6二元关系4

离散数学第二章二元关系

第六节等价关系第七节序关系

).

()(3);

()(2);

()(1R ts R st R tr R rt R sr R rs ⊆==）））定理 设R 是A 上的关系。

).()()()()()(R str R srt R rst R rts R tsr R trs ==⊇==定理 对集合A 上的任意关系，trs(R)是包含R 并同时有自反、对称、传递特性的最小关系。

简化关系图：将关系图中每个结点的环略去、两结点间的双向边用一条无向边替代，这样简化后得到的图。

简化关系矩阵：设M R =(a ij )。用M R 中的元素构造出的如下三角阵： 12112132313

212

--n nn n n n x x x a a a x a a x a x

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡101010011000111011

0001001010110010111451051914601010

203100014501110500191

14

1）关系图法

先画出R的简化关系图，则其中每个“极大完全多边形”的顶点的集合，就是R的一个极大相容类。“完全多边形”指任两个结点间都有一条无向边，“极大”指只要再给它增添简化关系图中另外一个结点，它就不是完全多边形。

2）关系矩阵法 (1)列出R 的简化关系矩阵；

(2)R 的所有第n 级相容类为{x 1},{x 2},…,{x n }；

(3)若n=1，则终止； (4)若n>1，则i←n -1；

(5)A←{x j |a ji =1且i<j≤n}；

(6)对每个i+1级相容类S ，若S∩A 不为空，则添加一个新相容类{x i }∪(S∩A)；

(7)对已得到的任二相容类S 和S’，若

，则删去S’；称这样合并后的相容类为第i 级相容类；

(8)若i>1，则i←i -1，并转到(5)；

(9)若i=1，则终止。

S S '

例设R、S为A上的相容关系。判断R∩S、R∪S、

R-S、R S、R S、R2是否是相容关系。

第六节等价关系

定义若集合A上的关系R是自反的、对称的、传递的，则称R是A上的等价关系。若x,y∈A，

y、x≈y。

xRy，称x与y等价，记为x≈

R

例证明实数集R上的关系

S={<x,y>|x,y∈R,(x-y)/3是整数}是等价关系。

定理 1）设R是A上的关系。则R为A上的等价关系当且仅当r(R)=s(R)=t(R)=R。

2）设R是A上的关系，则rts(R)、trs(R)、tsr(R)为A上的等价关系。

例设R是A上的关系。则

定理对集合A上的任意关系，trs(R)是包含R 并同时有自反、对称、传递特性的最小关系。).

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(R

str

R

srt

R

rst

R

rts

R

tsr

R

trs=

=

⊇

=

=

例设A={1,2,3,4}，取R={<1,2>,<1,4>,<2,3>}。则str(R)=srt(R)=rst(R)都不是A上的等价关系。str(R)={<1,1>,…,<4,4>,<1,2>,<1,4>,<2,3>,<1,3>, <2,1>,<4,1>,<3,2>,<3,1>}。

rts(R)

={<1,1>,…,<4,4>,<1,2>,<1,4>,<2,3>,<1,3>,<2,1>, <4,1>,<3,2>,<3,1>,<2,4>,<4,2>,<3,4>,<4,3>}

A上的等价关系也是A上的相容关系，故也可用简化关系矩阵或简化关系图表示。

简单介绍无向图的几个概念。

1）子图：若G

1每个结点和每条边都分别是G

2

点和边，则称G

1为G

2

的子图。

2）连通图：对图G的任意两个不同结点a和b，

都有有限个结点，例如u

0, u

1

, …, u

n

,使得对每个

0≤i≤n-1，都有一条连接u

i 与u

i+1

的边（其中u

=a

且u

n

=b）。

3）分支：图的最大连通子图。

4）完全图：对图的任意两个不同的结点，都有一条连接它们的边。

则R是A上的等价关系当且仅当R有简化关系图，且每个分支是完全图。

例设A={1,2,3,4,5,6}上的关系

R={<1,1>,…,<6,6>,<1,3>,<3,1>,<1,5>,<5,1>,<2, 4>,<4,2>,<3,5>,<5,3>}。则