独立样本均数差异的显著性检验及应用

分别作为它的无偏估计量。若用加权平均
法将 Ｓ１２ 及 Ｓ２２ 合起来共同求它的估计量
Ｓ（２ 称为汇合方差）为最佳，汇合方差计算
公式为：
Ｓ２＝ Σ（Ｘ１－Ｘ ２）２＋Σ（Ｘ２－Ｘ ２）２ ⑤ （ｎ１－１）＋（ｎ２－１）
上式含义就是两个样本方差中的离 差平方和除以两个样本方差中的自由度 之和。
由公式⑤与公式②得两个独立小样 本平均数之差的标准误的公式：
源与经济增长:基于中国地区层面的研究 [J].中 国 工 业 经 济 ,2007(7).
4、张菲菲,刘 刚,沈 镭.中 国 区 域 经 济 与 资 源 丰 度 相 关 性 研 究[J].中 国 人 口 资 源 与 环 境,2007(4).
5、刘瑞明,白 永秀.资 源 诅 咒:一 个 新 兴 古 典 经 济 学 框 架 [J].当 代 经 济 科 学 ,2007 (11).
根据已有资料和信息，相互比较的 总体均数 μ１ 不可能大于 μ２，那么在总 体均数相同的原假设 μ１＝μ２ 被否定时， 只能 μ１＜μ２，统计量只可能出现在分 布的一侧，检测的拒绝区域也只可能在
｜Ｚ｜＜１．６５＝Ｚ０．０５ Ｚ０．０５＝１．６５≤｜Ｚ｜＜２．３３＝Ｚ０．０１
Ｐ＞０．０５
接受 Ｈ０ 拒绝 Ｈ１
第一，指标体系的进一步比较和确 定。如省际样本的选择是否合理，是否能 够以城市样本作为研究对象，自然资源 丰裕度的指标如何设置，经济增长指标 如何设置。
第二，“资源诅咒”在一省内部是否 存在。由于中国地大物博，一个省内各地 区的经济发展也可能存在很大的差异， 这种差异性是否同样存在“资源诅咒”， 尚无人研究。
6、张 景 华 .自 然 资 源 是 “福 音 ”还 是 “ 诅 咒 ”: 基 于 制 度 的 分 析 [J]. 上 海 经 济 研 究,2008(1).
7、王 云.“资 源 诅 咒 ”的 实 证 分 析 及 破 解[J].经 济 问 题 ,2008(1).
8、饶 文 军.经 济 增 长 与 自 然 资 源 关 系 理 论 综 述 [J].商 场 现 代 化 ,2007(10).
（２） 单侧检验统计决断
或者其中一个小于 ３０ 的独立样本称为独
立小样本。
（一） 两个独立小样本平均数之差
的标准误
由公式①知，两个总样本标准差已 知，且 σ12＝σ22 时，得两个独立样本平均 数之差标准误公式为：
姨 σＤ＝
σ（２ １ ＋ １ ） ｎ１ ｎ２
④
若 σ２ 未知，此时用 Ｓ１２ 或 Ｓ２２ 都可以
姨 ＳＤ＝
Σ（Ｘ１－Ｘ）１ ２＋Σ（Ｘ２－Ｘ）２ ２ ·ｎ１＋ｎ２
ｎ１＋ｎ２－２
ｎ１ｎ２
⑥
利用不同的已知数据有以下三种计
算公式：
μ）２ ，检验的拒绝会分布在两侧，此时
表 2 单侧 Z 检验统计决断规则
就需计算两侧的概率，称为双侧检验。
｜Ｚ｜ 与临界值的比较
Ｐ值
检验结果
显著性
（２） 单侧检验。单侧检验备择假设 为 μ１＜μ２ （μ１＞μ）２ 。
Ｐ≤０．０１
在 ０．０１ 显著性水平上拒 绝 Ｈ０ 接受 Ｈ１
极其显著（**）
Ｆ＝
Ｓ１２ Ｓ２２
第三，用 σＸ 计算
Ｆ＝
