非线性抛物方程整体解的存在性和爆破
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Ｎｏ ｌ ｅ ｒ Ｐａ ａ ｏ ｉ ｕ ｔｏ ｎ ｉ ａ ｒ ｂ ｌ Ｅｑ ａ ｉ ｎ ｎ ｃ
Ｚ ＨＡＯ ｉ ， Ｌ ｎ ＧＡＯ ｎ ｚ ｕ Ｙｕ ．ｈ
（． ｅｃｅ’ Ｓｈｏ ｏ ｅ ｕ ｎｖｒｔ，ｉｎ１ ２ １ ，ｈｎ ； Ｊ Ｔａｈｒ ５ ｃｏｌｆＢ ｉ ａＵ ｉ ｓｙ Ｊ ｉ ３ ０ ３ Ｃ ｉ ｈ ｅ ｉ ｌ ａ ２ Ｍａｈｍ ｔｓＣ ｌｇ Ｂ ｉｕ ｎ ｅ ｉ ，ｉｎ１２ ３ ， ｈｎ ） ． ｔｅ ａｉ ｏｅｅｏ ｅ ａＵ ｉ ｒｔ Ｊｌ ３ ０３ Ｃ ｉａ ｃ ｌ ｆ ｈ ｖ ｓｙ ｉ
一
（．） １ ３
△
≥
其 中： ∈ 力
（ ｎ≥ １ 是 有界 区域 ， 有光 滑边 界 Ｏ２ｐ＞０并 且 Ｚ＞０ ｃ ，） ） 具 ￣； ；（ ｔ 是 ｘ（ ， ） 的非负 局 ０∞ 上 ∑㈦ 部 Ｈ￣ｄｒ ｌｅ 连续 函数 ， ，，） ｄ × Ｘ［ ， ） 的非负 连续 函数． 明了 问题 （． ） 的整体 存在 性 （ ｙｔ 是 ０∞ 上 证 １３ 解 和 有 限时 间爆 破性 质． 有许 多作 者就 相关 问题进 行 了研 究 ， 见 文献 ［ —］ 然而 对 于兼 有非 局部 边界 条 还 参 ５７ ．
：
件和局部源的问题 以往文献却很少发现． 本文的主要 目的是拓展文献 ［ ，］ 给出问题 （． ） １４ ， １１ 解的存在性 △ ｍ ＝ 『 Ｉ 和爆破 结果 ．
＋ ‰
，
ｙ
２ 预 备 知识
本文作 如下 假设 ：
‰
Ａ ） （０ ∞） ０ 。） 使得 ０ ｆ ＥＣ ｙ ， ）ｎ ｃ （ ， ， ［ 。 ）≥０ 并且ｆ （）＞０ ｓ∈（ ， ． ｓ ， ０ ∞）
林 （９ ３ ， ， １６ 一） 男 副教授 ， 主要从事非线性偏微分方程研究
６８ ３
北华 大学学报（ 自然科学版 ）
第１ ２卷
（． ） １２ 整体正解 的有界性 ； 文献 Ｖ－］ ２３ 研究了具非局部边界条件 的扩散 问题 ； 文献 ［ ］ ４ 研究 了下列非局部
边界 条件 问题
彬
ｍｅ ｈ ｄ ａ ｄ ａ ｃ ｍｐａｉｏ ｉ ｃｐ ｅ． ｔ ｏ ｎ ｏ ｒｓ ｎ ｐｒｎ ｉ ｌ
Ｋｅ ｒ ｓ ｅ ｉ ｅ ｃ ； ｌｗ— ｐ； ｏ ｌｃ ｌｂ ｕ ｄ ｒ ｏ ｄ ｔ ｎ；ｏ ａｉｅ ｏ ｒ ｅ ｙ ｗｏ ｄ ： ｘ ｓ ｎ ｅ ｂｏ ｕ ｎ ｎｏ ａ ｏ ｎ ａ ｃ ｎ ｉ ｏ ｌｃ ｌ ｄ ｓ ｕ ｃ ｔ ｙ ｉ ｚ
（） ・
其 中 ： ＜ｍ ＜１ａ＞０， ０ ， ｎ＞０ 常数 ； 是 （ 是 Ⅳ≥ １ 上 的有 界 区域 ， 有光 滑 的边 界 ；（ Ｙ ） 具 ，）≠０为 ａ × 上 的非 负连续 函数 ；。 ）是 正 的连续 函数． Ｍ（
