有限元分析及应用
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应的增量，从而A点的位移分量为：。
u uA u dx x v v A v dx x
同理，B点的位移分量为：
u uB u dy y v vB v dy y
(3) 研究的基本技巧
采用微小体积元dxdydz的分析方法（针对任意变 形体）
40
2.2 弹性体的基本假设
为突出所处理的问题的实质，并使问题简单化和抽 象化，在弹性力学中，特提出以下几个基本假定。
(1) 物质连续性假定：物质无空隙，可用连续函数来描述； (2) 物质均匀性假定：物体内各个位置的物质具有相同特性； (3) 物质(力学)特性各向同性假定：物体内同一位置的物质在 各个方向上具有相同特性； (4) 线性弹性假定：物体的变形与外来作用的关系是线性的， 外力去除后，物体可恢复原状； (5) 小变形假定：物体变形远小于物体的几何尺寸，在建立方 程时，可以高阶小量（二阶以上）。
6
大约在300年前，牛顿和莱布尼茨发明了积 分法，证明了该运算具有整体对局部的可加 性。虽然，积分运算与有限元技术对定义域 的划分是不同的，前者进行无限划分而后者
进行有限划分，但积分运算为实现有限元技
术准备好了一个理论基础。 7
在牛顿之后约一百年， 著名数学家高斯提出了
加权余值法及线性代数
方程组的解法。这两项
45
2.4 弹性力学的基本方法
弹性力学里假想把物体分成无限多微小六面体 ，称
为微元体。考虑任一微元体的平衡（或运动），可
写出一组平衡（或运动）微分方程及边界条件。但
未知应力的数目总是超过微分方程的数目，所以弹
性力学问题都是超静定的，必须同时考虑微元体的
变形条件以及应力和应变的关系，它们在弹性力学
中相应的称为几何方程和物理方程。平衡（或运动）
平衡微分方程
51
平衡微分方程的矩阵形式为
σ b 0
其中， 是微分算子
x 0 0 0 y 0 0 0 z y x 0 0 z y z 0 x
式中，b是体积力向量， b [ X
2.1 变形体的描述与变量定义
(1) 变形体
变形体：即物体内任意两点之间可发生相对移动。 有限元方法所处理的对象：任意变形体
38
(2) 基本变量的定义
可以用以下各类变量作为任意变形体的描述
量
因此，在材料确定的情况下，基本的力学变量应该有：
位移、应变、应力
39
目的：对弹性体中的位移、应力、应变进行 定义和表达，进而建立平衡方程、几何方程 和材料物理方程
58
二维问题：应力边界条件
xl yxm X
xyl y m Y
59
圣维南原理（局部影响原理）
物体表面某一小面积上作用的外力，如果为一静力等
效的力系所代替，只能产生局部应力的改变，而在离
这一面积稍远处，其影响可以忽略不计。
60
61
62
均匀分布载荷作用 下的平板，应力分 布是均匀的。 材料力学中的拉伸 应力计算公式就是 圣维南原理应用的 结论。
3D情形下的力学基本变量
49
b
zx zx
c
zy
xz xz zy
b’ a
c’
yz
yz
xy
yx
yx
d
a’
xy
d’
a’
50
由力平衡条件
X 0
有：
yx x dx dydz x dydz yx dy dxdz yx dxdz x x y zx zx dz dxdy zx dxdy Xdxdydz 0 z x yx zx X 0 化简得到 x y z xy y zy Y 0 Y 0 x y z xz yz z Z 0 Z 0 x y z
Y
-0.06
Y
-0.002 -0.003 0.054
0.056
0.058
0.06
X
-0.08
-0.1 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12
X
28
0
0
-0.02
-0.001
-0.04
Y
-0.06
Y
-0.002 -0.003 0.054
0.056
0.058
0.06
X
-0.08
-0.1 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12
方程、几何方程和物理方程以及边界条件，称为弹
性力学的基本方程。
46
从取微元体入手，综合考虑静力（或运动）、
几何、物理三方面条件，得出其基本微分方
程，再进行求解，最后利用边界（表面）条
件确定解中的常数，这就是求解弹性力学问
题的基本方法。
47
2.5 空间问题的基本方程
dz
dy
dx
48
将正应力和正应变简写成
1 0 0 0 1 0 0 0 1
是单位矩阵。
根据上述定义，可以推出下列关系
δii δ11 δ22 δ33 3
