粒子群优化算法用于阵列天线方向图综合设计
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2 粒子群算法
2.1 基本PSO算法 PSO 算法与其它演化算法相似，也是一种基于群体的优化算法。设想这样一个场景：有一群蜜
蜂，它们的任务是在一个区域里寻找花蜜最多的花群，所有的蜜蜂都不知花群的具体位置。每只蜜 蜂都只是从一个随机的位置，以一个随机的速度开始寻找花群，但每一只蜜蜂都有记忆它自己和整 个蜂群所经历最好花群地点的能力。那么找到花群的最优策略是什么呢？最简单有效的方法就是每 只蜜蜂根据某种原则不断的改变飞行方向，直到找到花蜜最多的花群。PSO 算法从这种模型中得到 启示并用于解决优化问题。PSO 算法中，每个优化问题的潜在解都是搜索空间中的一只蜜蜂，称之
是定值，也可是随叠代的次数而呈线性变化的Hale Waihona Puke Baidu本文使用的是后者，其变化的范围是从0.9到0.4；
加速常数 c1 和 c2 均等于2.0；最大速度 vmax 为1.0；这些参数的设置都是根据大量的数值实验得出的
。 [4][5]
适应度函数的设计是算法的关键，它的好坏直接决定了优化效果，它必须根据所要优化的问题
关键词: 粒子群算法; 阵列天线;天线方向图;
Particle Swarm Optimization in the Antenna Array Pattern Synthesis
Yang Ke ，Chen Sheng-bing, Jiao Yong-chang，Zhang Fu-shun
(Inst. of Antennas and EM Scattering, Xidian Univ., Xi’an 710071, China)
其中 x = (m1i ,Lmii , β1i L β ii , d1i Ldii ) T 即由激励幅值，激励相位和单元间距组成；θi 是辐射角，它们是 一些取样点（通常为方向图的副瓣位置和零深位置）； fa(x,θi) 根据每个粒子的值所计算出的方向图， 而 f d (θi ) 是所要逼近的目标方向图。以下部分给出了阵列综合中常用的例子用PSO算法综合的结果， 详细的讨论了综合具体天线阵列时PSO算法的设置。
Abstract: Particle Swarm optimization (PSO) is a robust stochastic evolutionary computation technique based on the movement and intelligence of swarm, which is very easy to understand and implement. This paper introduces a conceptual overview and detailed explanation of the PSO algorithm, as well as how it can be used for antenna array design, and presents several results optimized by PSO, which show the abroad application foreground of PSO in the antenna array design. Key words: Particle Swarm Optimization, Array antenna, Radiation Pattern
具体设计。在天线阵列综合中，适应度函数一般表示天线实际所产生的方向图与目标方向图的差异
大小。先计算出每个粒子的方向图与规定的理想方向图的误差，再对这个误差作变换得到适应度。
误差越大,适应度越低;误差越小,适应度越高。在计算误差时,采用了最大误差的形式,即计算实际天
线阵方向图与规定方向图在各个取样点(一般为副瓣（ sll ）位置，零深( null )位置)的误差，然后找
π
0
ππ
0
0
ππ
0
π
0.0820 0.1492 0.1460 0.0629 1.0000 1.0000 0.0629 0.1460 0.1492 0.0820
0
π
0
0
ππ
0
0
π
0
3.2 综合具有零深的天线阵方向图。综合要求：对于单元个数为32，单元间距为0.5λ的天线阵， 要求方向图在-500到-450和350到400的位置形成低于-40dB的零深，在其它位置副瓣电平为低于-20dB。 用PSO算法综合的结果如图2所示。
是粒子本身所找到的最优解，另一个极值是整个种群目前找到的最优解。设第 i 个粒子表示为
Xi = ( xi1, xi2 ,LL, xid ) ,它经历过的最好位置(有最好的适应值)用 Pbest = ( pi1, pi2 ,LL pid ) 表示。而群体 所有粒子经历过的最好位置用 g best 表示。粒子 i 的速度用 Vi = (vi1, vi2 ,LL, vid ) 表示。对每一代个体,
