基于截尾样本的最大似然估计
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1 t t e dt m
n m
(e t m ) n m ,
故上述观察结果出现的概率近似地为
n 1 t1 1 t2 1 tm t m n m dt m (e ) e dt1 e dt 2 e m
试求电池的平均寿命 的最大似然估计值 .
解
n 50,
m 15,
s( t15 ) 115 119 170 172 (50 15) 172
8270, 的最大似然估计值为
8270 ˆ 551.33 (小时). 15
三、小结
基于截尾样本的最大似然估计
时投入试验 , 试验进行到有 m 个 ( m 是事先规定的,
m n) 产品失效时停止 , m 个产品的失效时间分 别为 0 t1 t 2 t m , 这里 t m 是第m个产品的
失效时间 , 所得的样本 t1 , t 2 , , t m 称为定数截尾
样本 .
二、基于截尾样本的最大似然估计
验时间 , 它表示直到时刻 t 0 为止 n 个产品的试验
时间的总和.
例 设电池的寿命服从指数分布, 其概率密度为
f (t ) 0,
1
e t , t 0,
t 0,
0 未知.
随机地取50只电池投入寿命试验, 规定试验进行到 其中有15只失效时结束试验, 测得失效时间(小时) 为115, 119, 131, 138, 142, 147, 148, 155, 158, 159, 163, 166, 167, 170, 172.
止, 如试验截止时共有 m 个产品失效 , 它们的失效
时间分别为 0 t1 t 2 t m t 0 , 此时 m 是一 个随机变量 , 所得的样本 t1 , t2 , , tm 称为定时截 尾样本 .
② 定数截尾寿命试验
假设将随机抽取的 n 个产品在时间 t 0 时同
1 [ t1 t 2 t m ( n m ) t m ] n 1 me dt1dt 2 dt m , m
其中dt1 , dt2 , , dtm 为常数 .
取似然函数为
对数似然函数为
L( )
1
me
1 [ t1 t 2 t m ( n m ) t m ]
的失效时间 , 这样得到的样本 (即由所有产品的失
效时间 0 t1 t 2 t n 所组成的样本 )叫完全
样本 .
(一种典型的寿命试验)
如果不能得到完全样本, 就考虑截尾寿命试验.
(3) 两种常见的截尾寿命试验
① 定时截尾寿命试验
假设将随机抽取的 n 个产品在时间 t 0 时同 时投入试验,试验进行到事先规定的截尾时间 t 0 停
即有 n m 个产品的寿命超过 tm .
利用最大似然估计法来 估计 ,
为了确定似然函数, 观察上述结果出现的概率.
产品在 ( t i , t i dt i ] 失效的概率近似地为
f (ti )dti
1
e dti , i 1, 2, , m.
ti
其余 n m 个产品寿命超过 t m 的概率为
k n
似然函数
L C 1 e
lnL ln C
k n
e k ln1 e n k T
T0 k T0 n k
T0
0
dlnL kT0 e n k T0 0 T0 d 1 e
T0
keT0 n k 1 eT0 0
验时间 , 它表示直到时刻 tm 为止 n 个产品的试验 时间的总和 .
(2) 定时截尾样本的最大似然估计
设定时截尾样本
0 t1 t 2 t m t 0 , (其中 t 0 是截尾时间)
与上面讨论类似, 可得似然函数为 1 1 [ t1 t2 tm ( n m ) t0 ] L( ) m e , s( t 0 ) ˆ , 的最大似然估计值为 m 其中 s( t0 ) t1 t 2 t m ( n m )t0 称为总试
第二节 基于截尾样本的最大似 然估计
一、基本概念 二、基于截尾样本的最大似然估计 三、小结
一、基本概念
(1) 寿命分布的定义
产品寿命T是一个随机变量, 它的分布称为寿 命分布.
(2) 完全样本的定义
将随机抽取的 n 个产品在时间 t 0 时, 同时 投入试验直到每个产品都失效 . 记录每一个产品
设产品的寿命分布是指数分布, 其概率密度
为
f (t ) 0,
1
e , t 0,
t 0,
t
0 未知.
(1) 定数截尾样本的最大似然估计
设有n个产品投入定数截尾试验,截尾数为m, 得定数截尾样本 0 t1 t 2 t m , 现在要利用
这一样本估计未知参数 (即产品的平均寿命 ) . 而有 n m 个产品在 tm 时尚未失效 ,
.
ln L( ) m ln [t1 t 2 t m ( n m )t m ]
1
令
d m 1 ln L( ) 2 [t1 t 2 t m ( n m )t m ] d 0
于是得到 的最大似然估计值为
s( t m ) ˆ . m 其中 s( t m ) t1 t 2 tm ( n m )t m 称为总试
定时截尾寿命试验 两种常见的截尾寿命试验 定数截尾寿命试验
s( t 0 ) ˆ 定时截尾样本的最大似然估计: , m s( t m ) ˆ 定数截尾样本的最大似然估计: . m
e , t 0, f (t ) 其他， 0,
其中
t
>0
未知。从这批器件中任取n只在时刻
e
T0
nk n
解得λ的最大似然估计为
1 n T0 ln n k
t0
时投入独立
寿命试验。试验进行到预定时间 T0 结束. 此时, 有k(0<k<n)只器件失效 , 试求λ的最大似然估计。
.