δ1 j a j δ11a1 δ12 a2 δ13a3 a1 δ2 j a j δ21a1 δ22 a2 δ23a3 a2 δ3 j a j δ31a1 δ32 a2 δ33a3 a3
有限元法是最重要的工程分析技术之一。
它广泛应用于弹塑性力学、断裂力学、流
体力学、热传导等领域。有限元法是60年
代以来发展起来的新的数值计算方法，是
计算机时代的产物。虽然有限元的概念早
在40年代就有人提出，但由于当时计算机 尚未出现，它并未受到人们的重视。 4
随着计算机技术的发展，有限元法在各个 工程领域中不断得到深入应用，现已遍及
bi ，
42
j为哑指标。在三维问题中其变化的范围为1,2,3
Einstein 求和约定：哑指标意味着求和
指标记法的应用： 对于方程组
（2-1）
按一般的写法，可写为 若用指标记法：
（2-2） （2-3）
(2-3)式与(2-2)式等价，因为j为哑指标，意味着求和
43
克罗内克符号 在笛卡尔直角坐标系下，由 δij 表示的Kronecker
面的面积为 Mac=dA×l， Mab= dA×m，
Mcb= dA×n。 四面微分体的体积为
1 dV dh dA 3
假定斜微分面abc上作用的面力在三个坐 标轴上的投影分别为 X 体积力分量为X、Y、Z。
Y
Z
57
考虑
Y 0
YdA xydA l y dA m zy dA n YdV 0
17
变形体及受力情况的描述
18
求解方法
19
有限元方法的思路及发展过程
思路：以计算机为工具，分析任意变形体以获得所有
力学信息，并使得该方法能够普及、简单、高效、方
便，一般人员可以使用。
实现办法：
20
技术路线：
21
发展过程：
如何处理
对象的离散化过程
22
常用单元的形状
点 (质量)
.
线(弹簧，梁，杆，间隙)
63
一对集中力F/2作 用点区域仍然有比 较大的应力梯度变 化，但是比等效力 系F作用的变化小。
远离力的作用点区 域，应力分布仍然 均匀。而且均匀区 域更大。
64
几何方程：位移与应变的关系
B1 θ
θ1
A1
2
65
设 P 点的位移分量为 u 和 v ，由于坐标 x 有一
增量 dx ， A 点的位移较 P 点的位移也有一相
Y Z]
T
52
由力矩平衡条件
M
x
0
有：
yz zy dy dy dz yz y dy dxdz 2 yz dxdz 2 zy z dz dxdy 2 dz zy dxdy 0 2
全式除以dxdydz，合并相同的项，得
成果的前者被用来将微
分方程改写为积分表达
式，后者被用来求解有
限元法所得出的代数方 高斯(Gauss)
程组。
8
在18世纪，另 一位数学家拉
格朗日提出泛
函分析。泛函
分析是将偏微
分方程改写为
积分表达式的
拉格朗日(Lagrange J.) 另一途径。 9
在19世纪末及
20世纪初，数
学家瑞利和里
兹（Rayleigh
剪切力互等定律
xy yx
54
应力边界条件
四面微分体Mabc
55
斜微分面abc为其边界面的一部分，其外法
线N与各坐标轴夹角的余弦为cos(N，x)=l，
cos(N，y)=m，cos(N，z)=n。
从M点到斜微分面abc的垂直距离dh（图中 未标出），是四面微分体的高。 56
设斜微分面的面积为 dA ，则其它三个微分
1 yz 1 zy yz dy zy dz 0 2 y 2 z
略去微量项，得
yz zy
M
Y
0
zx xz
M
Z
0
xy yx
剪切力互等定律
53
二维问题：平衡微分方程
x yx X 0 x y
xy x y y Y 0
X
29
30
受垂直载荷的托架
31
体单元
•线性单元 / 二次单元 – 更高阶的单元模拟曲面的精度就越高。
低阶单元
更高阶单元
32
有限元分析的作用
复杂问题的建模简化与特征等效 软件的操作技巧（单元、网格、算法参数控制） 计算结果的评判 二次开发 工程问题的研究 误差控制
36
第二章 有限元分析的力学基础
(克罗内克)符号定义为
1, δij 0, 如果i j 如果i j
亦即
δ11 δ22 δ33 1
δ12 δ21 δ31 δ13 δ32 δ23 0
44
那么，矩阵
δ11 δ 21 δ31 δ12 δ22 δ32 δ13 = δ23 δ33
有限元分析及应用
第一章 有限元法简介
2
有限元法介绍
有限元法的基本思想是将结构离散化，用
有限个容易分析的单元来表示复杂的对象，
单元之间通过有限个结点相互连接，然后
根据变形协调条件综合求解。由于单元的
数目是有限的，结点的数目也是有限的，
所以称为有限元法(FEM，Finite Element Method)。 3
.