ｎ１σ２Ｘ１／（ｎ１－１） ｎ２σ２Ｘ２／（ｎ２－１）
輥輯訛 验。 （４）统计决断（见表 ４）： 自由度 ｄｆ＝ｎ１＋ｎ２－２
輥輰訛 三、样本均数差异的显著性检验应用
Ｚ＝
Ｘ１－Ｘ２
（作者单位：东南大学经济管理学院）
6 中国集体经济 2008
27
中国集体经济
学术探讨
准误，在两个相应总体标准差已知时， 分布的一侧，此时只需计算一侧概率， 断解释相仿。
用下列公式估计：
称为单侧检验。
二、 独立小样本平均数差异的显著
姨 σＤ＝
σ１２ ＋ σ２２
ｎ１
Baidu Nhomakorabeaｎ２
①
其中 σ１２，σ２２ 表示第一个与第二个
在 ０．０５ 显著性水平上拒绝 ０．０１＜Ｐ≤０．０５
Ｈ０ 接受 Ｈ１
不显著 显著（*）
｜Ｚ｜≥２．３３＝Ｚ０．０１
Ｐ≤０．０１
在 ０．０１ 显著性水平上拒绝 极其显著（**）
Ｈ０ 接受 Ｈ１
表 ２ 各项指标的具体含义与双侧决
１、利用原始数据
6 28 2008
学术探讨
姨 ＳＤ＝
ΣＸ１２－（ΣＸ）１ ２／ｎ＋ΣＸ２２－（ΣＸ）２ ２／ｎ ·ｎ１＋ｎ２
第三，数据的存在一定难度，尤其是 针对城市和小区域范围内的数据往往没 有相应的统计。
参考文献： 1、胡援成,肖德勇.经济发展门槛与自 然 资 源 诅 咒— ——基 于 我 国 省 际 层 面 的 面 板 数 据 实 证 研 究 [J].管 理 世 界 ,2007(4). 2、 武芳梅.“资源的诅咒” 与经济发 展— ——基 于 山 西 省 的 典 型 分 析[J].经 济 问 题,2007(10). 3、丁菊红,邓可斌.政府干预、自然 资
Ｐ≤０．０１
在 ０．０１ 显著性水平上拒 极其显著（**）
绝 Ｈ０ 接受 Ｈ１
与第二个样本的方差，ｎ１，ｎ２ 表示第一 个与第二个样本的容量。
（二） 显著性检验步骤 独立大样本平均数差异的显著性检 验可不作方差的齐性检验。即：虽然两 个总体方差未知，但因相关样本是成对 数据，每对数据都可求出差数，可将平 均数差异显著性检验转化成差数的显著 性检验，不需汇合方差，所以就不需用 方差齐性检验来考察两个总体方差是否 相等。 １、提出假设 Ｈ０：μ１＝μ２ Ｈ１：μ１≠μ２ ２、构造统计量 Ｚ 并计算
ｎ１＋ｎ２－２
ｎ１ｎ２
輥輲訛
第二，用 Ｓ 计算
ｔ＝
Ｘ １－Ｘ ２
輳 訛輥
姨（ｎ１－１）Ｓ１２＋（ｎ２－１）Ｓ２２ ·ｎ１＋ｎ２
ｎ１＋ｎ２－２
ｎ１ｎ２
第三，用 σＸ 计算
对这两所小学二年级的学生平均身 高的差异进行显著性检验。
检验步骤： （一）提出假设 Ｈ０：μ１＝μ２ Ｈ１：μ１≠μ２ （二）构造统计量 Z 并计算 两所小学学生身高是从两个相应总 体随机抽出的独立样本，两个总体标准差
｜ｔ｜ 与临界值的比较 ｜ｔ｜＜（ｔ ｄｆ）０．０５
（ｔ ｄｆ）０．０５≤｜ｔ｜＜（ｔ ｄｆ）０．０１
表 4 t 检验统计决断规则
Ｐ值
检验结果
Ｐ＞０．０５
接受 Ｈ０ 拒绝 Ｈ１
０．０１＜Ｐ≤０．０５
在 ０．０５ 显著性水平上拒 绝 Ｈ０ 接受 Ｈ１
显著性 不显著
显著（*）
｜ｔ｜≥（ｔ ｄｆ）０．０１
