分块矩阵在证明矩阵秩的性质上的应用

B⎤ D⎥⎦
=
⎡ ⎢⎣
A 0
B⎤ D − CA−1B⎥⎦
所以
⎡A ⎢⎣C
B⎤ D⎥⎦
=
⎡E ⎢⎣−CA−1
0⎤ ⎡A E⎥⎦ ⎢⎣C
B⎤ D⎥⎦
=
⎡A ⎢⎣ 0
B⎤ D − CA−1B⎥⎦
= A D − CA−1B
又因为 D−CA−1B = D− A−1CB = D− A−1AB = D−D=0
从而 G = 0 ，因此，秩 G < 2n ，又 A ≠ 0, 所以，秩 G ≥ n ，
又因为
（1）
⎡ Es ⎢⎣− A′
0 ⎤ ⎡Es E⎥⎦ ⎢⎣ A′
A⎤ E ⎥⎦
=
⎡ ⎢⎣
Es 0
A⎤ E − A′A⎥⎦
* 收稿日期：2006-07-28
作者简介：刘 力（1960— ），女，河北深泽人，沧州师专数学系副教授。
·39·
同理可得
秩
⎡ ⎢⎣
Es A′
A⎤ E ⎥⎦
=秩
⎡ ⎣⎢
Es 0
1985，（3）. [2] 张禾瑞，郝炳新.高等代数(第四版)[M].人民教育出版社，
1995. [3] 武汉大学数学系. 线性代数[M].高等教育出版社，1980.
[责任编辑：尤书才]
(上接第 33 页)
所有创造性修辞行为都具备逻辑上不可能推出的特征，即 现有的知识和经验与创造性结果之间没有指向清晰的必然性。 生活常识和思维逻辑给了我们确定的预见，但创造总是以完全 另类的形式出现在意料之外。基于这种“不合逻辑”的推理形 式，创造性修辞有了强大的生产能力，它只需突破人类既成的 语言系统所固化的概念体系，在任意两个语言片段间建立发生 关系的可能，就能带我们进入无数与生活常态迥然不同的崭新 世界。这是一个硬要“驴唇”对“马嘴”的语言游戏，当然， 据此理论，“驴唇”还可以对“鱼嘴”、对“水瓶嘴”、对“打 气筒嘴”，不一而足，只要够新鲜、够惊艳就好。
就情感描绘型整蛊短信的创制而言，也是这样一个从“不 可能”中寻求“可能”的过程。短信的前后两部分为我们描绘 了两幅意境大相径庭的画面。第一幅画面中有“天空”有“阳 光”（例 2），有“哭泣”有“痛楚”（例 3），有“控制不住” 的感情（例 4），有“写满名字”的痴狂（例 5）。总之，意境 浪漫唯美，深情款款。尽管画面上只出现了一个人物，但我们 分明看到他在对爱人倾心表白。当我们将目光转向第二幅画 面，却看到了那示爱的对象竟然是个被“小偷”偷走的钱包（例 1），是只蔚蓝海边的“小乌龟”（例 2），是头集市上待卖的“小 猪”（例 3）；示爱的语言成了人们常用的问候语“吃了吗”（例 4）；示爱的结果是最终“被警察带走”了（例 5）。是情感描绘 性的语言表述使我们的视线指向发生了偏差，使两幅画面共同 组成了一个荒诞、滑稽的两格漫画。了解了此类短信的创造性 心理基础，我们只需再具备一定的语言表达能力和类似电影 “蒙太奇”手法的画面切割、替换能力，就能在这片领地中挥
性质 1 秩 ( A + B) ≤ 秩[ A ]B ≤ 秩 A +秩 B 。其中
A, B 均为 m × n 矩阵。
证明 因为
⎡A ⎢⎣ 0
B⎤ ⎡E 0 ⎥⎦ ⎢⎣E
0⎤ 0⎥⎦
=
⎡ ⎢⎣
A
+ 0
B
0⎤ 0⎥⎦
于是由引理 1 得
秩
(
A
+
B)
=
秩
⎡ ⎢⎣
A
+ 0
B
0⎤ 0⎥⎦
≤
秩
⎡A ⎢⎣ 0
B 0
⎤ ⎥⎦
( BC )
所以，秩 ( ABC ) =秩 ( BC ) 证毕。
推 论 设 A 为 n 阶 矩 阵 ， 证 明 秩 An = 秩 An+1 = 秩
An+2 =""
证 明 因 为 n = 秩 E = 秩 A0 ≥ 秩 A ≥ 秩 A1 ≥ 秩