第四步: 对每个粒子, 将其适应度值与全局所经历的最好位置 gbest 作比较, 如果好于后者, 则重新记录 gbest 的大小；
第五步: 先根据方程(1) 重新计算粒子的速度，然后根据方程（2）重新计算粒子位置；
第六步: 如果满足结束条件，程序终止，否则跳转到第二步。 2.3 天线阵列综合中算法的参数设置
对于标准PSO算法的参数包括: 群体规模swarmsize ,每个粒子的维数dimension，惯性权重ω ,
加速常数 c1 和 c2 , 最大速度Vmax , 最大代数 Gmax .具体程序中PSO算法的参数设置是：种群的规模一
般是由待优化的参数的个数来决定的，一般原则是种群个数多于优化参数的个数；惯性权重ω可以
杨 科（1979-），男，陕西汉中人，现为西安电子科技大学系统工程在读硕士研究生
134-1
为“粒子”。所有的粒子都有一个由被优化的函数决定的适应度值，并且每个粒子还有一个速度决定
它们飞翔的方向和距离。PSO 算法首先初始化一群随机粒子（随机解），在搜索空间中以一定的速度
飞行，然后通过迭代找到最优解。在每一次迭代中，粒子通过跟踪两个极值来更新自己，第一个就
具体的算法参数设置和优化结果：算法中种群的大小设置为60，每个粒子的维数为64（其中前 32位表示激励大小，后32位表示相位大小）适应度函数包括副瓣区的电平高低和两个零深区的电平 高低，程序在1000代达到了图2所示的结果。从图2可以看出，用PSO优化后的方向图在期望的零深位 置电平均已经压制到了-40dB以下，副瓣的其它位置的电平也均已经压至－20dB以下，实际方向图与 目标方向图逼近的较好，基本满足了设计要求，阵元的激励与相位分布如表2所示。 3. 3 综合基站天线阵列常用的余割方向图。综合要求：为了使天线阵列在业务区有相同的辐射电平，
粒子群优化算法用于阵列天线方向图综合设计
杨科 陈胜兵 焦永昌 张福顺
（西安电子科技大学，天线与电磁散射研究所，陕西，西安，710071）
摘 要: 粒子群优化算法是基于一群粒子的智能运动而产生的随机进化计算方法，其优点是算法非常利于
理解和应用。本文首先介绍了粒子群算法的原理和流程，研究了如何将这种方法运用于天线阵的方向图综 合上，最后给出了PSO算法在综合阵列方向图的应用实例，表明了粒子群算法在天线阵列综合上具有广泛的 应用前景。
为两个在[0, 1] 范围内变化的随机函数。此外, 粒子的速度 vi 被一个最大速度 vmax 所限制。
2.2 标准算法流程
标准PSO算法的工作流程如下:
第一步：初始化一群粒子(群体规模为swarmsize )包括起始位置和速度；
第二步：计算每个粒子的适应度值；
第三步：对每个粒子，将其适应度值与其经历过的最好位置 pbest 作比较，如果好于后者，则将 此时的适应度值作为当前的最好位置 pbest ；
134-3
业务区的方向图要求呈余割分布，而方向图在干扰区应该有比较低的辐射电平，并且业务区要做到 尽可能的零值填充；约束条件：为了利于工程实现，要求在只通过调整单元相位和间距的条件下来 实现上述方向图的综合。
具体算法参数的设置与综合结果：种群的大小为30，每个粒子的维数为31，其中前16位表示单 元的相位，后15位表示各单元（从第二个单元开始）到第一个单元的距离。程序叠代了500次，得到 的结果如图3所示。从图3可以看出，干扰区的副瓣电平已经基本被压缩到-20dB以下，而业务区的副 瓣的包络基本按照余割下降，并且业务区的零深也得到了一定的填充。优化的结果与目标方向图比 较接近，基本满足了工程要求。单元的相位和间距的大小如下表3所示。
出误差的最大值，优化的目的就是使最大误差减小到最小，这样实际的方向图就最接近规定方向图。
对于天线阵综合这种多目标问题比较常用的适应度函数的形式是：
fitness( x)
=
min max(
x∈D i≤x≤n
fa (x,θi ) −
fd
(θi ) 2 )
（3）
134-2
{ } D = x 0 < m1i ≤ 1,0 ≤ β1i ≤ 2π , d1i < d 2i < LL < dii
3．应用举例
3.1 综合扇形波束方向图。综合要求：当辐射角为 − 450 ≤ θ ≤ 450 时，fd = 1 ,当θ 为其它值时，fd = 0 ， 设单元的个数为10,单元间距要求为0.5 λ ,用PSO优化的结果如图1所示。
0
1.0
PSO
desired pattern
0.8
-10
Far field magnitude Far field magnititude(dB)
表 2 用 PSO 算法综合 32 元具有零深的阵列方向图激励（归一化）与相位（度）
单元
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
表 1 用 PSO 和 Woodward 综合 10 元扇形方向图的单元的相位和激励幅值（归一化）
