《高等数学》专升本(2015-2016)第一节 导数的概念21 导数的概念

有了上式，求具体某一点，如 x0 = 1 处导数， 就很容易了，只要将 x0 = 1 代入即得
( x2 ) |x0 1 2.
例 3 表明，给定了 x0 就对应有函数 f (x) = x2 的导数值, 这样就形成了一个新的函数， 叫做函数
f (x) = x2 的导函数，它的表达式就是
(x2) = 2x . 一般地，函数 f (x) 的导函数记作 f (x)，它的 计算公式是：
解 求法与例 1 一样.
第一步求 y：
y = f (x0 + x) - f (x0) = (x0 + x)2 - x02
= 2x0x + (x) 2.
第二步求 y ：
x
y x
2x0x (x)2 x
2 x0
x.
第三步取极限：
lim
x0
y x
lim(2
x0
x0
x)
2x0 .
即
( x2 ) |xx0 2x0 .
v(t0
)
lim
t 0
s(t0
t ) t
s(t0
)
.
二、导数的定义
定义2 设函数 y = f (x) 在点 x0 的一个邻域内 有定义. 在 x0 处给 x 以增量 x (x0 + x 仍在上 述邻域内)， 函数 y 相应地有增量
y = f (x0 + x ) - f (x0) ，
如果 lim y 存在，则称此极限值为函数y = f (x) x0 x
s s(t0 t) s(t0 ) ,
t
t
在匀速运动中，这个比值是常量，但在变速运动
中，它不仅与 t0 有关，而且与 t 也有关，当 t
很小时， 如果当 t
显 趋于然0时st ，与平在均t0速时度刻的s速的度极相限近存似在. ，
t
则将这个极限值 叫做物体在 t0 时刻的瞬时速度，
简称速度， 记作 v (t0)，即
L
设曲线方程为 y = f (x).
y = f (x)
在点 P0(x0, y0) 处的附近取 一点 P(x0 + x , y0 + y ) .
那么割线 P0 P 的斜率为
tan y f ( x0 x) f ( x0 ) .O
x
x
PT
P0
x
y N
x0 x0+x x
如果当点 P 沿曲线趋向于点 P0 时，割线 P0P 的极限位置存在， 即点 P0 处的切线存在，
此刻 x 0， ， 割线斜率 tan 趋向切
线 P0 T 的斜率 tan ，即 y
L
tan lim f ( x0 x) f ( x0 ) .
x0
x
y = f (x)
PT
P0
x
y N
O
x0 x0+x x
2.变速直线运动的瞬时速度
如果物体作直线运动，在直线上选取坐标系， 该物体所处的位置坐标 s 是时间 t 的函数，记为 s = s(t)，则从时刻 t0 到 t0 + t 的时间间隔内它的 平均速度为
定义3 如果 lim f ( x0 x) f ( x0 )存 在 ， 则
x0
x
称此极限值为 f (x) 在点 x0 处的左导数，记作
f (x0)； 同样，如果 lim x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) 存在，
则称此极限值为 f (x) 在点 x0 处的右导数，记作
f +(x0) .
解 第一步求 y ：
y = f (1+ x) - f (1) = (1+ x)2 - 12 = 2x +(x)2 .
第二步求 y ：
x
y 2x (x)2 2 x (x 0).
x
x
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第三步求极限：
所以
lim y lim(2 x) 2.
x x0
x0
f (1) = 2.
三、导数的几何意义
函数 y = f (x) 在点 x0 处的导数的几何意义 就是曲线 y = f (x) 在点 (x0 ，f (x0)) 处的切线的斜
显然，f (x) 在 x0 处可导的充要条件是 f -(x0) 及 f +(x0) 存在且相等 .
定义4 如果函数 f (x) 在区间 I 上每一点可导，
则称 f (x) 在区间 I 上可导.
如果 I 是闭区间
[a, b]，则端点处可导是指 f +(a)、 f -(b) 存在 .
例 1 求函数 f (x) = x2 在 x0 = 1 处的导数，即 f (1).
f ( x) lim f ( x x) f ( x) .
x0
x
注意：计算极限过程中 x 是不变的.
类似例 3，我们可以得 xn (n为整数) 的导函数，
(xn)= nxn-1 .
当 n 为任意实数 时，上式仍成立，即
例如
(x ) = x -1 .
(
x
)
x
1 2
1 2
1
x2
2
1 x
，
1
在点 x0 处的导数. 即
记作
f（ x0）,或
y
|x x0
,或
dy dx
x x0
.
f ( x0 )
lim
x0
f
( x0
x) x
f ( x0 ) .
此时也称函数 f (x) 在点 x0 处可导. 如果上述极限不
存在，则称 f (x) 在 x0 处不可导. 有 时 为 了 突 出 自
变量 x，又叫函数 f (x) 对 x 的导数，记为yx .
解 从例 1 知 (x2) |x=1 = 2 , 即点 (1, 1) 处的
切线斜率为 2 ， 所以, 切线方程为
y – 1 = 2(x - 1).
即 法线方程为 即
y = 2 x - 1.
y 1 1 ( x 1). 2
y1 x3. 22
四、导函数
例 3 求函数 y = x2 在任意点 x0 ( , ) 处的导数.
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
一、引例：曲线的切线斜率、瞬时速度
1.曲线切线的斜率
定义1 设点 P0
是曲线
L
上的一个定点，点
P
是
曲线 L 上的动点，当点 P 沿曲线 L 趋向于点 P0 时，
如果割线 PP0 的极限位置 P0 T 存在，则称直线 P0 T
为曲线 L 在点 P0 处的切线. y
率, 即
y
tan = f (x0).
y = f (x)
P
O
x0
x
由此可知曲线 y = f (x)上点 P0 处的切线方程为
法线方程为
y - y0 = f ( x0)(x x0) .
y y0
f
(
1 x0
)
(
x
x0
)
( f ( x0 ) 0).
其中 y0 = f ( x0).
例 2 求曲线 y = x2 在点 (1, 1) 处的切线和 法线方程.
x
x 1
x 2
1 x2
.
例 4 求 f (x) = sin x 的导函数 ( x ( ， )).
解 f ( x) lim y lim f ( x x) f ( x)