自控原理课件 第6章-自动控制系统的性能分析

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3．开环频率特性的高频段对系统性能的影响 高频段特性是由小时间常数的环节决定的， 由于其转折频率远离ωc，所以对系统动态影响不 大，然而从系统抗干扰的角度看，高频段特性是 很有意义的。 对于单位反馈系统，开环和闭环传递函数的 关系为
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因此、开环对数幅频特性高频段的幅值直接反映 了系统对输入端高频信号的抑制能力，高频段分贝 值越低，系统抗干扰能力越强。 综上所述，对于最小相位系统，开环系统的对数 幅频特性曲线直接反映了系统的动态和稳态性能。 三频段的概念为设计一个合理的控制系统提出了要 求：
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6.1 自动控制系统的稳态性能分析 自动控制系统的输出量一般包含两个分量， 一个是稳态分量，另一个是暂态分量。 暂态分量反映了控制系统的动态性能。对于 稳定的系统，暂态分量随着时间的推移将逐渐减 少并最终趋向于零。稳态分量反映系统的稳态性 能，它反映控制系统跟随给定量和抑制扰动量的 能力和准确度。稳态性能的好坏一般以稳态误差 的大小来度量。
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(3)对同一个系统，由于作用量和作用点不同， 一般说来，其跟随稳态误差和扰动稳态误差是不 同的。对随动系统来说，前者是主要的；对恒值 控制系统，则后者是主要的(对动态误差也大致如 此)。 (4）如上所述，多v，K大将使系统的稳态性 能改善，但前面的分析也表明，多v、K大会使系 统的稳定性变差。由此可见，对自动控制系统， 其稳态性能的改善和稳定性的改善往往是相矛盾 的。在对实际系统进行设计和调试时，往往在系 统的相对稳定性和稳态性能之间作某种折中的选 择、以满足用户对系统性能指标的要求。
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调整时间是从给定量作用于系统开始，到输 出量进入并保持在允许的误差带(误差带是指离稳 态值c(∞)偏离 δ c (∞) 的区域)内所经历的时间。 δ 通常分为5％(要求较低)和2％ (要求较高)两种。 由于输出量c(t)通常为阻尼振荡曲线，c(t)进入 误差带的情况比较复杂，所以通常以输 出量的包络线b(t)进入误差带来近似求取调整时间 ts。
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此时，系统的稳定性和快速性都比较好。在工程上常 称取ξ=0.707的系统为“二阶最佳系统”。 以上的分析虽然是对二阶系统的，但对高阶系统，如 果能以系统的主导极点(共扼极点)来估算系统的性能，即 只要能将它近似成一个二阶系统，就可以用二阶系统的分 析方法和有关结论对三阶及三阶以上的高阶系统进行性能 分析。
第6章 自动控制系统的性能分析
自动控制系统设计的主要任务是：(1)根据控 制要求建立数学模型。(2)分析控制系统的性能指 标，包括系统的稳定性分析、稳态性能分析和动 态性能分析。(3)利用调节器或各种算法对控制系 统进行校正和最优化设计。 前面几章已讨论了系统稳Hale Waihona Puke Baidu性分析的各种方 法，本章将主要研究系统稳态、动态性能指标及 这些指标对系统性能的影响。
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综上所述： (1)平稳性 从上述分析及图4.15所示的典线族可看出，系统的平 稳性主要由阻尼比 ξ 决定。ξ越大，超调量σ p越小，系统 响应的振荡越少，平稳性越好；反之，ξ越小，振荡越强， σ p越大，系统平衡性越差。而在ξ一定时，(ω n值越大，振 荡频率(ω n√l-ξ)越高，系统响应的平稳性也越差。一般从 平稳性角度考虑希望ξ大、ω n小。 (2)快速性 从二阶系统曲线簇(图4.15)可看出，阻尼比ξ过大，系 统响应迟钝，调节时间越长，快速性亦越差；当ξ过小时， 响应的初始段较快，但由于振荡强烈，衰减缓慢，调节时 间也越长，快速性就较差。实践证明，当ξ取0.707时，系 统性能最好。另外，当ξ一定时，系统 的快速性随着ω n的增加而变好。
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(1)低频段的斜率要陡，增益要大，则系统的稳 态精度高。如系统要达到二阶无静差度，则L(ωc) 线低频段斜率要-40dB／dec 。 (2)中频段以斜率-20dB／dec穿越0dB线，且具 有一定中频带宽时，系统动态性能好。 (3)要提高系统的快速性，则需提高穿越频率ωc 。 (4)高频段的斜率要比低频段的斜率陡，其分贝 数要小，以提高系统抑制高频干扰的能力。