Байду номын сангаас
解
T的分布函数为
F (t )
t 1 e , t 0,
0,
其他，
PT T0 1 eT0 ,
PT > T0 eT0 ,
n m
(e t m ) n m ,
故上述观察结果出现的概率近似地为
n 1 t1 1 t2 1 tm t m n m dt m (e ) e dt1 e dt 2 e m
试求电池的平均寿命 的最大似然估计值 .
解
n 50,
m 15,
s( t15 ) 115 119 170 172 (50 15) 172
8270, 的最大似然估计值为
8270 ˆ 551.33 (小时). 15
三、小结
基于截尾样本的最大似然估计
时投入试验 , 试验进行到有 m 个 ( m 是事先规定的,
m n) 产品失效时停止 , m 个产品的失效时间分 别为 0 t1 t 2 t m , 这里 t m 是第m个产品的
失效时间 , 所得的样本 t1 , t 2 , , t m 称为定数截尾
样本 .
二、基于截尾样本的最大似然估计
验时间 , 它表示直到时刻 t 0 为止 n 个产品的试验
时间的总和.
例 设电池的寿命服从指数分布, 其概率密度为
f (t ) 0,
1
e t , t 0,
t 0,
0 未知.
随机地取50只电池投入寿命试验, 规定试验进行到 其中有15只失效时结束试验, 测得失效时间(小时) 为115, 119, 131, 138, 142, 147, 148, 155, 158, 159, 163, 166, 167, 170, 172.
止, 如试验截止时共有 m 个产品失效 , 它们的失效
时间分别为 0 t1 t 2 t m t 0 , 此时 m 是一 个随机变量 , 所得的样本 t1 , t2 , , tm 称为定时截 尾样本 .
② 定数截尾寿命试验
假设将随机抽取的 n 个产品在时间 t 0 时同
1 [ t1 t 2 t m ( n m ) t m ] n 1 me dt1dt 2 dt m , m
其中dt1 , dt2 , , dtm 为常数 .
取似然函数为
对数似然函数为
L( )
1
me
1 [ t1 t 2 t m ( n m ) t m ]
的失效时间 , 这样得到的样本 (即由所有产品的失
效时间 0 t1 t 2 t n 所组成的样本 )叫完全
样本 .
(一种典型的寿命试验)
如果不能得到完全样本, 就考虑截尾寿命试验.
(3) 两种常见的截尾寿命试验
① 定时截尾寿命试验
假设将随机抽取的 n 个产品在时间 t 0 时同 时投入试验,试验进行到事先规定的截尾时间 t 0 停
即有 n m 个产品的寿命超过 tm .
利用最大似然估计法来 估计 ,
为了确定似然函数, 观察上述结果出现的概率.
产品在 ( t i , t i dt i ] 失效的概率近似地为
f (ti )dti
1
e dti , i 1, 2, , m.
ti
其余 n m 个产品寿命超过 t m 的概率为
k n
似然函数
L C 1 e
lnL ln C
k n
e k ln1 e n k T
T0 k T0 n k
T0
0
dlnL kT0 e n k T0 0 T0 d 1 e
T0
keT0 n k 1 eT0 0
验时间 , 它表示直到时刻 tm 为止 n 个产品的试验 时间的总和 .
(2) 定时截尾样本的最大似然估计
设定时截尾样本
0 t1 t 2 t m t 0 , (其中 t 0 是截尾时间)
与上面讨论类似, 可得似然函数为 1 1 [ t1 t2 tm ( n m ) t0 ] L( ) m e , s( t 0 ) ˆ , 的最大似然估计值为 m 其中 s( t0 ) t1 t 2 t m ( n m )t0 称为总试
第二节 基于截尾样本的最大似 然估计
一、基本概念 二、基于截尾样本的最大似然估计 三、小结
一、基本概念
(1) 寿命分布的定义
产品寿命T是一个随机变量, 它的分布称为寿 命分布.
(2) 完全样本的定义
将随机抽取的 n 个产品在时间 t 0 时, 同时 投入试验直到每个产品都失效 . 记录每一个产品
设产品的寿命分布是指数分布, 其概率密度
为
f (t ) 0,
1
e , t 0,
t 0,
t
0 未知.
(1) 定数截尾样本的最大似然估计
设有n个产品投入定数截尾试验,截尾数为m, 得定数截尾样本 0 t1 t 2 t m , 现在要利用
这一样本估计未知参数 (即产品的平均寿命 ) . 而有 n m 个产品在 tm 时尚未失效 ,
.
ln L( ) m ln [t1 t 2 t m ( n m )t m ]
1
令
d m 1 ln L( ) 2 [t1 t 2 t m ( n m )t m ] d 0
于是得到 的最大似然估计值为
s( t m ) ˆ . m 其中 s( t m ) t1 t 2 tm ( n m )t m 称为总试
定时截尾寿命试验 两种常见的截尾寿命试验 定数截尾寿命试验
s( t 0 ) ˆ 定时截尾样本的最大似然估计: , m s( t m ) ˆ 定数截尾样本的最大似然估计: . m
e , t 0, f (t ) 其他， 0,
其中
t
>0
未知。从这批器件中任取n只在时刻
e
T0
nk n
解得λ的最大似然估计为
1 n T0 ln n k
t0
时投入独立
寿命试验。试验进行到预定时间 T0 结束. 此时, 有k(0<k<n)只器件失效 , 试求λ的最大似然估计。
.
Байду номын сангаас
解
T的分布函数为
F (t )
t 1 e , t 0,
0,
其他，
PT T0 1 eT0 ,
PT > T0 eT0 ,