相关关系是日常生活和生产实际中
经常存在的变量之间的关系。在对相关关 系的有关研究中，对同一组被试对象在试 验前后进行同一测验，有时会产生两次测 验结果，将测验的结果进行平均，并对总 体均数差异的显著性进行检验。在实际应 用中，经常利用独立样本对总体平均数的 差异进行检验。
所谓独立样本是指两个样本内的个 体是随机抽取它们之间不存在一一对应 关系（是一种非确定性关系），这样的两个
表 １ 各项指标的具体含义：如果实 际算出的 ｜Ｚ｜＜１．９６，表明样本统计量 的值未落入拒绝区域，就是等于或大于 样本统计量的概率大于 ０．０５，Ｐ＞０．０５， 检验结果接受 Ｈ０ 拒绝 Ｈ１，指样本所属 的总体平均数与假设的总体平均数无显 著性差异；如果实际算出的 Ｚ０．０５＝１．９６≤ ｜Ｚ｜ ＜２．５８ ＝Ｚ０．０１， 表 明 样 本 统 计 的 值 在 ０．０５ 显著性水平上落入了拒绝区域，而 在 ０．０１ 显著性水平上未落入拒绝区域， 就是等于或大于样本统计量的概率等于 或 小 于 ０．０５， 而 大 于 ０．０１， ０．０１ ＜Ｐ ≤ ０．０５，其检验结果是在 ０．０５ 显著性水平 上拒绝 Ｈ０ 而接受 Ｈ１，指样本所属的总 体平均数与假设的总体平均数有显著性 差 异 ，可 靠 度 ９５％，在 Ｚ 值 右 上 角 用 “ *” 表 示 ； 如 果 实 际 算 出 的 ｜Ｚ｜ ≥ ２．５８＝Ｚ０．０１，表明样本统计量的值在 ０．０１ 显著性水平上落入拒绝区域，就是等于 或大于样本统计量的概率等于或小于 ０．０１，Ｐ≤０．０１，其检验结果是在 ０．０１ 显 著性水平上拒绝 Ｈ０ 而接受 Ｈ１，指样本 所属的总体平均数与假设的总体平均数 有极其显著性差异，可靠度 ９９％，在 Ｚ 值右上角用 “**”表示。
⑩
第二，用 Ｓ 计算
ｔ＝
Ｘ １－Ｘ ２
輥 輴 訛
姨 ｎ１σ２Ｘ１＋ｎ１σ２Ｘ２ ·ｎ１＋ｎ２
ｎ１ｎ２－２
ｎ１ｎ２
（３）确定检验形式：根据实际问题和
所给数据进行判断进行单侧还是双侧检
未知，两个样本容量较高，即 ｎ１＝１００＞ ３０，ｎ２＝１２０ ＞３０， 是 属 于 独 立 大 样 本 检 验。其统计量 Ｚ 为：
样本称为独立样本。两个独立样本平均数 之间差异的显著性检验可以分独立大样 本和独立小样本两种情况进行。
一、独立大样本平均数差异的显著性 检验
独立样本容量 ｎ１ 都 ｎ２ 大于 ３０ 的独 立样本称为独立大样本。
（一） 两个独立大样本平均数之差 的标准误
１、两个独立大样本平均数之差的标
■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■
Ｆ（ｄｆ１，ｄｆ２）０．０５≤Ｆ＜Ｆ（ｄｆ１， ｄｆ２）０．０１
０．０１＜Ｐ≤０．０５
在 ０．０５ 显著性水平上拒 绝 Ｈ０ 接受 Ｈ１
１、两个总体方差的齐性检验
汇合方差是以两个相应总体方差相
等为前提的，所以在进行独立小样本平均
数差异的显著性检验之前，首先要对两个
总体方差是否进行齐性检验。
（１）提出假设
Ｈ０：σ１２＝σ２２ Ｈ１：σ１２≠σ２２ （２）构造检验统计量 Ｆ 并计算