. . . .
线性
面 (薄壳, 二维实体, 轴对称实体)
. . .. . ...
二次
. . .. . ..
线性
体(三维实体)
. . . .. . . . . .. . . . .. .
二次
23
一维波传导问题 点 单元
线 单元
24
线 单元
点 单元
25
面 单元
0
0
-0.02
-0.001
-0.04
际上就是有限元的做法。
11
各（ 力对 学象 学、 科变 分量 支、 的方 关程 系、 求 解 途 径 ）
12
13
任意变形体力学分析的基本变量及方程
研究对象：任意形状的变形体 几种典型的对象 (1) 桥梁隧道问题
14
圆形隧道
三维模型
15
(2) 中华和钟
(3) 矿山机械
ຫໍສະໝຸດ Baidu16
(4) 压力容器的成形
dV 1 dh 将上式除以dA，并注意到体积力项 dA 3
当令dh→0取极限时，体积力一项趋于零。
由此得到
考虑
xyl y m zy n Y
xl yxm zx n X
考虑
X 0 Z 0
xzl yzm z n Z
应力边界条件
宇航工业、核工业、机电、化工、建筑、
海洋等工业，是机械产品动、静、热特性
分析的重要手段。早在70年代初期就有人
给出结论：有限元法在产品结构设计中的
应用，使机电产品设计产生革命性的变化，
理论设计代替了经验类比设计。 5
有限元法的孕育过程及诞生和发展
牛顿(Newton)
莱布尼茨(Leibniz G. W.)
以上基本假定将作为问题简化的出发点。
41
2.3 基本变量的指标表达
指标记法的约定：
自由指标：在每项中只有一个下标出现，如 ij ，i，
j为自由指标，它们可以自由变化；在三维问题中，
分别取为1，2，3；在直角坐标系中，可表示三个 坐标轴x, y, z。
哑指标：在每项中有重复下标出现，如： aij x j
Ritz）首先提出
可对全定义域
运用展开函数
瑞利(Rayleigh)
来表达其上的
未知函数。 10
1915年，数学家伽辽金(Galerkin)提出了选 择展开函数中形函数的伽辽金法，该方法 被广泛地用于有限元。1943年，数学家库
朗德第一次提出了可在定义域内分片地使
用展开函数来表达其上的未知函数。这实
u uA u dx x v v A v dx x
同理，B点的位移分量为：
u uB u dy y v vB v dy y
(3) 研究的基本技巧
采用微小体积元dxdydz的分析方法（针对任意变 形体）
40
2.2 弹性体的基本假设
为突出所处理的问题的实质，并使问题简单化和抽 象化，在弹性力学中，特提出以下几个基本假定。
(1) 物质连续性假定：物质无空隙，可用连续函数来描述； (2) 物质均匀性假定：物体内各个位置的物质具有相同特性； (3) 物质(力学)特性各向同性假定：物体内同一位置的物质在 各个方向上具有相同特性； (4) 线性弹性假定：物体的变形与外来作用的关系是线性的， 外力去除后，物体可恢复原状； (5) 小变形假定：物体变形远小于物体的几何尺寸，在建立方 程时，可以高阶小量（二阶以上）。
6
大约在300年前，牛顿和莱布尼茨发明了积 分法，证明了该运算具有整体对局部的可加 性。虽然，积分运算与有限元技术对定义域 的划分是不同的，前者进行无限划分而后者
进行有限划分，但积分运算为实现有限元技
术准备好了一个理论基础。 7
在牛顿之后约一百年， 著名数学家高斯提出了
加权余值法及线性代数
方程组的解法。这两项
45
2.4 弹性力学的基本方法
弹性力学里假想把物体分成无限多微小六面体 ，称
为微元体。考虑任一微元体的平衡（或运动），可
写出一组平衡（或运动）微分方程及边界条件。但
未知应力的数目总是超过微分方程的数目，所以弹
性力学问题都是超静定的，必须同时考虑微元体的
变形条件以及应力和应变的关系，它们在弹性力学
中相应的称为几何方程和物理方程。平衡（或运动）
平衡微分方程
51
平衡微分方程的矩阵形式为
σ b 0
其中， 是微分算子
x 0 0 0 y 0 0 0 z y x 0 0 z y z 0 x
式中，b是体积力向量， b [ X
2.1 变形体的描述与变量定义
(1) 变形体
变形体：即物体内任意两点之间可发生相对移动。 有限元方法所处理的对象：任意变形体