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6.2 控制系统的动态性能分析 对一个已经满足了稳定性要求的系统，除了要 求有较好的稳态性能外，对要求较高的系统，还 要求有较好的动态性能，亦即希望系统的最大动 态误差(Δ Cmax)小一些，过渡过程时间(ts)短一些， 振荡次数(N)少一些。 研究系统动态性能，通常以二阶系统的单位阶 跃响应为代表。这是由于二阶系统的阶跃响应比 较典型，数学分析也比较容易。许多高阶系统的 动态过程常可用二阶系统来近似处理。现以典型 二阶系统的单位阶跃响应为例来介绍动态指标的 求取和系统动态性能的分析。
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系统的动态性能指标主要有上升时间tr、峰值 时间tp，超调量σp、调整时间ts和振荡次数N。ξ越大， 超调量σp 越小，系统响应的振荡越弱。平稳性越好。 在ξ一定时，ωn 值越大，振荡频率(ωn√(1-ξ2)越高， 系统响应的平稳性越差。一般从平稳性角度考虑希 望ξ大，ωn 小。另外，当ξ一定时，系统的快速性随 者ωn 的增加而变好。系统的快速性和稳定性往往也 是矛盾的。为了兼顾两方面的要求，通常取ξ=1/√2 ＝0.707(即取K=1/2T)。此时，系统的稳定性和快速 性都比较好。在工程上常称ξ=0.707时的系统处于 “二阶最佳系统”。
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6.1.4 系统稳态性能综述 (1)系统的稳态误差由跟随稳态误差和扰动稳态 误差两部分组成，它们不仅和系统的结 构、参数 有关，而且还和作用量(输入量和扰动量)的大小、 变化规律和作用点有关。 跟随稳态误差essr：系统开环传递函数中所含积 分环节个数(v)愈多，开环增益K愈大， 则系统的稳态性能愈好。 扰动稳态误差essd ：扰动作用点前，前向通路所 含的积分环节个数vl 愈多，作用点前的增益Kl 愈 大．则系统抗扰稳态性能愈好。 (2)作用量随时间变化得愈快，作用量产生的误 差也愈大。
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上式表明，高阶系统的σ p 随着γ 的增大而 减小，调节时间ts随γ 的增大也减小，且随ωc， 增大而减小。 由上面对二阶系统和高阶系统的分析可知， 系统的开环频率特性反映了系统的闭环响应特 性。对于最小相位系统，由于开环幅频特性与 相频特性有确定的关系，因此相角裕度取决于 系统开环对数幅频特性的形状，但开环对数幅 频特性中频段(零分贝频率附近的区段)的形状， 对相角裕量影响最大，所以闭环系统的动态性 能主要取决于开环对数幅频特性的中频段。
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(4) 频 带 ωb ： 当 ω 增 加 时 ， MB(ω) 下 降 到 0.707M0时的频率，它也反映了系统的响应速度， ωb越大, 表明能通过较高频率的信号，系统响应速 度越快。 2. 利用频域指标估算时域指标 对于典型二阶系统，其闭环传递函数为
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上式表明，对于二阶系统，在0≤ξ ≤0.707时，频率特 性出现谐振峰值Mr 。Mr可表征阻尼系数ξ ，反映系统的稳 定性，也能反映系统的快速性(ts≈3/ξ ωn)。 二阶系统闭环频率指标Mr对其时域指标σ p和ts的影响为
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开环增益K和低频段高度的关系可用多种方法 确定。例如将低频段对数幅频的延长线交于0dB线， 则K=ωv。 可以看出，低频段的斜率愈小，位置愈高，对 应于系统积分环节的数目愈多，开环增益愈大。故 闭环系统在满足稳定的条件下，其稳态误差愈小。 2．暂态性能和开环频率特性的关系 用开环频率特性分析系统的暂态性能时，通常用 开环频率特性相角裕度γ 和幅值穿越频率ωc来表示 。由于系统的暂态性能由超调量σ p 和调节时间ts来 描述，并且具有直观和准确的优点，故用开环频率 特性评价系统的动态性能时，就必须找出开环频域 指标γ 和ωc与时域指标σ p和ts的关系。
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6.3 利用频率特性分析系统性能
6.3.1 用开环频率特性分析系统的性能 1．系统稳态误差和开环频率特性的关系 系统开环传递函数中含积分环节的数目(系统类 型)确定了开环对数幅频特性低频渐近线的斜率， 而低频渐近线的高度，则决定于开环放大系数的 大小。所以，控制系统对给定信号是否引起稳态误 差，以及稳态误差的大小，都可以由对数幅频特性 的低频渐近线观察确定。 低频段通常是指L(ω)的渐近线在第一个转折频 率以前的区段。设低频段对应的传递函 数为
