实对称矩阵特征值计算方

– 6 / 19
8.2 求 一 般 矩 阵 特 征 值 的 计 算 方 法
求一般矩阵特征值的计算 方法 QR方法
⊲
实对称矩阵特征值计算方 法
∗ ∗ P1 A =

∗ ∗ ∗ . . . ∗ ∗
∗ ∗ ∗ .. . ∗ ∗
··· ··· ··· .. . . ··· ..
第25讲 • 2018.12.12 – 3 / 19
8.2 求 一 般 矩 阵 特 征 值 的 计 算 方 法
求一般矩阵特征值的计算 方法 QR方法
⊲
实对称矩阵特征值计算方 法
性质8.2.1 对一个给定矩阵A ∈ Rn×n , 存在一个正交阵Q ∈ Rn×n , 使 得 R11 R12 · · · R1m R22 · · · R2m QT AQ = , . .. . .. Rmm 其中对角子块Rii 为1 × 1或2 × 2矩阵. 性质右端的矩阵称为Schur矩阵. 当Rii 是1 × 1矩阵时, Rii 就是A的特 征值; 当Rii 为2 × 2矩阵时, 其特征值是一对共轭复数, 也是A的特征 值. 基本收敛是指对角子块下方元素趋于零, 上方元素不一定收敛. 注: 若{Ak }基本收敛, 我们就得到了矩阵A的所有特征值的近似, 进 而可以用反幂法求出对应的特征向量.
2 2 + · · · + a c = ± ( a2 n) . r +1
1 1
2 2 通常取c = −sgn(ar+1 )(a2 r +1 + · · · + an ) . 该变换保持a的前r 个分量 不 变 , 将 第 r + 1个 分 量 之 后 的 分 量 变 为 零 , 将 第 r + 1个 分 量 变 为 c , 这 个c 确保 a 2 = b 2 .
首先利用豪斯道夫变换P1 (正交阵)将矩阵A第1列次对角线下方元素 变为零, 再令
−1 T , = P1 AP1 A1 = P1 AP1
显然
T AT 1 = P1 (P1 A) .
这表明A1 与P1 A的结构一致, 即保持第1列次对角线下方元素为零. 我们可以看下面示意图:
第25讲 • 2018.12.12
求一般矩阵特征值的计算 方法 QR方法
⊲
8.2.2 求矩阵全部特征值与特征向量的QR方法 任给一个矩阵A, 我们知道存在正交矩阵Q将该矩阵变换为上三角矩 阵, 即 A = QR. 利用矩阵的QR分解, 我们可以求出矩阵A所有的特征值及特征向量, 我们称之为QR方法. 对给定的矩阵A, 记A0 = A, 对其进行QR分解得到A0 = Q0 R0 , 令A1 = R0 Q0 , 显然
实对称矩阵特征值计算方 法
回忆豪斯道夫变换的几何意义, 它将一个向量关于以u为法向的平面 做了镜像(保持长度不变), Hx = σv, 其中x是我们的向量, v 是给定的任一个单位向量, σ = x 2 . 由此我 们可以确定镜面的法向量 x − σv . u= x − σv 2
第25讲 • 2018.12.12
第25讲 • 2018.12.12
– 4 / 19
8.2 求 一 般 矩 阵 特 征 值 的 计 算 方 法
求一般矩阵特征值的计算 方法 QR方法
⊲
对矩阵做QR分解并计算RQ, 运算量很大. 通常先利用豪斯道夫变换( 镜像变换) H = I − 2uuT
T 其中 u 2 2 = uu = 1, 将A变化为拟上三角阵(海森伯格矩阵), 即次对 角线下方全为零的矩阵.
∗ ∗ ∗ . . .
∗ ∗ ∗ , . . . ∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ T . (P1 A) = . . ∗ ∗
ห้องสมุดไป่ตู้
∗ ∗ ∗ . . . ∗ ∗
∗ ∗ . . . ∗ ∗
··· ··· .. . . ··· ..
∗ ∗ . . .
∗ ∗ . . . ∗ ∗ ∗ ∗

由豪斯道夫变换的构成知u的第一个元素为零, 因此uuT 矩阵的第一 行和第一列均为零, H 是一个2 × 2的块对角阵, 第一个对角块为一阶 单位阵( 对于后面用到的豪斯道夫变换, 也具有这样的分块结构, 只不 过第一个对角块是一个r阶单位阵). 因此, P1 左乘(P1 A)T 保持了矩阵第一行(前r行)保持不变, 从 而A1 与P1 A具有相同的结构, 即第1列(前r列)次对角线下方元素为零. 如此再求P2 使得P2 A1 各列第1,2个元素不变, 但第2列第3个及以后元 素为零, 并记A2 = P2 A1 P −2 , A2 也同样保持了P2 A1 的结构. 如此继 续, 最多n − 2次即可得到与A相似的拟上三角阵An−2 .
– 5 / 19
8.2 求 一 般 矩 阵 特 征 值 的 计 算 方 法
求一般矩阵特征值的计算 方法 QR方法
⊲
实对称矩阵特征值计算方 法
特别地, 对任一向量a = (a1 , a2 , · · · , an )T , 以及 量b = (a1 , · · · , ar , c, · · · , 0, · · · , 0)T , 可以找到一个u构成豪斯道夫变 换H 使得Ha = b( a 2 = b 2 ), 仅需取 u= a−b , a−b 2 H = I − 2uuT ,
1 A1 = R0 Q0 ⇒ Q0 A1 = Q0 R0 Q0 = A0 Q0 ⇒ Q0 A1 Q− 0 = A0 ⇒ A1 ∼ A0 .
实对称矩阵特征值计算方 法
若Ak−1 = Qk−1 Rk−1 , 令Ak = Rk−1 Qk−1 , 同样我们知道 Ak ∼ Ak−1 . 即我们得到了一个相似的矩阵序列{Ak }(具有相同特征值).
求一般矩阵特征值的计算 方法 实对称矩阵特征值计算方 法
计算方法
第25讲 • 2018.12.12
– 1 / 19
⊲ 计算方法
QR方法
求一般矩阵特征值的
实对称矩阵特征值计算方 法
8.2 求 一 般 矩 阵 特 征 值 的 计 算 方 法
第25讲 • 2018.12.12
– 2 / 19
8.2 求 一 般 矩 阵 特 征 值 的 计 算 方 法