第二章 机器人静力分析与动力学

连杆的静力平衡条件为其上所受的合力和合力矩为零，因 此力和力矩平衡方程式为:
fi 1,i ( fi ,i 1 ) mi g 0
ni1,i (ni,i1 ) (ri1,i ri,Ci ) fi1,i (ri,Ci ) ( fi,i 1 ) 0
Y 1 Y 2
dX dq J (q ) dt dt
第1列矢量和第2列矢量，则有 v J11 J 22 式中：右边第一项表示仅由第一个关节运动引起的端点速度；右边第 ， 二项表示仅由第二个关节运动引起的端点速度；总的端点速度为这两 个速度矢量的合成。因此，机器人速度雅可比的每一列表示其他关节 ， 不动而某一关节运动产生的端点速度。 2 f 2 (t ) 则可 1 f1 (t ) ， 假如已知的 1 及 2 是时间的函数，即， 求出该机器人手部在某一时刻的速度 v =f (t)，即手部瞬时速度。 反之，假如给定机器人手部速度，可解出相应的关节速度为 q J 1 v 式中：J–1称为机器人逆速度雅可比。
[例] 图示的二自由度机械手，手部沿固定坐标系X0轴正向以1.0 m/s的速 度移动，杆长l1=l2=0.5 m。设在某瞬时θ1=30°，θ2=60°，求相应瞬时 的关节速度。 解：二自由度机械手速度雅可比为
l s l s J 1 1 2 12 l1c1 l2 c12 l2 s12 l2 c12

雅可比矩阵（6自由度机器人）
联系机器人关节速度与末端的笛卡儿速度 设：（为便于表达，写成分块矩阵的形式）
J
J 11 J 21
033 J 22

1、已知各关节的速度求操作臂末端的速度
x J (q)q v J l1 J l 2 w J a1 J a 2 q1 J ln q 2 J an qn
1
l2 c12 l c l c 1 1 2 12
l2s12 1 l1s1 l2s12 0
c12 1 rad / s 2 rad / s l1s 2 0.5
2
c1 c 12 4 rad / s l1s 2 l1s 2
q 1 Y q1 Z q1
X X
X
q2 Y q2 Z q2
qn Y qn Z qn

2.1.2 机器人速度分析
式中：ri–1，i —坐标系{i}的原点相对于坐标系{i+1}的位置矢量； ri，ci —质心相对于坐标系{i}的位置矢量。

假如已知外界环境对机器人末杆的作用力和力矩，那么可 以由最后一个连杆向零连杆(机座)依次递推，从而计算出 每个连杆上的受力情况。
2.2.2 机器人力雅可比
为了便于表示机器人手部端点的力和力矩(简称为端点广义力F )，可 将 fn，n+1和nn，n+1合并写成一个6维矢量
l1s1 l2 s12 J l1c1 l2 c12
l2 s12 l2 c12
推而广之，对于n自由度机器人，关节变量可用广义关节变量 q 表 示，q= [q1, q2, …, qn]T，当关节为转动关节时qi=θi；当关节为移动关节 时qi=di，dq= [dq1，dq2, … , dqn]T，反映了关节空间的微小运动。机器 人末端在操作空间的位置和方位可用末端手爪的位姿 X 表示，它是关 节变量的函数，X=X(q)，并且是一个6维列矢量。 X X X dX=[dX，dY，dZ，φX，φY，φZ]T q qn q2 1 反映了操作空间的微小运动，它由机器人 Y Y 末端微线位移和微小角位移(微小转动)组 Y q1 qn q 2 成。有 Z dX=J(q)dq Z Z qn q2 q1 式中：J(q)是6×n维偏导数矩阵，称为 X J(q) q T n自由度机器人速度雅可比。
换言之：机械手的操作速度与关节速度间的线性变换定义
为机械手的雅可比矩阵。
x x(q ) J (q)q x
xi (q) J ij (q) , q j i 1,2,,6, j 1,2,, n
2.1.1 机器人雅可比的定义
雅可比是一个把关节速度向量变换为手爪相对基坐标的广义速度向 量 v 的变换矩阵。通过一个例子来说明。 图示为二自由度平面关节型机器人，端点 位置X、Y与关节θ1、θ2的关系为 将其微分，并写成矩阵形式为


当机器人处在奇异形位时会产生退化现象，丧失 一个或更多的自由度。这意味着在工作空间的某 个方向上，不管怎样选择机器人关节速度，手部 也不可能实现移动。 例如，对于例题，当l1l2sθ2=0时，无解。l1≠0、 l2≠0，即θ2=0或θ2=180°时，二自由度机器人逆 速度雅可比J –1奇异。这时，该机器人二臂完全伸 直或完全折回，机器人处于奇异形位。在这种奇 异形位下，手部正好处于工作空间的边界，手部 只能沿着一个方向(即与臂垂直的方向)运动，不能 沿其他方向运动，退化了一个自由度。
X l1c1 l2 c12 Y l1s1 l2 s12
X X (1 , 2 ) Y Y (1 , 2 )
令
上式可简写为
d X = Jd θ
X 1 dX dY Y 1 X 2 d1 Y d 2 2
定义如下变量： f i–1，I 及 ni–1，i ——i–1杆通过关节 i作用在i杆上的力和力矩； fi，i+1 及 ni，i+1——i杆通过关节i+1作用在i+1杆上的力和力矩； –fi，i+1 及 –ni，i+1——i+1杆通过关节i+1作用在i杆上的反作用力和反作 用力矩； fn，n+1及 nn，n+1——机器人最末杆对外界环境的作用力和力矩； –fn，n+1 及 –nn，n+1——外界环境对机器人最末杆的作用力和力矩； f0，1及n0，1——机器人机座对杆1的作用力和力矩； m g——连杆i的重量，作用在质心C 上。
对式 dX=J(q) dq 左、右两边各除以 dt 得
v X J (q)q 或表示为 v为机器人末端在操作空间中的广义速度；q 为机器人关节在关节空 间中的关节速度；J(q)为确定关节空间速度与操作空间速度v之间关系 X X 的雅可比矩阵。 对于前面图示机器人 J 1 2 若令J1，J2分别为雅可比的