Woodward 综合结果 PSO综合结果
阵元 激励幅值 相位 激励幅值 相位
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.0813 0.1960 0.1768 0.0606 1.0000 1.0000 0.0606 0.1768 0.1960 0.0813
其第 d 维(1 ≤ d ≤D )的速度和位置根据如下方程变化：
vid = w * vid + c1rand1 () * ( pid − xid ) + c2 Rand 2 () * ( p gd − xid )
(1)
xid = xid + vid
(2)
其中: w 为惯性权重(inertia weight) , c1 和 c2 为加速常数(acceleration constants) , rand1() 和 Rand2 ()
0.6
pso
woodward-lawson
0.4
desired pattern
0.2
0.0 -90 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
angle(θ)(degrees)
图 1 用 PSO 算法综合 10 元扇形方向图
1．引言
PSO算法最早是由kenndey和Eberhart等[1]于1995年提出的。受到人工生命的研究结果启发，PSO 的基本概念源于对蜂群采蜜行为的研究。由于认识到PSO在函数优化等领域所蕴含的广阔的应用前 景，在kenndey和Eberhart之后很多学者都进行了这方面的研究。目前，PSO已应用于了函数优化，神 经网络训练，模式分类，模糊系统控制以及其它的领域，在电磁学领域也有了一些成功的应用[2][3]。
-20
-30
-40 -90 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
angle(θ)(degree)
图 2 用 PSO 算法综合的 32 元带零深阵列的
具体算法参数的设置与综合结果：种群的大小设置为20，每个粒子的维数为5（10个单元激励 对称分布）表示天线单元的激励幅度，把PSO算法优化的结果与Woodward计算的结果进行对比，可 以看出PSO算法优化的结果在副瓣电平的大小，和主瓣区波纹的波动两项指标上都优于Woodward的， 综合的效果比Woodward更加逼近目标方向图。PSO与Woodward综合的单元的激励幅值和相位大小如 表1所示。
2.1 基本PSO算法 PSO 算法与其它演化算法相似，也是一种基于群体的优化算法。设想这样一个场景：有一群蜜
蜂，它们的任务是在一个区域里寻找花蜜最多的花群，所有的蜜蜂都不知花群的具体位置。每只蜜 蜂都只是从一个随机的位置，以一个随机的速度开始寻找花群，但每一只蜜蜂都有记忆它自己和整 个蜂群所经历最好花群地点的能力。那么找到花群的最优策略是什么呢？最简单有效的方法就是每 只蜜蜂根据某种原则不断的改变飞行方向，直到找到花蜜最多的花群。PSO 算法从这种模型中得到 启示并用于解决优化问题。PSO 算法中，每个优化问题的潜在解都是搜索空间中的一只蜜蜂，称之
是定值，也可是随叠代的次数而呈线性变化的Hale Waihona Puke Baidu本文使用的是后者，其变化的范围是从0.9到0.4；
加速常数 c1 和 c2 均等于2.0；最大速度 vmax 为1.0；这些参数的设置都是根据大量的数值实验得出的
。 [4][5]
适应度函数的设计是算法的关键，它的好坏直接决定了优化效果，它必须根据所要优化的问题
关键词: 粒子群算法; 阵列天线;天线方向图;
Particle Swarm Optimization in the Antenna Array Pattern Synthesis
Yang Ke ，Chen Sheng-bing, Jiao Yong-chang，Zhang Fu-shun
(Inst. of Antennas and EM Scattering, Xidian Univ., Xi’an 710071, China)
其中 x = (m1i ,Lmii , β1i L β ii , d1i Ldii ) T 即由激励幅值，激励相位和单元间距组成；θi 是辐射角，它们是 一些取样点（通常为方向图的副瓣位置和零深位置）； fa(x,θi) 根据每个粒子的值所计算出的方向图， 而 f d (θi ) 是所要逼近的目标方向图。以下部分给出了阵列综合中常用的例子用PSO算法综合的结果， 详细的讨论了综合具体天线阵列时PSO算法的设置。