文献 ［ ］ １ 研究了下列具有局部源的非线性抛物方程
Ｕ ：Ｕ （ △ ＋ｑ （ ０ｔ ） ， ∈ ．， ｕ ｘ ，） ） ｔ＞０， （．） １２
其 中： ０＜ｒ＜ｌａ＞０ ， 是常数 ， 是具有光滑边界的有界区域． 力ｃ 在较强的条件下文献 ［ ］ １ 建立 了方程
收 稿 日期 ：０ １０ －６ ２ １ －８２
作者简介 ： 赵
第 １ 卷 第 ６期 ２
２１年 １ ０１ ２月
北华大学学报 （ 自然科学版 ）
Ｊ Ｕ Ｎ ＬＯ ＥＨ Ａ Ｕ ＩＥ ＳＴ （ ａ ｒｌ ｃ ｎｅ Ｏ Ｒ Ａ ＦＢ Ｉ Ｕ ＮＶ Ｒ ＩＹ Ｎ ｔ ａ Ｓｉ ｃ） ｕ ｅ
Ｖｏ． ２ Ｎｏ ６ １１ ．
Ｄｅ ． ０１１ ｃ２
文 章编 号 ：０９４ ２ （ ０ １ ０ －６ ７０ １０ －８ ２ ２ １ ） ６０ ３ －５
非 线性 抛物 方程 整 体 解 的存 在 性 和爆 破
赵
（． １北华 大学师范分 院 ， 吉林 吉林
林 高云 柱 ，
１２ １ ；． ３ ０３ ２ 北华大学数学学 院 ， 吉林 吉林 １２ ３ ） ３０ ３
Ａｂ ｔ ａ ｔ ｌｓ ｆｎ ｎ ｉ ｅ ｒｐ ｒ ｂ ｌ ｑ ａｉｎ ｉ ｖ ｌ ｉｇ ｎ ｎ ｏ ａ ｂ ｕ ｄ ｒ ｏ ｄ ｔ ｎ ｎ ｏ ａｉｅ ｏ ｒ ｅ ｓｒ ｃ ：Ａ ｃ ａ ｓ ｏ ｏ ｌ ａ ａ ａ ｏ ｉ ｅ ｕ ｔ ｎ ｏｖｎ ｏ ｌｃ ｌ ｏ ｎ ａｙ ｃ ｎ ｉ ｏ ｓ ａ ｄ ａ ｌｃ ｌ ｄ ｓ ｕ ｃ ｎ ｃ ｏ ｉ ｚ ａ ｅ ｉ ｖ ｓｉａ ｅ ． ｈ ｘ ｓｅ ｃ ｎ ｌ ｗ— ｐ ｏ ｏｕ ｉｎ ｒ ｂ ａｎ ｄ ｂ ｓｎ ｕ ｅ —ｏ ｕｉ ｎ ａ ｄ ｓ ｂ ｓ ｌ ｔ ｎ ｒ ｎ ｅ ｔ ｔｄ Ｔ ｅ ｅ ｉｔｎ ｅ ａ ｄ ｂ ｏ ｕ ｆ ｓ ｌ ｔ ｓ ａ ｅ ｏ ｔｉ ｅ ｙ ｕ ｉ ｇ ｓ ｐ ｒｓ ｌ ｔ ｎ ｕ —ｏｕ ｉ ｇ ｏ ｏ ｏ
摘要 ： 考察 了一类非线性抛物型方程非局部边界条件和局部源 问题 ， 用上 下解 方法和 比较原 理 ， 到了整体解 利 得 的存在性和爆破结果． 关键词 ： 存在性 ； 破 ； 爆 非局部边界条件 ； 局部源
中图 分 类 号 ： １５ ２ Ｏ ７．６ 文 献 标 志 码 ： Ａ
Ｅｘ ｓｅ ｃ ｎ ｏ ｕ ｆＧｌ ｂ ｌＳ ｌ ｔｏ ｓｆ ｒ ｉｔｎ ｅ ａ ｄ Ｂｌ ｗ－ ｐ ｏ ｏ ａ ｏ ｕ ｉｎ ｏ
１ 引
言
ｕ ＝Ｕ （ ｍ Ａｕ来自百度文库ｑ （ ０ｔ ） ， ∈ ， ｕ ， ） ｔ＞０ ， ）
考虑 如下 非局部 边 界条件 和局 部源 问题