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机器人雅可比矩阵 机器人静力分析 机器人动力学方程
机器人的动态特性
2.1 机器人雅可比矩阵 机器人雅可比矩阵J（简称雅可比）揭示了操作空间与 关节空间的映射关系。不仅表示速度映射关系，也表示力 的传递关系。 也 称机器人雅可比矩阵J为机器人的速度雅可比，具体为： 它反映了关节空间微小运动dθ与手部作业空间微小位移 dX 的关系。J中元素是关于θ1及θ2的函数。
因此，逆雅可比为
J 1 1 l1l2s 2 l2 c12 l c l c 1 1 2 12 l2s12 l1s1 l2s12
由 θ J 1v
，且， v [1,0]T ，即vX=1 m/s，vY=0，有
1 1 2 l1l2s 2
2.2 机器人静力分析

机器人各关节的驱动装置提供关节力和力 矩，通过连杆传递到末端执行器，克服外 界作用力和力矩。关节驱动力和力矩与末 端执行器施加的力和力矩之间的关系是机 器人操作臂力控制的基础。
2.2.1 操作臂力和力矩的平衡 如图示，杆 i 通过关节 i 和 i+1 分别与杆 i–1和 i+1相连 接，建立两个坐标系{i–1}和{i}。
机器人动力学主要研究机器人运动特性和受 力之间的关系，目的是对机器人进行控制、 优化设计和仿真。机器人动力学两类问题：
动力学正问题和动力学逆问题。

动力学正问题：已知机械手各关节的作用 力或力矩，求各关节的位移、速度、加速 度、运动轨迹； 动力学逆问题：已知机械手的运动轨迹， 即各关节的位移、速度和加速度，求各关 节的驱动力和力矩。
Jli和J ai分别表示关节i的单位关节速度引起末端的线速度和角速度。
v J11 033 qu x w J 21 J 22 ql
v J11qu w J 21qu J 22 ql qu [q1 q2 q3 ] ql [q4 q5 q6 ]
2.1.3 机器人雅可比讨论 对于平面运动的机器人，其雅可比J 的行数 恒为 3，列数则为机械手含有的关节数目， 手的广义位置向量 [X，Y，φ]T 均容易确定， 且方位φ与角运动的形成顺序无关，故可采 用直接微分法求φ，非常方便。

在三维空间作业的六自由度机器人的雅可比 J 的前三行代 表手部线速度与关节速度的传递比，后三行代表手部角速 度与关节速度的传递比。而雅可比矩阵 J 的每一列则代表 相应关节速度对手部线速度和角速度的传递比， J 阵的行 数恒为6 (沿/绕基坐标系的变量共6个)，通过三维空间运行 的机器人运动学方程可以获得直角位置向量 [X，Y，Z]T 的显式方程。因此，J 的前三行可以直接微分求得，但不 可能找到方位向量[φX，φY，φZ]T 的一般表达式。这是因 为，虽然可以用角度如回转角、俯仰角及偏转角等来规定 方位，却找不出互相独立、无顺序的三个转角来描述方位； 绕直角坐标轴的连续角运动变换不满足交换率，而角位移 的微分与角位移的形成顺序无关，故一般不能运用直接微 分法来获得 J 的后三行。因此常用构造法求雅可比 J。
fn,n1 F nn,n1
各关节驱动器的驱动力或力矩可写成一个n维矢量的形式，即
τ 1 τ2 τ τ n
式中：n为关节的个数；τ为关节力矩(或关节力)矢量，简称广义关节力矩。 对于转动关节，τi表示关节驱动力矩；对于移动关节，τi表示关节驱动力。
如果希望工业机器人手部在空间按规定的速度进行
作业，则应计算出沿路径每一瞬时相应的关节速度。 但是，当雅可比的秩不是满秩时，求解逆速度雅可 比J –1 较困难，有时还可能出现奇异解，此时相应 操作空间的点为奇异点，无法解出关节速度，机器 人处于退化位置。


机器人的奇异形位分为两类： 1) 边界奇异形位：当机器人臂全部伸展开或全 部折回时，使手部处于机器人工作空间的边界上 或边界附近，出现逆雅可比奇异，机器人运动受 到物理结构的约束。这时相应的机器人形位叫做 边界奇异形位。 2) 内部奇异形位：两个或两个以上关节轴线重 合时，机器人各关节运动相互抵消，不产生操作 运动。这时相应的机器人形位叫做内部奇异形位。
X X d X d d 2 1 1 2 dY Y d Y d 1 2 1 2
X J 1 Y 1
X 2 Y 2
d dθ 1 d 2 dX dX dY
假定关节无摩擦，并忽略各杆件的重力，利用虚功 原理推导机器人手部端点力F 与关节力矩τ的关系。