38
(2) 基本变量的定义
可以用以下各类变量作为任意变形体的描述
量
因此，在材料确定的情况下，基本的力学变量应该有：
位移、应变、应力
39
目的：对弹性体中的位移、应力、应变进行 定义和表达，进而建立平衡方程、几何方程 和材料物理方程
58
二维问题：应力边界条件
xl yxm X
xyl y m Y
59
圣维南原理（局部影响原理）
物体表面某一小面积上作用的外力，如果为一静力等
效的力系所代替，只能产生局部应力的改变，而在离
这一面积稍远处，其影响可以忽略不计。
60
61
62
均匀分布载荷作用 下的平板，应力分 布是均匀的。 材料力学中的拉伸 应力计算公式就是 圣维南原理应用的 结论。
3D情形下的力学基本变量
49
b
zx zx
c
zy
xz xz zy
b’ a
c’
yz
yz
xy
yx
yx
d
a’
xy
d’
a’
50
由力平衡条件
X 0
有：
yx x dx dydz x dydz yx dy dxdz yx dxdz x x y zx zx dz dxdy zx dxdy Xdxdydz 0 z x yx zx X 0 化简得到 x y z xy y zy Y 0 Y 0 x y z xz yz z Z 0 Z 0 x y z
Y
-0.06
Y
-0.002 -0.003 0.054
0.056
0.058
0.06
X
-0.08
-0.1 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12
X
28
0
0
-0.02
-0.001
-0.04
Y
-0.06
Y
-0.002 -0.003 0.054
0.056
0.058
0.06
X
-0.08
-0.1 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12
方程、几何方程和物理方程以及边界条件，称为弹
性力学的基本方程。
46
从取微元体入手，综合考虑静力（或运动）、
几何、物理三方面条件，得出其基本微分方
程，再进行求解，最后利用边界（表面）条
件确定解中的常数，这就是求解弹性力学问
题的基本方法。
47
2.5 空间问题的基本方程
dz
dy
dx
48
将正应力和正应变简写成
1 0 0 0 1 0 0 0 1
是单位矩阵。
根据上述定义，可以推出下列关系
δii δ11 δ22 δ33 3
δ1 j a j δ11a1 δ12 a2 δ13a3 a1 δ2 j a j δ21a1 δ22 a2 δ23a3 a2 δ3 j a j δ31a1 δ32 a2 δ33a3 a3
有限元法是最重要的工程分析技术之一。
它广泛应用于弹塑性力学、断裂力学、流
体力学、热传导等领域。有限元法是60年
代以来发展起来的新的数值计算方法，是
计算机时代的产物。虽然有限元的概念早
在40年代就有人提出，但由于当时计算机 尚未出现，它并未受到人们的重视。 4
随着计算机技术的发展，有限元法在各个 工程领域中不断得到深入应用，现已遍及
bi ，
42
j为哑指标。在三维问题中其变化的范围为1,2,3
Einstein 求和约定：哑指标意味着求和
指标记法的应用： 对于方程组
（2-1）
按一般的写法，可写为 若用指标记法：
（2-2） （2-3）
(2-3)式与(2-2)式等价，因为j为哑指标，意味着求和
43
克罗内克符号 在笛卡尔直角坐标系下，由 δij 表示的Kronecker
面的面积为 Mac=dA×l， Mab= dA×m，
Mcb= dA×n。 四面微分体的体积为
1 dV dh dA 3
假定斜微分面abc上作用的面力在三个坐 标轴上的投影分别为 X 体积力分量为X、Y、Z。
Y
Z
57
考虑
Y 0
YdA xydA l y dA m zy dA n YdV 0
17
变形体及受力情况的描述
18
求解方法
19
有限元方法的思路及发展过程
思路：以计算机为工具，分析任意变形体以获得所有
力学信息，并使得该方法能够普及、简单、高效、方
便，一般人员可以使用。
实现办法：
20
技术路线：
21
发展过程：
如何处理
对象的离散化过程
22
常用单元的形状
点 (质量)
.