（ ＝ｎ ）（ ｙ ∈ ＞ ， ） Ｊ（ｙ ，ｄ ａ， ０ ， Ｊ ，Ｍｙ） ， ｝ ｊ
ｕ ｘ０ ＝ （ ， （ ， ） ０ ） ∈． ，
Ｚ ＨＡＯ ｉ ， Ｌ ｎ ＧＡＯ ｎ ｚ ｕ Ｙｕ ．ｈ
（． ｅｃｅ’ Ｓｈｏ ｏ ｅ ｕ ｎｖｒｔ，ｉｎ１ ２ １ ，ｈｎ ； Ｊ Ｔａｈｒ ５ ｃｏｌｆＢ ｉ ａＵ ｉ ｓｙ Ｊ ｉ ３ ０ ３ Ｃ ｉ ｈ ｅ ｉ ｌ ａ ２ Ｍａｈｍ ｔｓＣ ｌｇ Ｂ ｉｕ ｎ ｅ ｉ ，ｉｎ１２ ３ ， ｈｎ ） ． ｔｅ ａｉ ｏｅｅｏ ｅ ａＵ ｉ ｒｔ Ｊｌ ３ ０３ Ｃ ｉａ ｃ ｌ ｆ ｈ ｖ ｓｙ ｉ
一
（．） １ ３
△
≥
其 中： ∈ 力
（ ｎ≥ １ 是 有界 区域 ， 有光 滑边 界 Ｏ２ｐ＞０并 且 Ｚ＞０ ｃ ，） ） 具 ￣； ；（ ｔ 是 ｘ（ ， ） 的非负 局 ０∞ 上 ∑㈦ 部 Ｈ￣ｄｒ ｌｅ 连续 函数 ， ，，） ｄ × Ｘ［ ， ） 的非负 连续 函数． 明了 问题 （． ） 的整体 存在 性 （ ｙｔ 是 ０∞ 上 证 １３ 解 和 有 限时 间爆 破性 质． 有许 多作 者就 相关 问题进 行 了研 究 ， 见 文献 ［ —］ 然而 对 于兼 有非 局部 边界 条 还 参 ５７ ．
：
件和局部源的问题 以往文献却很少发现． 本文的主要 目的是拓展文献 ［ ，］ 给出问题 （． ） １４ ， １１ 解的存在性 △ ｍ ＝ 『 Ｉ 和爆破 结果 ．
＋ ‰
，
ｙ
２ 预 备 知识
本文作 如下 假设 ：
‰
Ａ ） （０ ∞） ０ 。） 使得 ０ ｆ ＥＣ ｙ ， ）ｎ ｃ （ ， ， ［ 。 ）≥０ 并且ｆ （）＞０ ｓ∈（ ， ． ｓ ， ０ ∞）
林 （９ ３ ， ， １６ 一） 男 副教授 ， 主要从事非线性偏微分方程研究
６８ ３
北华 大学学报（ 自然科学版 ）
第１ ２卷
（． ） １２ 整体正解 的有界性 ； 文献 Ｖ－］ ２３ 研究了具非局部边界条件 的扩散 问题 ； 文献 ［ ］ ４ 研究 了下列非局部
边界 条件 问题
彬
ｍｅ ｈ ｄ ａ ｄ ａ ｃ ｍｐａｉｏ ｉ ｃｐ ｅ． ｔ ｏ ｎ ｏ ｒｓ ｎ ｐｒｎ ｉ ｌ
Ｋｅ ｒ ｓ ｅ ｉ ｅ ｃ ； ｌｗ— ｐ； ｏ ｌｃ ｌｂ ｕ ｄ ｒ ｏ ｄ ｔ ｎ；ｏ ａｉｅ ｏ ｒ ｅ ｙ ｗｏ ｄ ： ｘ ｓ ｎ ｅ ｂｏ ｕ ｎ ｎｏ ａ ｏ ｎ ａ ｃ ｎ ｉ ｏ ｌｃ ｌ ｄ ｓ ｕ ｃ ｔ ｙ ｉ ｚ
（） ・
其 中 ： ＜ｍ ＜１ａ＞０， ０ ， ｎ＞０ 常数 ； 是 （ 是 Ⅳ≥ １ 上 的有 界 区域 ， 有光 滑 的边 界 ；（ Ｙ ） 具 ，）≠０为 ａ × 上 的非 负连续 函数 ；。 ）是 正 的连续 函数． Ｍ（
