数学物理方程第四章 积分变换法(课堂PPT)

若函数 f (x) 以 f (x 2l) f (x) 为周期，即
则可取三角函数族
1，cos x,cos 2 sin xl,sin 2 xl
x, ,
… …
cos sin
n
l
，x …
n x， …
l
l
l
作为基本函数族，将f (x) 展开为级数
f (x)
= a0 + (an
n1
cosn
l
x
+bncos
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❖ 如要求 f (0) f (l) 0
这时应延拓为奇的周期函数，因为
sin
n
l
x│x
0
=0,
sin n
l
x∣x
l
=0;
如要求 f ' (0) f ' (l) 0
这时应延拓为偶的周期函数，因为余弦级 数的和的导数在 x 0 和 xl 为零
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❖ 对于函数u(x,t),-l<x<l,t≥0,展开为傅里叶级 数时，可将t视为参数，仅关于x展开为傅 里叶级数
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[Tn' (t)
n0
n2 2a2
l2
Tn (t)]co s
n
l
x
＝
f(x,t)
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❖ 方程左边是傅里叶余弦级数，提示我们把方程 右边也展开为傅里叶余弦级数，得到：
[T
' n
n0
n2 2a2
l2
Tn ]cos
n x
l
n0
fn (t) cos
n x
l
其中 fn (t) 为 f (x,t) 的傅里叶余弦级数的第n个
系列三角函数之和，即
f (x)
a0 2
[ak
cos kx bk
sin kx]
k 1
1 2π
ak π 0 f (x) cos kx d x
1 2π bk π 0 f (x) sin kxdx
2
4.1 傅里叶级数
❖ 傅里叶级数在应用上有以下优点：
能够表示不连续的函数、周期函数，能够对任意 函数作调和分析
l
函数的傅里叶系数必然相等，于是得 Tn(t)的非
零初始条件
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T0 (0) 0
1 l
l
( )d
o
Tn (0)
n
2 l
l
( ) cos
n
d
o
l
❖Tn(t)的常微分方程在初始条件下的解：
Tn
(t)=
e [
n2 2 l2
a2
t
fn
n2 2a2
(t)e l2
t
dt
n
fn (t)dt]
u(x,t)=
傅里叶系数。比较两边的系数，分离出T（n t）
的常微分方程
T
' n
n2 2a2
l2
Tn
=
fn (t)
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❖ 代入初始条件，得
Tn
n0
(0)
cos
n
l
x
=
(x)
=
n
n0
cos
n
l
x
❖ 其中为的傅里叶余弦级数的第n个傅里叶系数。
上式两边都是傅里叶余弦级数，由于基本函数
族的 cos n x 正交性，等式两边对应同一基本
( x ,t 0)
U ' (t; k) k 2a2U (t; k) F(t; k) U (t; k) |t0 0
f(x)= F(ω) ei x dω
其中 F(ω,t)=
1
2
u(x,t)[eix ]*dx
12
❖ 1 用傅里叶级数法解决有界细杆的热传导问题
ut a2uxx 0
第二类齐次边界条件下的本征函数：cos n x
l (0,1,2,…),
u(x,t)=
n0
Tn
(t
)co
s
n
l
x
把这个级数代入泛定方程，
{
e [
n2 2a2 l2
t
n0
fn
n2 2a2
(t)e l2
t
dt
n
fn
(t
)dt
]
}cos
n
l
x
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4.3无界空间的有源导热问题
❖ 1.一维无源导热问题和基本解 ❖ 2. 一维热传导问题 ❖ 3.一维有源导热问题。
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❖傅里叶变换法求解无界细杆的热传 导问题
ut a2uxx f (x,t) u |t0 0
u(x,t)=a0
(t)+
n1
(an
(t
)co
s
n
l
x
bn
(t
)
sin
n
l
x
)
其中展开系数不是常数，而是关于t的函数，
1
an (t) nl
l u( ,t) cos n d
l
l
1
bn (t) l
l u( ,t) sin n
l
l
d
9
4.2 傅里叶变换
❖ 一般说来，定义在区间（-∞<x<∞）上的函数 f(x)是非周期的，不能展开为傅里叶级数。为 了研究这样的函数的傅里叶展开问题，可试 将非周期函数f(x)看作是某个周期函数g(x)于 周期2l→∞时的极限情形。这样，g(x)的傅里 叶级数展开式
f
(x)
a0 2
ak
k 1
cos kx
而当信号具有反对称性（奇）特征时，ak=0，
f (x)
a0 2
bk sin kx
k 1
5
❖ 在研究热传导方程的过程中，为了简化原问题， 傅里叶建议将热导方程从时间域变换到频率域，
为此他提出了著名的傅里叶变换的概念。信号
f(x)的傅里叶变换定义为：
❖
fˆ ( ) f (x)eix dx,i 1
第四章 积分变换法 傅立叶变换与拉普拉斯变换
数学物理方程
1
1777年以前，人们普遍采用多项式函数P(x)来对信 N 1
号f(x)进行表征：f (x) P(x) anxn。 n0 1777年，数学家Euler在研究天文学时发现某些函
数可以通过余弦函数之和来表达。1807年，法国科学
家傅里叶进一步提出周期为2π的函数f(x)可以表示为
n
l
x
)
3
an
1
nl
l f ( ) cos n d
l
l
bn
1 l
l l
f ( )sin n
l
d
其中
n
2 1
(n 0) (n 0)
周期函数f(x)可以理解为由正弦波（含余弦与正 弦函数）叠加而成，其中an，bn为叠加的权值，表 示信号在不同频率时刻的谱幅值大小。
4
显然，当信号具有对称性（偶）特征时，bk=0，
g(x)=
a0 +
(anco s
n1
n
l
x
bn
sin
n
l
x
)
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❖ 在l→∞时的极限形式就是所要寻找的非 周期函数f(x)的傅里叶展开。
f(x)= 0 A() cos xd 0 B()sin xd
其中
1
A(ω)= f(ξ)sinωξdξ
B(ω)=
1
f(ξ)cosωξdξ
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复数形式的傅里叶积分
❖ 傅里叶变换建立R了信号时域与频域之间的关系，
频率是信号的物理本质之一。
6
❖ 设f(x)为[-π,π]上的有限信号，则f(x)的傅 里叶变换可简化为：
fˆ ( ) π f (x)eix dx π
❖ 对于只在有限区间，例如在上有定义的函数,可 采取延拓的方法，使其成为某种周期函数，而在 上，。然后再对作傅里叶级数展开，其级数和在 区间上代表f(x),由于f(x)在x=0和x=l无定义，因此 可以有无数种延拓方式，因而有无数种展开式， 它们在上均代表.有时，对函数在边界（区间的 端点）上的行为提出限制，即满足一定的边界条 件，这常常就决定了如何延拓。