矩阵的QR分解 PPT
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组正[ 交1 向,量2 , 组,再m 单] 位[ 化1 ，,这2 , 样,得m 到] R 一组标准正交
向量其组中: R1C ,m m 2,m (R ,m mrm)为正线上三角阵.
由前面学的定理有： A (1,2,,r)R
记: U (1,2,,r),则 UHUI
于是: AUR ,U U rnr,下面证明分解是唯一的
2 2 1 A 0 2 2
2 1 2
解答:首先判断出
A
C 33 3
,由定理可知必存在
UU33
以及三阶正线上三角矩阵 R 使得 AUR
重复例题的步骤,即得结果
于是:Uˆ1UI RˆR1I ,从而 UˆU,RˆR 推论2: 设ACnnn ，那么 A 可唯一地分解为
推论1: 设ACrrnA，那U么RA 可唯一地分解为
其中：UUAnnnL，UR 为正线上三角阵 其中： UUrrn ， L为正线下三角阵
例 1 求下列矩阵的正交三角分解
1 1 1
A
1
0 0
0 1 0
0
0 1
解答:容易判断出
A
C 43 3
即 A 是一个列满秩矩阵
。按照定理的证明过程，
将A1 2 3的三个列向量正交化与单位化
先得到一个正交向量组:
1 1 1 1 0 0 T
2
2
( 2 , 1) ( 1, 1)
1
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1 2
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( 3, 1) ( 1, 1)
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1 3
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1 3
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T
1
再将其单位化，得到一组标准正交向量组
1
1 1
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2 2
T
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0 0
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1 2
2
6 6Biblioteka Baidu
6 6
T
6 3
0
T
3
1 3
3
6
3
3 6
3 6
3
2
这样，原来的向量组与标准正交向量之间的关系 可表示成
1 21
假设: AU,R 那U 么ˆR ˆ有: U ˆ1UR ˆR1
注证意明到:因Uˆ为1UA 仍T是C 酉rr矩n,,阵则，A 而TU RˆR,R 1U 是 一U 个rn 正r 线
上三所角以矩,阵A ， 因R T 此U 有T:,U T U r r n ( U ˆ 1 U ) U ˆ ( 1 U ) H ( U ˆ 1 U ) U H ( U ˆ 1 ) H U ˆ 1 U I
矩阵论电子教程
第四章
矩阵的分解
§4.2 矩阵的QR分解
定义1: 设 ACrnr(Crrn),若 AHAI(AH A I)
则称 A 为次酉阵，全体列满秩（行满秩）的次
酉阵的集合记为：Urnr(Urrn)
定理1： A 是次酉阵当且仅当 A 的列（行）为标
准正交向量组。 称为A的UR分解
定理2: 设ACrnr ，那么 A 可唯一地分解为
2
6 2
2
2 2
1
3 2 333
6 6
2
2 2
1
大家应该也有点累了，稍作休息
大家有疑问的，可以询问
Department of Mathematics
10
将上面的式子矩阵化，即为
A 1 2 3 1 2 3
2
2 2
2
2
0
6 2
6 6
UR
0
0
2 3
3
练习: 求下列矩阵的正交三角分解
AUR
其中：UUrnr ， R 为正线上三角阵
证明：先证明分解的存在性。将矩阵 A 按列分块
得到 A (1,2, ,r)
由设于 A1,C2,rnL r ，,所m欧以氏(1酉,)2空, 间,Vr的是线线性性无无关关组的,。
则 V 中利存用在Sc标hm准id正t正交交向化量与组单位1,化2方,法,，m先,使得得到一
向量其组中: R1C ,m m 2,m (R ,m mrm)为正线上三角阵.
由前面学的定理有： A (1,2,,r)R
记: U (1,2,,r),则 UHUI
于是: AUR ,U U rnr,下面证明分解是唯一的
2 2 1 A 0 2 2
2 1 2
解答:首先判断出
A
C 33 3
,由定理可知必存在
UU33
以及三阶正线上三角矩阵 R 使得 AUR
重复例题的步骤,即得结果
于是:Uˆ1UI RˆR1I ,从而 UˆU,RˆR 推论2: 设ACnnn ，那么 A 可唯一地分解为
推论1: 设ACrrnA，那U么RA 可唯一地分解为
其中：UUAnnnL，UR 为正线上三角阵 其中： UUrrn ， L为正线下三角阵
例 1 求下列矩阵的正交三角分解
1 1 1
A
1
0 0
0 1 0
0
0 1
解答:容易判断出
A
C 43 3
即 A 是一个列满秩矩阵
。按照定理的证明过程，
将A1 2 3的三个列向量正交化与单位化
先得到一个正交向量组:
1 1 1 1 0 0 T
2
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( 2 , 1) ( 1, 1)
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再将其单位化，得到一组标准正交向量组
1
1 1
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2 2
T
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这样，原来的向量组与标准正交向量之间的关系 可表示成
1 21
假设: AU,R 那U 么ˆR ˆ有: U ˆ1UR ˆR1
注证意明到:因Uˆ为1UA 仍T是C 酉rr矩n,,阵则，A 而TU RˆR,R 1U 是 一U 个rn 正r 线
上三所角以矩,阵A ， 因R T 此U 有T:,U T U r r n ( U ˆ 1 U ) U ˆ ( 1 U ) H ( U ˆ 1 U ) U H ( U ˆ 1 ) H U ˆ 1 U I
矩阵论电子教程
第四章
矩阵的分解
§4.2 矩阵的QR分解
定义1: 设 ACrnr(Crrn),若 AHAI(AH A I)
则称 A 为次酉阵，全体列满秩（行满秩）的次
酉阵的集合记为：Urnr(Urrn)
定理1： A 是次酉阵当且仅当 A 的列（行）为标
准正交向量组。 称为A的UR分解
定理2: 设ACrnr ，那么 A 可唯一地分解为
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3 2 333
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2 2
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大家应该也有点累了，稍作休息
大家有疑问的，可以询问
Department of Mathematics
10
将上面的式子矩阵化，即为
A 1 2 3 1 2 3
2
2 2
2
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0
6 2
6 6
UR
0
0
2 3
3
练习: 求下列矩阵的正交三角分解
AUR
其中：UUrnr ， R 为正线上三角阵
证明：先证明分解的存在性。将矩阵 A 按列分块
得到 A (1,2, ,r)
由设于 A1,C2,rnL r ，,所m欧以氏(1酉,)2空, 间,Vr的是线线性性无无关关组的,。
则 V 中利存用在Sc标hm准id正t正交交向化量与组单位1,化2方,法,，m先,使得得到一