初中物理竞赛全国中学生物理竞赛课件8：功与能精编版

d2 l
g
d2
4
y
h
F浮
示功图
1 gl d 2 W浮 l 2 4
160 3 h m 16 1
4.9 m
0
Y
l
♠ 方法 B
如果在某一位移区间，力随位移变化的关系 为F=f(s) ，求该变力的功通常用微元法，即将位 移区间分成n（n→∞）个小区间s/n，在每个小 区间内将力视为恒定，求其元功Fi· s/n ，由于功 是标量，具有“可加性”，那么总功等于每个 小区间内元功之代数和的极限，即变力在这段 n 位移中所做的功为：
W lim
Wi n
i 1
在数学上，确定元功相当于给出数列通项 式，求总功即求数列n项和当n→∞时的极限．
半径等于r的半球形水池，其中充满了水，把池内 的水完全吸尽，至少要做多少功？ 沿着容器的竖直直径，我们将水池内的水均匀细分成n 层，每一元层水的高度 h r
专题8-例3
每一层水均可看作一个薄圆柱，水面下第i层 2 r 水柱底面的半径 2
2 ma
F
示功图
对示功图求梯形阴影“面积” ma 1 3 W m a 2a a ma 2 0 2 2
对质点经过位移a的过程，由动能定理
WF a a
r
3 1 2 2 ma mv 2 2
v a 3
跳水运动员从高于水面H＝10 m的跳台自由落下，运动员的质 量m＝60 kg，其体形可等效为长度l＝1.0 m、直径d＝0.30 m的圆柱体，略去空气 阻力，运动员入水后水的等效阻力F作用于圆柱体下端面，F量值随入水深度y变化 如图，该曲线近似为椭圆的一部分，长轴和短轴分别与OY和OF重合，为了确保运 动员绝对安全，试计算水池中水的h至少应等于多少？
W 0
2
W S矩
x/m
1 2 2 24 4 24 J 2 3
16 J
如图所示，一质量为m，长为l的柔软绳索，一部分平直地放在 桌面上，另一部分跨过桌面边缘的光滑定滑轮下垂，柔绳与桌面间的摩擦因数为 μ．⑴柔绳能由静止开始下滑，求下垂部分长度至少多长？⑵由这一位置开始运动， 柔绳刚离开桌面时的速度多大？
其中阻力功根据示功图为四分之一个椭圆 1 5mg “面积” :
mg H h W浮 W阻 0 0 5mg/2
对全过程运用动能定理:
F
示功图
W阻
Y
W阻
入水过程中，浮力随入水深度y作线性变化 F浮
4

2
h
0
W浮 gl h l g ld 2 4 2 4 d2 1 5 m 10 h l h mh 0 4 2 8
x0
⑴设柔绳恰由静止开始下滑时下垂部分长度为x0，则由 m m x
1 2 2 2 WG W f mv mg ll m x0 x0 m 2 lg x0 g 其中，重力功等于绳重力势能减少 WG 2l l l 2 2 m 摩擦力为线性变力： F f xg 示功图 mg 2l Ff Wf l x0 m l x0 g 2 l 2 l 2 g l 2 x0 g l x0 2
2 r 2 r r r i g i n n n 3 i
g r lim
1 3 3 3 1 3 g r lim 2 1 2 3 n 4 1 2 3 n n n n 2 2 1 1 n n 1 4 1 n n 1 4
♠ 方法 A
利用图象求功之方法适用于当力对位移的关 系为线性时;或在表示力对位移关系的F-s示功图 中F(s)图线与s轴围成的图形“面积”有公式可 依时;因为在F-s示功图中，这种“面积”的物理 意义就是功的大小． F
W 0
x
s
锤子打木桩，锤每次从同一高度落下，每次均有80%的能 量传给木桩，且木桩所受阻力f与插入深度x成正比，试求木桩每次打入的深度 比．若第一次打击使木桩插入了全长的1/3，全部插入须锤击多少次？
专题8-例1
本题中的阻力f为一与位移x成正比的变力，即f=kx
图中各阴影“面积” 表示第1、2、F 3……次锤击中，木桩克服阻力做 的功，数值上等于锤传给木桩的 能量，设为W0．
由图
示功图
0
W0
W0 W0
……
l x
2 2 2 2 x1 : x2 : x3 :: xn W0 : 2W0 : 3W0 : nW0 x1 : x2 : x3 :: xn 1: 2 : 3 : n x1 : x2 : x3 :: xn 1: 2 - 1 : 3 2 : n n 1 l 当xn=l时，由 3 1 n 9 次 x1 : xn 1: n l n
x1 x2 x3




2的力的作用，从x=0处移 某质点受到 F =6 x 专题8-例2 到x=2.0 m处，试求力F做了多少功？
本题中的变力力F与位移x成F=6x2关系，F-x图线为抛物线
图中 “面积” 表示F力做的功 “面积” 由阿基米德公式
示功图
F/N
24
S弓
由示功图得F力做的功
2 底 高 3 1 S弓 2
ri r i n
n
1 2
i

r
r ri
这层水的质量
将这层水吸出至少应做的元功是 Wi 将池水吸尽至少要做的功是
i W lim Wi g r 2 4 n n i 1 n
n 4
2 r 2 r mi r i n n
⑵柔绳恰由静止开始下滑至以v离开桌面，由动能定理
l
g l x0
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g x0min
1
l


v

l

v
gl l 1
Wf
0
l-x0
x
一质点的质量为m，被固定中心排斥，斥力的大小 F=μmr，其中r为质点离开此中心的距离．在开始时，r0=a，v=0，求 质点经过位移a时所达到的速度大小． 斥力为线性变化力！