秩
A
≤
秩
⎡B ⎢⎣ D
0⎤ 0⎥⎦
+
秩
⎡0 ⎢⎣0
C⎤ G ⎥⎦
总之，情感描绘型整蛊短信的出现、创制和修辞效果的达 成，都有其深厚的认知心理学基础。了解了这些相应的心理机 制，有助于我们与写作者一同享受修辞创造的乐趣。
[责任编辑：商隶君]
·41·
洒自如，创制出属于自己的个性化短信了。
三、情绪动力学因素
情感描绘型整蛊短信之所以能够使人产生忍俊不禁的修 辞效果，基于人的情感与理智的不同步性。有关生理学角度的 研究证明，情绪由发生学上古老而又庞大的交感神经系统及其 同源激素引起，再进一步作用于全身；而概念的思维活动过程 则仅仅局限于大脑顶部的新生的皮层。日常生活的经验告诉我 们，在对一件事情的理解上，常会发生“道理我都懂，但感情 上一时接受不了”的困惑。这就说明，人的情绪发展与理智指 向相比相对滞后。当理智截住了情绪的去路让它与其一同转弯 的时候，情绪却“刹不住车”，宁愿一泻千里。此时，这种向 前冲的惯性转化为一种宣泄的动力释放出来，才能使情绪收住 脚步，调整方向。在情感描绘型整蛊短信中，这种情绪宣泄的 方式就是笑。短信开始部分那如诗如画、如梦如幻的诗意语言 起到了充分煽情的作用，理智却随后告诉我们这深情用错了地 方，被高高吊起的情绪期待无法被一句简单平易的“吃了吗” （例 4）迅速平复，更无法马上接受“被警察带走”（例 5）这 种荒诞的示爱结局。澎湃的情绪东奔西突找不到去路，笑便成 为必然的宣泄方式喷涌而出。
A⎤ E − A′A⎦⎥ =
所以，秩 A ≤ 秩 B +m − s + t − n ，即， 秩 B ≥ 秩 A +s + t − m − n 证毕。
性质 5 已知，秩 ( AB) =秩 B ，试证对任意可右乘矩阵
秩 (E − A′A) + s
（2）
C ，有 秩 ( ABC ) =秩 ( BC )
（1）、（2）式相减即得
第 22 卷第 4 期 2006 年 12 月
沧州师范专科学校学报
Journal of Cangzhou Teachers’College
No.4 Vol.22 Dec.2006
分块矩阵在证明矩阵秩的性质上的应用
刘力
（沧州师专 数学系，河北 沧州 061001）
摘 要：分块矩阵有非常广泛的应用，特别利用分块矩阵证明矩阵秩的性质显得非常简洁，而且方法也比较
秩 (Es − A′A) = n − s
证明
因为
⎡ Es ⎢⎣ A′
A⎤ ⎡ Es E⎥⎦ ⎢⎣− A′
0⎤ E ⎥⎦
=
⎡ Es ⎢ ⎣
− AA′ 0
A⎤ E ⎥⎦
于是由引理 1、3、4 得
秩
⎡ ⎢⎣
Es A′
A⎤ E ⎥⎦
=秩
⎡ Es ⎢ ⎣
− AA′ 0
A⎤ E ⎥⎦
=
秩 (Es − AHale Waihona Puke Baidu′) + n
统一，有其独特的优越性。
关键词：分块矩阵；可逆矩阵；矩阵的秩
中图分类号：O154
文献标识码：A
文章编号：1008-4762(2006)04-0039-03
首先约定用 E 表示 n 阶单位矩阵，Es 表示阶 S 单位矩阵。
再给出基本而简单的事实，作为以下引理。 引理 1 矩阵乘积的秩不大于每一个因子的秩，两个因子
+
秩
⎡ ⎢ ⎣
0 B
⎤ ⎥ ⎦
=秩
As + m −
s ，证毕
。
性质 4 设 A 为 m × n 矩阵， B 是 A 的一个 s × t 矩阵，
则
秩 B ≥秩 A +s +t − m − n 证明 不妨设 B 位于 A 的左上角，且设
A
=
⎡B ⎢⎣ D
C⎤ G ⎥⎦
=
⎡B ⎢⎣ D