文献 ［ ］ １ 研究了下列具有局部源的非线性抛物方程
Ｕ ：Ｕ （ △ ＋ｑ （ ０ｔ ） ， ∈ ．， ｕ ｘ ，） ） ｔ＞０， （．） １２
其 中： ０＜ｒ＜ｌａ＞０ ， 是常数 ， 是具有光滑边界的有界区域． 力ｃ 在较强的条件下文献 ［ ］ １ 建立 了方程
收 稿 日期 ：０ １０ －６ ２ １ －８２
作者简介 ： 赵
第 １ 卷 第 ６期 ２
２１年 １ ０１ ２月
北华大学学报 （ 自然科学版 ）
Ｊ Ｕ Ｎ ＬＯ ＥＨ Ａ Ｕ ＩＥ ＳＴ （ ａ ｒｌ ｃ ｎｅ Ｏ Ｒ Ａ ＦＢ Ｉ Ｕ ＮＶ Ｒ ＩＹ Ｎ ｔ ａ Ｓｉ ｃ） ｕ ｅ
Ｖｏ． ２ Ｎｏ ６ １１ ．
Ｄｅ ． ０１１ ｃ２
文 章编 号 ：０９４ ２ （ ０ １ ０ －６ ７０ １０ －８ ２ ２ １ ） ６０ ３ －５
非 线性 抛物 方程 整 体 解 的存 在 性 和爆 破
赵
（． １北华 大学师范分 院 ， 吉林 吉林
林 高云 柱 ，
１２ １ ；． ３ ０３ ２ 北华大学数学学 院 ， 吉林 吉林 １２ ３ ） ３０ ３
Ａｂ ｔ ａ ｔ ｌｓ ｆｎ ｎ ｉ ｅ ｒｐ ｒ ｂ ｌ ｑ ａｉｎ ｉ ｖ ｌ ｉｇ ｎ ｎ ｏ ａ ｂ ｕ ｄ ｒ ｏ ｄ ｔ ｎ ｎ ｏ ａｉｅ ｏ ｒ ｅ ｓｒ ｃ ：Ａ ｃ ａ ｓ ｏ ｏ ｌ ａ ａ ａ ｏ ｉ ｅ ｕ ｔ ｎ ｏｖｎ ｏ ｌｃ ｌ ｏ ｎ ａｙ ｃ ｎ ｉ ｏ ｓ ａ ｄ ａ ｌｃ ｌ ｄ ｓ ｕ ｃ ｎ ｃ ｏ ｉ ｚ ａ ｅ ｉ ｖ ｓｉａ ｅ ． ｈ ｘ ｓｅ ｃ ｎ ｌ ｗ— ｐ ｏ ｏｕ ｉｎ ｒ ｂ ａｎ ｄ ｂ ｓｎ ｕ ｅ —ｏ ｕｉ ｎ ａ ｄ ｓ ｂ ｓ ｌ ｔ ｎ ｒ ｎ ｅ ｔ ｔｄ Ｔ ｅ ｅ ｉｔｎ ｅ ａ ｄ ｂ ｏ ｕ ｆ ｓ ｌ ｔ ｓ ａ ｅ ｏ ｔｉ ｅ ｙ ｕ ｉ ｇ ｓ ｐ ｒｓ ｌ ｔ ｎ ｕ —ｏｕ ｉ ｇ ｏ ｏ ｏ
摘要 ： 考察 了一类非线性抛物型方程非局部边界条件和局部源 问题 ， 用上 下解 方法和 比较原 理 ， 到了整体解 利 得 的存在性和爆破结果． 关键词 ： 存在性 ； 破 ； 爆 非局部边界条件 ； 局部源
中图 分 类 号 ： １５ ２ Ｏ ７．６ 文 献 标 志 码 ： Ａ
Ｅｘ ｓｅ ｃ ｎ ｏ ｕ ｆＧｌ ｂ ｌＳ ｌ ｔｏ ｓｆ ｒ ｉｔｎ ｅ ａ ｄ Ｂｌ ｗ－ ｐ ｏ ｏ ａ ｏ ｕ ｉｎ ｏ
１ 引
言
ｕ ＝Ｕ （ ｍ Ａｕ来自百度文库ｑ （ ０ｔ ） ， ∈ ， ｕ ， ） ｔ＞０ ， ）
考虑 如下 非局部 边 界条件 和局 部源 问题
（ ＝ｎ ）（ ｙ ∈ ＞ ， ） Ｊ（ｙ ，ｄ ａ， ０ ， Ｊ ，Ｍｙ） ， ｝ ｊ
ｕ ｘ０ ＝ （ ， （ ， ） ０ ） ∈． ，