第一，用原始数据计算
Ｆ＝
［ΣＸ１２－（ΣＸ１）２／ｎ１］／ｎ１－１ ［ΣＸ２２－（ΣＸ２）２／ｎ２］／ｎ２－１
变量的总体方差，ｎ１，ｎ２ 表示第一个与
第二个样本的容量。
４、统计决断
性检验
（１） 双侧检验统计决断
独 立 样 本 容 量 ｎ１ 和 ｎ２ 都 小 于 ３０，
表 1 双侧 Z 检验统计决断规则
｜Ｚ｜ 与临界值的比较
Ｐ值
检验结果
显著性
２、两个独立大样本平均数之差的标
｜Ｚ｜＜１．９６＝Ｚ０．０５
Ｐ＞０．０５
＝ １３６－１２８ ＝３．９９７６ 輥 輵 訛
姨 σ２Ｘ１ ＋ σ２Ｘ２
ｎ１
ｎ２
姨 １５．４２ ＋ １４２ １００ １２０
（三）确定检验形式
因所给资料中不能反映出两所小学
Ｆ 与临界值的比较
表 3 方差齐性 F 检验统计决断规则
Ｐ值
检验结果
Ｆ＜Ｆ（ｄｆ１，ｄｆ２）０．０５
Ｐ＞０．０５
接受 Ｈ０ 拒绝 Ｈ１
Ｚ＝
Ｘ １－Ｘ ２
③
姨 σ２ Ｘ１
＋
σ２ Ｘ２
ｎ１
ｎ２
３、确定检验形式
根据所给数据确定采取双侧还是单
侧进行检验。
（１） 双侧检验。双侧检验备择假设
为 μ１≠μ２。 检验时相互比较的总体均数 μ１ 与
μ２ 没有一方不可能大于 （不可能小于） 另一方的信息，那么原假设 μ１＝μ２ 被 否定时，也就是可能是 μ１＜μ２ （μ１＞
状的分析总结，“资本诅咒”现象在中国 省级层面上基本存在的，但是也存在一 定的特例，如山东既是资源大省，又是经 济快速发展的经济大省。
目前对“资源诅咒”在中国的研究仍 然处于起步阶段，虽然一些实证研究已 经证明了“资源诅咒”在省际层面上是存 在的，但是也有一些研究表明这种现象 并不明显。因此，在未来的研究中，还要 进一步加大研究的广度和深度。未来主 要有以下方面的研究前景：
接受 Ｈ０ 拒绝 Ｈ１
不显著
准误，在两个相应总体标准差未知时， 用下列公式估计：
Ｚ０．０５＝１．９６≤｜Ｚ｜＜２．５８＝Ｚ０．０１
０．０１＜Ｐ≤０．０５
在 ０．０５ 显著性水平上拒 绝 Ｈ０ 接受 Ｈ１
显著（*）
姨 ＳＤ＝
σ２ Ｘ１
＋
σ２ Ｘ２
ｎ１
ｎ２
②
其
中
，
σ２Ｘ１，
σ２ Ｘ２
分别表示第一个
｜Ｚ｜≥２．５８＝Ｚ０．０１
学术探讨
独立样本均数差异的显著性检验及应用
■邢航
摘要： 文章 从样本容 量大于 30 或 小 于 30 的独立大小样本两个 方面论述 样本 平均数差异显著性检验的方法和步骤，对 样本容量不同的试验结果差异显著性的 各种检验进行的统计决断给出结论，并应 用其原理结合实例对实际应用问题进行 论证。
关键词：独立样本；差异；显著性检 验；统计决断
ｎ１＋ｎ２－２
ｎ１ｎ２
⑦
２、利用总体标准差 Ｓ
姨 ＳＤ＝
（ｎ１－１）Ｓ１２＋（ｎ２－１）Ｓ２２ ·ｎ１＋ｎ２ ⑧
ｎ１＋ｎ２－２
ｎ１ｎ２
３、利用样本标准差 σＸ
姨 ＳＤ＝
ｎ１σ２Ｘ１＋ｎ１σ２Ｘ２ ·ｎ１＋ｎ２
ｎ１ｎ２
ｎ１ｎ２
⑨
（二）样本平均数差异的显著性检验
第一，用原始数据计算
ｔ＝
Ｘ １－Ｘ ２
姨 ΣＸ１２－（ΣＸ）１ ２／ｎ１＋ΣＸ２２－（ΣＸ）２ ２／ｎ２ ·ｎ１＋ｎ２