0⎤ 0⎥⎦
+
⎡0 ⎢⎣0
=
由性质 3
秩
⎡ ⎢⎣
B D
⎤ ⎥⎦
+
秩
⎡C ⎢⎣G
⎤ ⎥⎦
又因为
秩
⎡ ⎢⎣
B D
⎤ ⎥⎦
≤
秩
B
+
m
−
s
秩
⎡C ⎤ ⎢⎣G ⎥⎦
≤
n
−
t
·40·
A2 "" ≥ 秩 An ≥ 0 ,于是必有正整数 k (0 ≤ k ≤ n) 使，
秩 Ak = 秩 Ak +1 ， 由 性 质 5 得 ， 秩 An = 秩 An+1 = 秩
An+2 =""
性 质 6 设 A, B, C, D 皆 为 n 阶 矩 阵 ，
AC = CA, AD = CB, 且 A ≠ 0, 若
G
=
⎡A ⎢⎣C
B⎤ D⎥⎦
则有， n ≤ 秩 G < 2n 。
证明 因为 A ≠ 0, 所以秩 G ≥ n ，且 A−1 存在，又
⎡E ⎢⎣−CA−1
0⎤⎡A E⎥⎦ ⎢⎣C
秩 (E − A′A) —秩 (Es − A′A) = n − s 证毕。
性质 3 设 A 为 m × n 矩阵， As 是从 A 中取 s 行
得到的矩阵，则
证明 由引理 1 得 ，秩 ( ABC ) ≤ 秩 ( BC ) ，因为
⎡ AB
⎢ ⎣
B
ABC ⎤ ⎡E
0
⎥ ⎦
⎢ ⎣
0
C −E
⎤ ⎥ ⎦
=
⎡ ⎢ ⎣
综上得证。 利用分块矩阵证明矩阵秩的性质，一般采用两种方法，一
种是用已知矩阵作为元素拼成高阶矩阵来证明，如性质 1、2、 5、6；另一种方法是将已知矩阵拆成低阶矩阵来证明，如性质 3、4。这两种方法在证明矩阵秩的性质时都是很有效的，几乎 所有的矩阵秩的性质，都可用分块矩阵来证明。
参考文献： [1] 杨子胥. 用分块矩阵证明矩阵秩的一些性质[J].数学通报，
中有一个是可逆的，它们乘积的秩等于另一个因子的秩。
引理 2
秩
A
+秩
B
≤
秩
⎡A ⎢⎣C
0⎤
B
⎥ ⎦
⎡A B⎤ ⎡A 0⎤
引理 3
秩
⎢ ⎣
0
B⎥⎦
=秩
⎢ ⎣
0
B
⎥ ⎦
=秩
A
+秩
B
⎡ AB C ⎤ ⎡ 0 C ⎤
引理 4
秩⎢ ⎣
B
0
⎥ ⎦
=秩
⎢ ⎣
B
0
⎥ ⎦
引理 5 秩 ( A + B) ≤ 秩 A +秩 B
AB B
0⎤
BC
⎥ ⎦
于是由引理 1、4 得
秩 As ≥ 秩 A + s − m
证明 不妨设 As 是 A 的前 s 行，而后 m − s 行构成的 矩阵为 B ，则
A
=
⎡ ⎢ ⎣
As B
⎤ ⎥ ⎦
=
⎡ ⎢ ⎣
As 0
⎤ ⎥ ⎦
+
⎡0
⎢ ⎣
B
⎤ ⎥ ⎦
于是由引理 5 得
秩
A
≤
秩
⎡ ⎢ ⎣
As 0
⎤ ⎥ ⎦
=秩
[
A
B]
又因为
⎡A 秩 ⎢⎣ 0
B B
⎤ ⎥⎦
≥
秩
⎡ ⎢⎣
A 0
B⎤ 0 ⎥⎦
于是由引理 1 及 3 得
秩[A
B
]
=秩
⎡ ⎢ ⎣
A 0
B⎤
0
⎥ ⎦
≤
⎡A
⎢ ⎣
0
B⎤
B
⎥ ⎦
≤
秩
A
+秩
B
综上证明即得
秩 ( A + B) ≤ 秩[ A B] ≤ 秩 A +秩 B 证毕。
性质 2 设 A 为 s × n 矩阵，则有， 秩 (E − A′A) —
C⎤ G ⎥⎦
于是由引理 5 得
秩 ( AB)
+ 秩 ( BC )
≤秩
⎡ AB
⎢ ⎣
B
0⎤
BC
⎥ ⎦
=秩
⎡ AB
⎢ ⎣
B
ABC ⎤ ⎡ 0
0
⎥ ⎦
=秩
⎢ ⎣
B
ABC 0
⎤ ⎥ ⎦
=秩
(
ABC
)
+秩
B
从而有，秩 ( ABC ) ≥ 秩 ( AB) +秩 ( BC ) —秩 B
又已知，秩 ( AB) =秩 B ，代入上式得，秩 ( ABC ) ≥ 秩