《组合数学》教案-2章(母函数)

《组合数学》教案-2

章(母函数)

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

第二章母函数及其应用

问题：对于不尽相异元素的部分排列和组合，用第一章的方

2.0.1）。

新方法：母函数方法。

基本思想：把离散的数列同多项式或幂级数一一对应起来，算。

2.1 母函数

（一）母函数

（1）定义

3

【定义2.1.1】对于数列{}n a ，称无穷级数()∑∞

=≡

n n n x a x G 为该数列的（普通型）母函数，简称普母函数或母函数。 （2）例

【例2.1.1】有限数列r

n C （r ＝0, 1, 2, …, n ）的普母函数是：

()x G ＝n

n n n n n x C x C x C C ++++ 2210＝()n

x +1

【例2.1.2】无限数列{1, 1. …, 1, …}的普母函数是

()x G ＝ +++++n

x x x 2

1＝x

-11

（3）说明

● n a 可以为有限个或无限个。 ● 数列{}n a 与母函数一一对应。

{0, 1, 1, …, 1, …}↔ +++++n x x x 20＝

x

x -1 ● 将母函数视为形式函数，目的是利用其有关运算性质完成计数问题，故不考虑“收敛问题”，而且始终认为它是可“逐项微分”和“逐项积分”的。

（4）常用母函数

4

（二） 组合问题 （1）组合的母函数

【定理2.1.1】组合的母函数：设{}m m e n e n e n S ⋅⋅⋅=,,,2211 ,

且n 1＋n 2＋…＋n m ＝n ，则S 的r 可重组合的母函数为

()x G ＝∏∑==⎪

⎪⎭⎫ ⎝⎛m

i n j j i x 10＝∑=n r r

r x a 0

其中，r 可重组合数为r

x 之系数r a ，r ＝0, 1, 2, …, n 。

理论依据：多项式的任何一项与组合结果一一对应。

优点：

● 将无重组合与重复组合统一起来处理；

● 使处理可重组合的枚举问题变得非常简单。

（2）特例

【推论1】{}n e e e S ,,,21 =，则r 无重组合的母函数为

G (x )＝ (1＋x )n

组合数为r x 之系数r

n C 。

5

【推论2】{}n e e e S ⋅∞⋅∞⋅∞=,,,21 ，则r 无限可重组合的母函数为

G (x )＝ ()n n

j j x x -=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∑∞

=110 组合数为r x 之系数r r n 1C -+。

【推论3】{}n e e e S ⋅∞⋅∞⋅∞=,,,21 ，每个元素至少选一个：

母函数 G (x )＝n

n

j j x x x ⎪⎭⎫

⎝⎛-=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∑∞

=11 组合数 11C --n r

【推论4】{}n e e e S ⋅∞⋅∞⋅∞=,,,21 ，每个元素选非负偶数个：

母函数 G (x )＝(

)

n

n

x

x x +++++2421＝

()

n

x 211

-

组合数 r a ＝⎪⎩⎪

⎨⎧⎪⎭⎫

⎝

⎛-+为偶数

当为奇数当r r r n r ,2,12C ,0。 【推论5】{}n e e e S ⋅∞⋅∞⋅∞=,,,21 ，每个元素选奇数个：

母函数 G (x )＝()

n

n x x x x ++++++1253＝n

x x ⎪⎭

⎫

⎝⎛-21 组合数 ⎪⎩⎪

⎨⎧-⎪⎭⎫

⎝

⎛---+-=为偶数当为奇数

当n r n r n r n n r a r ,2,12C ,0 【推论6】S ＝{}m m e n e n e n ⋅⋅⋅,,,2211 ，且n 1＋n 2＋…＋n m ＝

6

n ，元素i e 至少出现i k 次：为

母函数 G (x )＝∏∑==⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛m

i n k j j i i x 1＝∑=n k r r

r x a

组合数 r a

r ＝k , k ＋1, …, n ，k ＝k 1＋k 2＋…＋k m 。

（3）一般情形：设S ＝{20.a ，30.b ，∞.c}，并设元素a 只能出现1～5，10，13，16次，b 只允许出现奇数次，c 至少出现5次且必须出现偶数次，求S 的r 可重组合的母函数。

G (x )＝()

16131052x x x x x x ++++++

()2953

x x x

x ++++ ()

++86x x

（三） 应用

【例2.1.3】设有2个红球，1个黑球，1个白球，问 （1） 共有多少种不同的选取方法，试加以枚举？ （2） 若每次从中任取3个，有多少种不同的取法？ （解）（1）元素符号化（x ，y ，z ↔红、黑、白球），元素的个数以符号的指数区分。母函数

G (x , y , z ) ＝(1＋x ＋x 2) (1＋y ) (1＋z )

＝1＋(x ＋y ＋z )＋(x 2＋xy ＋xz ＋yz )＋(x 2y ＋x 2z ＋xyz )＋( x 2yz )

5种情况：

① 数字1表示一个球也不取的情况，共有1种方案； ② 取1个球的方案有3种，即红、黑、白三种球只取1个；