Abstract: Particle Swarm optimization (PSO) is a robust stochastic evolutionary computation technique based on the movement and intelligence of swarm, which is very easy to understand and implement. This paper introduces a conceptual overview and detailed explanation of the PSO algorithm, as well as how it can be used for antenna array design, and presents several results optimized by PSO, which show the abroad application foreground of PSO in the antenna array design. Key words: Particle Swarm Optimization, Array antenna, Radiation Pattern
具体设计。在天线阵列综合中，适应度函数一般表示天线实际所产生的方向图与目标方向图的差异
大小。先计算出每个粒子的方向图与规定的理想方向图的误差，再对这个误差作变换得到适应度。
误差越大,适应度越低;误差越小,适应度越高。在计算误差时,采用了最大误差的形式,即计算实际天
线阵方向图与规定方向图在各个取样点(一般为副瓣（ sll ）位置，零深( null )位置)的误差，然后找
π
0
ππ
0
0
ππ
0
π
0.0820 0.1492 0.1460 0.0629 1.0000 1.0000 0.0629 0.1460 0.1492 0.0820
0
π
0
0
ππ
0
0
π
0
3.2 综合具有零深的天线阵方向图。综合要求：对于单元个数为32，单元间距为0.5λ的天线阵， 要求方向图在-500到-450和350到400的位置形成低于-40dB的零深，在其它位置副瓣电平为低于-20dB。 用PSO算法综合的结果如图2所示。
是粒子本身所找到的最优解，另一个极值是整个种群目前找到的最优解。设第 i 个粒子表示为
Xi = ( xi1, xi2 ,LL, xid ) ,它经历过的最好位置(有最好的适应值)用 Pbest = ( pi1, pi2 ,LL pid ) 表示。而群体 所有粒子经历过的最好位置用 g best 表示。粒子 i 的速度用 Vi = (vi1, vi2 ,LL, vid ) 表示。对每一代个体,
第四步: 对每个粒子, 将其适应度值与全局所经历的最好位置 gbest 作比较, 如果好于后者, 则重新记录 gbest 的大小；
第五步: 先根据方程(1) 重新计算粒子的速度，然后根据方程（2）重新计算粒子位置；
第六步: 如果满足结束条件，程序终止，否则跳转到第二步。 2.3 天线阵列综合中算法的参数设置
对于标准PSO算法的参数包括: 群体规模swarmsize ,每个粒子的维数dimension，惯性权重ω ,
加速常数 c1 和 c2 , 最大速度Vmax , 最大代数 Gmax .具体程序中PSO算法的参数设置是：种群的规模一
般是由待优化的参数的个数来决定的，一般原则是种群个数多于优化参数的个数；惯性权重ω可以
杨 科（1979-），男，陕西汉中人，现为西安电子科技大学系统工程在读硕士研究生
134-1
为“粒子”。所有的粒子都有一个由被优化的函数决定的适应度值，并且每个粒子还有一个速度决定
它们飞翔的方向和距离。PSO 算法首先初始化一群随机粒子（随机解），在搜索空间中以一定的速度
飞行，然后通过迭代找到最优解。在每一次迭代中，粒子通过跟踪两个极值来更新自己，第一个就
具体的算法参数设置和优化结果：算法中种群的大小设置为60，每个粒子的维数为64（其中前 32位表示激励大小，后32位表示相位大小）适应度函数包括副瓣区的电平高低和两个零深区的电平 高低，程序在1000代达到了图2所示的结果。从图2可以看出，用PSO优化后的方向图在期望的零深位 置电平均已经压制到了-40dB以下，副瓣的其它位置的电平也均已经压至－20dB以下，实际方向图与 目标方向图逼近的较好，基本满足了设计要求，阵元的激励与相位分布如表2所示。 3. 3 综合基站天线阵列常用的余割方向图。综合要求：为了使天线阵列在业务区有相同的辐射电平，
粒子群优化算法用于阵列天线方向图综合设计
杨科 陈胜兵 焦永昌 张福顺
（西安电子科技大学，天线与电磁散射研究所，陕西，西安，710071）
摘 要: 粒子群优化算法是基于一群粒子的智能运动而产生的随机进化计算方法，其优点是算法非常利于
理解和应用。本文首先介绍了粒子群算法的原理和流程，研究了如何将这种方法运用于天线阵的方向图综 合上，最后给出了PSO算法在综合阵列方向图的应用实例，表明了粒子群算法在天线阵列综合上具有广泛的 应用前景。
为两个在[0, 1] 范围内变化的随机函数。此外, 粒子的速度 vi 被一个最大速度 vmax 所限制。
