高中数学(人教版)定积分的概念与性质课件

b
a
f ( x )dx
积分上限
b
[a , b ]
积分区间
n
f ( i ) xi a f ( x) d x lim 0 i 1
积分下限 被 积 函 数
b
被 积 表 达 式
T2 T1
积 分 变 量
积 分 和
注 (1)
A f ( x )dx , s v ( t )dt .
a a
性质2 设 a c b , 则
b a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
a c
c
b
可加性
不论a,b,c的相对位置如何,上述等式均成立
性质3 如果在区间 [a , b ]上 f ( x ) 1,那么
1dx dx b a
a a
a x 0 x1 x 2 x n 1 x n b .
2) 取近似.
T1 t 0 t1 t 2 t n1 t n T2
2) 取近似.
T1
Ai f ( i ) x i
n
3) 求和. A A i f ( i )xi
i 1
n
si v ( i )t i
)x i 4) 取极限. A lim f ( i取极限
0
i 1
n
i 1
4) 取极限.
不同点： 背景不同
相同点： 方法相同
（一）引例
1．曲边梯形的面积 1) 分割. 在[a , b]中任意插入 n –1 个分点 2.变速直线运动的路程 1) 分割. 在[T1 , T2]中任意插入 n –1 个分点
b a
f ( x )dx f ( )( b a ) (a b )
注
(1)几何解释 (2)实际意义
y
y f ( x)

b
a
f ( x )dx ba
f(x)在[a,b]上的平均值
o a
b x
小结
1．定积分的思想和方法：
分割
取近似
化整为零 以直(不变)代曲（变） 积零为整
b
不 等 式

b
a
f ( x )dx f ( x ) dx (a b )
注
如果在区间 [a , b ]上 f ( x ) 0, 且 f ( x ) 0, 那么

例 3
b
a
f ( x )dx 0 (a b )
下列积分哪一个较大？

2
1
ln xdx和

2
1
(ln x )2dx
一、定积分的概念
二、定积分的性质
定积分的概念与性质
一、定积分的概念
二、定积分的性质
约定
当 a b 时, 当 a b 时,

b
a b
f ( x )dx 0 f ( x )dx f ( x )dx
b
b b
a
a
性质1
设与 均为常数 ,则

注
b a
[ f ( x ) g ( x )]dx f ( x )dx g ( x )dx
b
b
性质4 如果在区间 [a , b ]上 f ( x ) 0, 那么 f ( x )dx 0 (a b )
a
b
推论1 如果在区间 [a , b ]上 f ( x ) g ( x ), 那么

推论2
b
a
f ( x )dx g ( x )dx (a b )
a
b a
T1 t 0 t1 t 2 t n1 t n T2
2) 取近似.
T1
Ai f ( i ) x i
n
3) 求和. A A i f ( i )xi
i 1
n
si v ( i )t i
t i 1 i t i
y f ( x)
y
A1 a
b
A3 A2 A4
A5
b x

