是整数，可继续 分枝。即 3≤x1≤2。 求LP22，如图所示。无可行解， 故不再分枝。
整数规划的特点及应用
用图解法求出最优解为：x1＝3/2, x2 = 10/3，且有Z = 29/6 现求整数解(最优解):如用舍 入取整法可得到4个点即(1， 3),(2，3),(1，4),(2，4)。显然， 它们都不可能是整数规划的最优 解。 按整数规划约束条件，其可行 解肯定在线性规划问题的可行域 内且为整数点。故整数规划问题 的可行解集是一个有限集，如右 图所示。其中(2,2),(3,1)点的目标函数
应该怎样选择投资项目，才能使总预期收益最大。
整数规划的特点及应用
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解：对每个投资项目都有被选择和不被选择两种可能，因此 分别用0和1表示，令xj表示第j个项目的决策选择，记为：
j投 资 1 对 项 目 xj ( j 1,2,..., n) j不 投 资 0 对 项 目
投资问题可以表示为：
要求每人做一项工作，约束条件为：
86 x 4 1 90 x 4 2 80 x 4 3 88 x 4 4
x11 x12 x13 x14 1 x 21 x 22 x 23 x 24 1 x 31 x 32 x 33 x 34 1 x 41 x 42 x 43 x 44 1
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变量约束：
x ij 0或1 ，i、j 1,2,3,4
整数规划的特点及应用
整数规划问题解的特征：
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整数规划问题的可行解集合是它松弛问题可行解 集合的一个子集，任意两个可行解的凸组合不一定 满足整数约束条件，因而不一定仍为可行解。 整数规划问题的可行解一定是它的松弛问题的可 行解（反之不一定），但其最优解的目标函数值不 会优于后者最优解的目标函数值。
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纯整数线性规划：指全部决策变量都必须取整数 值的整数线性规划。 混合整数线性规划：决策变量中有一部分必须取 整数值，另一部分可以不取整数值的整数线性规划。 0-1型整数线性规划：决策变量只能取值0或1的整 数线性规划。
整数规划的特点及应用
整数规划的典型例子
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例5.1 工厂A1和A2生产某种物资。由于该种物资供不应求，故需要 再建一家工厂。相应的建厂方案有A3和A4两个。这种物资的需求地 有B1,B2,B3,B4四个。各工厂年生产能力、各地年需求量、各厂至各 需求地的单位物资运费cij，见下表：
整数线性规划数学模型的一般形式：
max Z (或 min Z ) c j x j
j 1
n
n a ij x j bi ( i 1.2 m ) j 1 x j 0 (j 1.2n) 且 部 分 或 全 部 为 整 数
整数规划的特点及应用
整数线性规划问题的种类：
Chapter5 整数规划
( Integer Programming )
本章主要内容：
整数规划的特点及应用 分支定界法 分配问题与匈牙利法
整数规划的特点及应用
整数规划（简称：IP）
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要求一部分或全部决策变量取整数值的规划问题称为整 数规划。不考虑整数条件，由余下的目标函数和约束条件构 成的规划问题称为该整数规划问题的松弛问题。若该松弛问 题是一个线性规划，则称该整数规划为整数线性规划。
工作 人员 甲 乙 丙 丁
A 85 95 82 86
B 92 87 83 90
C 73 78 79 80
D 90 95 90 88
整数规划的特点及应用
设
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1 x ij 0
分配第i人做j工作时 不分配第i人做j工作时
数学模型如下：
max Z 85 x1 1 92 x1 2 73 x1 3 90 x1 4 95 x 2 1 87 x 2 2 78 x 2 3 95 x 2 4 82 x 3 1 83 x 3 2 79 x 3 3 90 x 3 4
⑵
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x2
A 3
⑴ (18/11,40/11)
B
C
⑶
1
1
3
x1
分支定界法
在IP2中分别再加入条件： x2≤3, x2≥4 得下式两支：
min Z x1 5 x 2 min Z x1 5 x 2
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x1 x 2 2 x 1 x 2 2 5 x 6 x 30 2 5 x1 6 x 2 30 1 4 4 x1 x1 ( IP 21) ( IP 22) 2 2 x1 x1 x2 x2 4 3 x1 , x 2 0且 为 整 数 x1 , x 2 0且为整数
整数规划的特点及应用
每项工作只能安排一人，约束条件为：
x11 x 21 x 31 x 41 x12 x 22 x 32 x 42 x13 x 23 x 33 x 43 x14 x 24 x 34 x 44 1 1 1 1
整数规划的特点及应用
例5.3 设整数规划问题如下
max Z x1 x 2 14x1 9 x 2 51 6 x1 3 x 2 1 x , x 0且 为 整 数 1 2
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首先不考虑整数约束，得到线性规划问题（一般称 为松弛问题）。
max Z x1 x 2 14x1 9 x 2 51 6 x1 3 x 2 1 x , x 0 1 2
混合整数规划问题
整数规划的特点及应用
Page来自百度文库7
例5.2 现有资金总额为B。可供选择的投资项目有n个，项目 j所需投资额和预期收益分别为aj和cj（j＝1,2,..,n），此外由 于种种原因，有三个附加条件： 若选择项目1，就必须同时选择项目2。反之不一定 项目3和4中至少选择一个； 项目5,6,7中恰好选择2个。
值最大，即为Z=4。
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x2
3
⑴
⑵
(3/2,10/3)
3
x1
整数规划的特点及应用
整数规划问题的求解方法：
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分支定界法和割平面法 匈牙利法（指派问题）
分支定界法
分支定界法的解题步骤：
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1）求整数规划的松弛问题最优解； 若松弛问题的最优解满足整数要求，得到整数规划的最优解,否则转下 一步； 2）分支与定界： 任意选一个非整数解的变量xi，在松弛问题中加上约束： xi≤[xi] 和 xi≥[xi]+1 组成两个新的松弛问题，称为分枝。新的松弛问题具有特征：当原问题 是求最大值时，目标值是分枝问题的上界；当原问题是求最小值时，目 标值是分枝问题的下界。 检查所有分枝的解及目标函数值，若某分枝的解是整数并且目标函数 值大于（max）等于其它分枝的目标值，则将其它分枝剪去不再计算，若 还存在非整数解并且目标值大于(max)整数解的目标值，需要继续分枝， 再检查，直到得到最优解。
整数规划的特点及应用
min z c ij x ij [1200y1 1500y 2 ]
i 1 j 1 4 4
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x11 x 21 x 31 x 41 350 x12 x 22 x 32 x 42 400 x13 x 23 x 33 x 43 300 x14 x 24 x 34 x 44 150 x x x x 400 11 12 13 14 s .t x 21 x 22 x 23 x 24 600 x 31 x 32 x 33 x 34 200y1 x 41 x 42 x 43 x 44 200y 2 x 0 ( i , j 1,2,3,4) ij y i 0,1 ( i 1,2)