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从以上计算可以看到放大倍数K和T对系统动 态响应的影响。T一定时，K增大，ξ将减小，超 调量增加；K减小时，ξ增大，K过小时，ξ甚至会 超过1，成为过阻尼情况。如果K一定，T增大， 不但使ξ减小，超调量增加，同时还将引起ω n 减 小，调节时间将增大。可见，T的增大对动态性 能的影响更不利。 [例6.2]二阶控制系统的单位阶跃响应曲线如 图6.4所示。试确定系统的传递函数。 解：由图可知，在单位阶跃作用下响应的稳态 值为3，故此系统的增益不是1，而是3。系统模 型为
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(3)输入为抛物线信号(参考输入位移做匀加速 运动)：这时系统至少要含有二个积分环节才能实 现有一定误差的跟随运动。若要求系统无误差地 跟随，则需含三个积分环节。 由以上分析可知：系统含有的积分环节个数 (v)愈多，开环放大倍数K愈大，则系统的稳态性 能愈好。同时也可看出，作用信号对时间t的幂次 愈高(阶跃信号为1(t=t0，斜坡信号为t1，匀加速信 号为t2)，即随时间变化愈快，则该信号产生的稳 态误差愈大(由无静差变为有静差，或由有静差变 为发散等)。 对扰动稳态误差，同样可得到上述结论。只 要将v1取代v，Kl取代K即可。
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6.1.I 系统稳态误差的概念 1.系统误差e(t) 图6.1是一个典型控制系统，其中输入为R(s) ，扰动为D(s)，输出为C(s)。系统误差e(t)的定义 为，理论值cr(t)与实际值c(t)之差，即
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3．系统跟随稳态误差分析 对位置随动系统，由以上分析可知： (1)输入为阶跃信号(输入为一确定的位移量)： 若系统前向通路不含积分环节，则其稳 态误差essr ＝1/α(1+K)；系统开环增益K愈大，essr 愈 小，系统稳态精度愈高。若系统含有积分环节，便 能实现无静差(essr=0)，系统最后无偏差地定位到所 需位置。 (2)输入为斜坡信号(参考输入位移作匀速变化) ：这时若系统不含积分环节，则系统将无法进行跟 随(essr→∞)。若含一个积分环节，则essr =1/K，增益 K愈大，稳态精度愈高。若要实现无偏差地跟随做 匀速运动，则要求系统含有二个积分环节。
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小 结 自动控制系统性能的分析主要包括稳态性能 分析和动态性能分析。系统的稳态无误差 ess标 志着系统最终可能达到的控制精度，它包括跟 随稳态误差essr和扰动稳态误差essd。跟随误差与 系统的前向通路的积分环节个数v、开环增益K 有关。v愈多；K愈大，则系统的稳态精度愈高 。扰动稳态误差与扰动量作用点前的前向道路 的积分环节个数vl和增益Kl有关，vl 愈多，Kl愈 大，则系统的稳态精度愈高。对于随动控制系 统，主要考虑跟随稳态误差；而对于恒值控制 系统，主要考虑扰动稳态误差。
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从表中可以看出： (1)表中T一般为系统的固有惯性参数，ξ的通常 取值范围为0.5~0.8，此时：ts=(6~8)T，意味着T愈 大，系统的调整时间ts 愈长，即系统的快速性愈差 。此外，T愈大，对应的阻尼比ξ小，系统的超调量 σp 增加，系统的相对稳定性愈差，参见图4.15。因 此，惯性环节的时间常数T太大，对系统的快速性 和稳定性都是不利的。 (2)系统的开环增益K增大(K一般是可以调整的 ，K大，则ξ小)，系统的最大超调量σp 将增加。同 时，上升时间tr 将减小，亦即系统的增益加大，则 系统的快速性改善， 但系统的相对稳定性变差。
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6.3.2 闭环频率特性与系统阶跃响应的关系 1．闭环频率特性的频域指标 典型控制系统的闭环幅频特性曲线如图6.9所示，它 可以由开环对数幅频特性曲线转换而来。为了描述该 曲线的特点，表征闭环系统的性能，常采用下列频域 指标(特性指标对系统性能的影响详见参考文献1)。 (1)零频幅值M0 ：当ω＝0时的闭环幅频值，它反 映了系统的稳定性能。 (2)谐振峰值Mr ：即最大值与零频幅值之比，即 Mr=Mm/M0, 它反映了系统的相对稳定性，简称峰值。 (3)谐振频率ωr：出现最大值Mm时的频率，它反映 了系统的动态快速性能，ωr越大，响应越快。