a f ( x) d x A1 A2 A3 A4 A5
x轴上方图形面积减去x轴下方图形面积所得之差
例2 利用定积分的几何意义计算下列定积分
y
(1) xdx
0 5
o
y
(2)
a a
5
x
a 2 x 2 dx
a
o
a x
定积分的概念与性质
各个小区间的长度依次为
x1 x1 x 0 , x 2 x 2 x1 , , x n x n x n 1
在每个小区间 [ x i 1 , x i ]上任取一点 i ( x i 1 i x i ),作函数值 f ( i ) 与小区间长度 x的乘积 i
i 1
n
si v ( i )t i
4) 取极限. A lim f ( i )x i
0
i 1
n
i 1
4) 取极限.
不同点： 背景不同
相同点： 方法相同
数学形式相同
lim f ( i )x i
0
i 1
n
一、定积分的概念 （一）引例
（二）定义 （三）可积条件 （四）几何意义
a x 0 x1 x 2 x n 1 x n b .
2) 取近似.
T1 t 0 t1 t 2 t n1 t n T2
2) 取近似.
Ai f ( i ) 取近似 xi
n
求 和 3) 求和. A A i f ( i ) xi 3) 求和.
由近似到精确
求和
取极限
2．定积分的实质： 特殊和式的极限． 3．定积分的性质
i 1
n
si v ( i )t i
t i 1 i t i
v v (t )
T2 v (t )
4) 取极限. A lim f ( i )x i
0
i 1
n
i 1
v
o
T1 t1
ti 1 i ti
（一）引例
1.曲边梯形的面积 1) 分割. 在[a , b]中任意插入 n –1 个分点 2.变速直线运动的路程 1) 分割. 在[T1 , T2]中任意插入 n –1 个分点
T2 v (t )
4) 取极限. A lim f ( i )x i
0
i 1
n
i 1
y
o a x1
xi 1
i xi
（一）引例
1.曲边梯形的面积 1) 分割. 在[a , b]中任意插入 n –1 个分点 2.变速直线运动的路程 1) 分割. 在[T1 , T2]中任意插入 n –1 个分点
（一）引例
1.曲边梯形的面积
（一）引例
1.曲边梯形的面积 1) 分割. 在[a , b]中任意插入 n –1 个分点 2.变速直线运动的路程 1) 分割. 在[T1 , T2]中任意插入 n –1 个分点
a x 0 x1 x 2 x n 1 x n b .
2) 取近似.
f ( i ) x i ( i 1,2, , n ), 并作和
如果当 0 时,这和的极限总存在,
记 max x1 , x 2 , , x n ,
且与闭区间 [a , b ]的分法及点 i 的取法无关, 那么称这个极限 I 为函数 f ( x ) 在区间 [a , b ] 上的定积分(简称积分),记作
a
(2) 定积分是一个数! (3) 定积分仅与
b
a f ( x ) d x a f (t ) d t a f (u ) d u
无关 有关，与 ξ 的取法 i 积分区间 积分变量记法 b b
被积函数
区间分法
一、定积分的概念 （一）引例
（二）定义 （三）可积条件 （四）几何意义
一、定积分的概念 （一）引例
性质5
设M和m分别是函数 f ( x )在区间 [a , b ]上的最大值
及最小值,则 例 4
估计积分
m (b a ) f ( x )dx M (b a ) (a b )
a
b


0 2
e
x2 x
dx 的值
, 使下式成立:
性质6 （定积分中值定理） 如果函数f(x)在积分区间[a,b] 上连续,那么在[a,b]上至少存在一点
第一讲 定积分的概念与性质
定积分的概念与性质
一、定积分的概念
二、定积分的性质
定积分的概念与性质
一、定积分的概念
二、定积分的性质
一、定积分的概念 （一）引例
（二）定义 （三）可积条件 （四）几何意义
一、定积分的概念 （一）引例
（二）定义 （三）可积条件 （四）几何意义
（一）引例
1.曲边梯形的面积
a x 0 x1 x 2 x n 1 x n b .
几 何 问 题 2) 取近似. A f ( ) x
n
i
T1 t 0 t1 t 2 t n1 t n T2
2) 取近似.
3) 求和. A A i f ( i )xi 3) 求和.
一、定积分的概念 （一）引例
（二）定义 （三）可积条件 （四）几何意义
( x ) 上有界， [a , b ] 设函数 f 在
b] 在 [a ,中任意插入若干个分点
个小区间 n a x0 x1 x2 xn b , 把区间 [a ,分成 b]
[ x0 , x1 ],[ x1 , x2 ], ,[ xn1 , x n ],
i 1
n
i
i
物理问 si 题 v ( i )t i
4) 取极限. A lim f ( i )x i
0
i 1
n
i 1
4) 取极限.
不同点： 背景不同
（一）引例
1．曲边梯形的面积 1) 分割. 分割 在[a , b]中任意插入 n –1 个分点 2.变速直线运动的路程 1) 分割. 在[T1 , T2]中任意插入 n –1 个分点
（二）定义 （三）可积条件 （四）几何意义
一、定积分的概念 （一）引例
（二）定义 （三）可积条件 （四）几何意义
y
f( x) 0
y
f( x) 0
o a o
b
b x
a
b
x
a f ( x )dx A
曲边梯形面积
a
b
f ( x )dx A
曲边梯形面积的负值
在 [a , 上 b] 既取得正值又取得负值 f( x)
a x 0 x1 x 2 x n 1 x n b .
2) 取近似.
T1 t 0 t1 t 2 t n1 t n T2
2) 取近似.
Ai f ( i ) x i
n
3) 求和. A A i f ( i )xi 3) 求和.
（二）定义 （三）可积条件 （四）几何意义
定理1
设f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积.
定理2 设f(x)在[a,b]上有界，且只有有限个间断点，
则f(x)在[a,b]上可积. 例1 利用定义计算定积分
2 x dx . 1 0
y
y x2
o
i n
1x
一、定积分的概念 （一）引例