2.2 标准算法流程
标准PSO算法的工作流程如下:
第一步：初始化一群粒子(群体规模为swarmsize )包括起始位置和速度；
第二步：计算每个粒子的适应度值；
第三步：对每个粒子，将其适应度值与其经历过的最好位置 pbest 作比较，如果好于后者，则将 此时的适应度值作为当前的最好位置 pbest ；
134-3
业务区的方向图要求呈余割分布，而方向图在干扰区应该有比较低的辐射电平，并且业务区要做到 尽可能的零值填充；约束条件：为了利于工程实现，要求在只通过调整单元相位和间距的条件下来 实现上述方向图的综合。
具体算法参数的设置与综合结果：种群的大小为30，每个粒子的维数为31，其中前16位表示单 元的相位，后15位表示各单元（从第二个单元开始）到第一个单元的距离。程序叠代了500次，得到 的结果如图3所示。从图3可以看出，干扰区的副瓣电平已经基本被压缩到-20dB以下，而业务区的副 瓣的包络基本按照余割下降，并且业务区的零深也得到了一定的填充。优化的结果与目标方向图比 较接近，基本满足了工程要求。单元的相位和间距的大小如下表3所示。
出误差的最大值，优化的目的就是使最大误差减小到最小，这样实际的方向图就最接近规定方向图。
对于天线阵综合这种多目标问题比较常用的适应度函数的形式是：
fitness( x)
=
min max(
x∈D i≤x≤n
fa (x,θi ) −
fd
(θi ) 2 )
（3）
134-2
{ } D = x 0 < m1i ≤ 1,0 ≤ β1i ≤ 2π , d1i < d 2i < LL < dii
3．应用举例
3.1 综合扇形波束方向图。综合要求：当辐射角为 − 450 ≤ θ ≤ 450 时，fd = 1 ,当θ 为其它值时，fd = 0 ， 设单元的个数为10,单元间距要求为0.5 λ ,用PSO优化的结果如图1所示。
0
1.0
PSO
desired pattern
0.8
-10
Far field magnitude Far field magnititude(dB)
表 2 用 PSO 算法综合 32 元具有零深的阵列方向图激励（归一化）与相位（度）
单元
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
表 1 用 PSO 和 Woodward 综合 10 元扇形方向图的单元的相位和激励幅值（归一化）
Woodward 综合结果 PSO综合结果
阵元 激励幅值 相位 激励幅值 相位
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.0813 0.1960 0.1768 0.0606 1.0000 1.0000 0.0606 0.1768 0.1960 0.0813
其第 d 维(1 ≤ d ≤D )的速度和位置根据如下方程变化：
vid = w * vid + c1rand1 () * ( pid − xid ) + c2 Rand 2 () * ( p gd − xid )
(1)
xid = xid + vid
(2)
其中: w 为惯性权重(inertia weight) , c1 和 c2 为加速常数(acceleration constants) , rand1() 和 Rand2 ()
0.6
pso
woodward-lawson
0.4
desired pattern
0.2
0.0 -90 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
angle(θ)(degrees)
图 1 用 PSO 算法综合 10 元扇形方向图
1．引言
PSO算法最早是由kenndey和Eberhart等[1]于1995年提出的。受到人工生命的研究结果启发，PSO 的基本概念源于对蜂群采蜜行为的研究。由于认识到PSO在函数优化等领域所蕴含的广阔的应用前 景，在kenndey和Eberhart之后很多学者都进行了这方面的研究。目前，PSO已应用于了函数优化，神 经网络训练，模式分类，模糊系统控制以及其它的领域，在电磁学领域也有了一些成功的应用[2][3]。
-20
-30
-40 -90 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
angle(θ)(degree)
图 2 用 PSO 算法综合的 32 元带零深阵列的
具体算法参数的设置与综合结果：种群的大小设置为20，每个粒子的维数为5（10个单元激励 对称分布）表示天线单元的激励幅度，把PSO算法优化的结果与Woodward计算的结果进行对比，可 以看出PSO算法优化的结果在副瓣电平的大小，和主瓣区波纹的波动两项指标上都优于Woodward的， 综合的效果比Woodward更加逼近目标方向图。PSO与Woodward综合的单元的激励幅值和相位大小如 表1所示。