线(弹簧，梁，杆，间隙)
63
一对集中力F/2作 用点区域仍然有比 较大的应力梯度变 化，但是比等效力 系F作用的变化小。
远离力的作用点区 域，应力分布仍然 均匀。而且均匀区 域更大。
64
几何方程：位移与应变的关系
B1 θ
θ1
A1
2
65
设 P 点的位移分量为 u 和 v ，由于坐标 x 有一
增量 dx ， A 点的位移较 P 点的位移也有一相
Y Z]
T
52
由力矩平衡条件
M
x
0
有：
yz zy dy dy dz yz y dy dxdz 2 yz dxdz 2 zy z dz dxdy 2 dz zy dxdy 0 2
全式除以dxdydz，合并相同的项，得
成果的前者被用来将微
分方程改写为积分表达
式，后者被用来求解有
限元法所得出的代数方 高斯(Gauss)
程组。
8
在18世纪，另 一位数学家拉
格朗日提出泛
函分析。泛函
分析是将偏微
分方程改写为
积分表达式的
拉格朗日(Lagrange J.) 另一途径。 9
在19世纪末及
20世纪初，数
学家瑞利和里
兹（Rayleigh
剪切力互等定律
xy yx
54
应力边界条件
四面微分体Mabc
55
斜微分面abc为其边界面的一部分，其外法
线N与各坐标轴夹角的余弦为cos(N，x)=l，
cos(N，y)=m，cos(N，z)=n。
从M点到斜微分面abc的垂直距离dh（图中 未标出），是四面微分体的高。 56
设斜微分面的面积为 dA ，则其它三个微分
1 yz 1 zy yz dy zy dz 0 2 y 2 z
略去微量项，得
yz zy
M
Y
0
zx xz
M
Z
0
xy yx
剪切力互等定律
53
二维问题：平衡微分方程
x yx X 0 x y
xy x y y Y 0
X
29
30
受垂直载荷的托架
31
体单元
•线性单元 / 二次单元 – 更高阶的单元模拟曲面的精度就越高。
低阶单元
更高阶单元
32
有限元分析的作用
复杂问题的建模简化与特征等效 软件的操作技巧（单元、网格、算法参数控制） 计算结果的评判 二次开发 工程问题的研究 误差控制
36
第二章 有限元分析的力学基础
(克罗内克)符号定义为
1, δij 0, 如果i j 如果i j
亦即
δ11 δ22 δ33 1
δ12 δ21 δ31 δ13 δ32 δ23 0
44
那么，矩阵
δ11 δ 21 δ31 δ12 δ22 δ32 δ13 = δ23 δ33
有限元分析及应用
第一章 有限元法简介
2
有限元法介绍
有限元法的基本思想是将结构离散化，用
有限个容易分析的单元来表示复杂的对象，
单元之间通过有限个结点相互连接，然后
根据变形协调条件综合求解。由于单元的
数目是有限的，结点的数目也是有限的，
所以称为有限元法(FEM，Finite Element Method)。 3
.
. . . .
线性
面 (薄壳, 二维实体, 轴对称实体)
. . .. . ...
二次
. . .. . ..
线性
体(三维实体)
. . . .. . . . . .. . . . .. .
二次
23
一维波传导问题 点 单元
线 单元
24
线 单元
点 单元
25
面 单元
0
0
-0.02
-0.001
-0.04
际上就是有限元的做法。
11
各（ 力对 学象 学、 科变 分量 支、 的方 关程 系、 求 解 途 径 ）
12
13
任意变形体力学分析的基本变量及方程
研究对象：任意形状的变形体 几种典型的对象 (1) 桥梁隧道问题
14
圆形隧道
三维模型
15
(2) 中华和钟
(3) 矿山机械
ຫໍສະໝຸດ Baidu16
(4) 压力容器的成形
dV 1 dh 将上式除以dA，并注意到体积力项 dA 3
当令dh→0取极限时，体积力一项趋于零。
由此得到
考虑
xyl y m zy n Y
xl yxm zx n X
考虑
X 0 Z 0
xzl yzm z n Z
应力边界条件
宇航工业、核工业、机电、化工、建筑、
海洋等工业，是机械产品动、静、热特性
分析的重要手段。早在70年代初期就有人
给出结论：有限元法在产品结构设计中的
应用，使机电产品设计产生革命性的变化，
理论设计代替了经验类比设计。 5
有限元法的孕育过程及诞生和发展
牛顿(Newton)
莱布尼茨(Leibniz G. W.)
以上基本假定将作为问题简化的出发点。
41
2.3 基本变量的指标表达
指标记法的约定：
自由指标：在每项中只有一个下标出现，如 ij ，i，
j为自由指标，它们可以自由变化；在三维问题中，
分别取为1，2，3；在直角坐标系中，可表示三个 坐标轴x, y, z。
哑指标：在每项中有重复下标出现，如： aij x j
Ritz）首先提出
可对全定义域
运用展开函数
瑞利(Rayleigh)
来表达其上的
未知函数。 10
1915年，数学家伽辽金(Galerkin)提出了选 择展开函数中形函数的伽辽金法，该方法 被广泛地用于有限元。1943年，数学家库
朗德第一次提出了可在定义域内分片地使
用展开函数来表达其上的未知函数。这实