直线与平面所成角
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D1 A1
C1
B1
D
A
C
B
例1.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求
(4)直线A1B和平面A1B1CD所成的角.
D1 A1 D A B C1 B1
O
C
• • • •
例2、在底面为正方形的四棱锥P-ABCD中, PD ⊥ BC,三角形PCD为等边三角形 (1)求证：BC⊥平面PCD (2)求直线BD与平面PBC所成角的余弦值
2 CE与面BCD所成角的正弦为 3
例、若一个角所在平面外一点到角的两边距离相等,则 这一点在平面上的射影在这个角的平分线上 已知：∠BAC在平面内,点P,PE⊥AB, PF⊥AC,PO⊥ ,垂足分别是E、F、O,PE=PF. 求证:∠BAO=∠CAO
分析: 要证∠BAO=∠CAO
只须证OE=OF, OE⊥AB,OF⊥AC
P来自百度文库
E B
取BC中点F，连接 DF 作AO 平面BCD 于点O，连接 AO
AB = AC = AD OB = OC = OD
A E B F
O C
H
O为BC D 的外心
D
作EH//AO交DF于H,连接CH EH 面BCD ECH为CE与面BCD 所成角 3 3 设AB = a, 则C E = a, OD = a 2 3 2 6 6 OA = a, EH = a sin ECH = 3 3 6
cos θ1 = BO AB cos θ = BC AB cos θ2 = BC OB
∴ cos = cos 1 cos 2
斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内 经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。
例1:如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,
求 (1) 直线A1B与平面ABCD所成的角; (2)直线A1B与平面BCC1B1所成的角; (3)直线BD1与平面AD1所成的角的正切值.
让理想的雄鹰展翅高飞！
2018年7月25日星期三
复习引入 1．直线与平面垂直的定义 如果直线l与平面α 的任意一条直线都垂直，我 们就说直线l与平面α 互相垂直，记作l⊥α . 2．直线与平面垂直的判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直， 则该直线与此平面垂直。
新课引入
思考:科学家用什么来衡量比萨斜塔的倾斜程度 呢？
O
A
引课
我们知道,当直线和平面垂直时,该直线叫做平面 的垂线。如果直线和平面不垂直,是不是也该给它 取个名字呢?此时又该如何刻画直线和平面的这种 关系呢?
一.斜线在平面内的射影
p
１.垂线、斜线、射影 (１)垂线
Q
过一点向平面引垂线，垂足叫做这 点在这个平面上的射影； 这点与垂足间的线段叫做这点到这 个平面的垂线段。垂线段的长叫这点到 这个平面的距离。
D
D’
A
B
C
1、已知Rt ABC的斜边AB在平面内，AC和BC与 所成的角分别是30,45， CD是斜边AB上的高，求CD与 所成的角.
解： 作CC1 于C1, 连C1D
C
则CDC1即为所求. 连AC1, BC1.
则CAC1 = 30 CBC1 = 45 设CC1 = a CA = 2a
点 P 在平面 内的射影 如图,点Q是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 线段PQ ＿＿＿＿是点 P到平面 的垂线段
（2）斜线 一条直线和一个平面相交，但不和 这个平面垂直，这条直线叫做这个平面 的斜线．
P
斜线和平面的交点 叫做斜足。 从平面外一点向平 面引斜线，这点与斜 足间的线段叫做这点 到这个平面的斜线段
过直线与平面交点外任意一点,作平面的垂 线,则斜足与垂足之间的连线AO与直线PA 之间所成的锐角(直角或零角)就是直线与 平面所成的角. 前面还学过一个什么角? 两条异面直线所成 0,900] 的角 ,(0 它的范围是什么?
最小角定理
A
B
1 2
C
O
l是平面 的斜线，A是l 上任意一点， AO⊥ ， O是垂足，OB是斜线l的 射影，θ1是斜线l与平面 所成的角.BC是内任意 直线，则
CB = 2a
A D
C1
B
AC BC 2 3 AB = 6a CD = = a 在Rt ABC中， AB 3 3 CC1 CDC1 = 60 在RtCC1D中， sin CDC1 = = CD 2
CD与 所成的角为60
2.在正四面体BCD中，点E是AD的中点， 求CE与面BCD所成的角的正弦
R
思考：平面外一点到一个平面的垂线段有 几条？斜线段有几条？
说明：①平面外一
P
点到这个平面的垂 线段有且只有一条， 而这点到这个平面 T 的斜线段有无数条
Q
R
S
(３)射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引 垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在 这个平面上的射影． 垂足与斜足间的线段叫做这点到平 面的斜线段在这个平面上的射影．
P 斜线 斜足
A
射影
O
直线和平面所成角 的范围是[0，90]
规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角
一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角 是0 的角
2、注意: 斜线与平面所成角 (0,90) 直线与平面所成角 [0,90]
P
A
O
3、如何作出直线与平面 所成的角?
A
直线BC 如图：＿＿＿＿是斜线 AC 在 内的射影，线段BC是 斜线段AC在 内的射影 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
B
C
思考：斜线上的一个点在平面上的射 影会在哪呢？ 说明：②斜线上 任意一点在平面 上的射影，一定 在斜线的射影上。
A B
E
C
F
直线和平面所成的角：
斜线和射影所成的锐角叫做 这条直线和平面所成的角。
P
P
D’
D C
D C
A
B
A
B
• 例3、三棱锥P-ABC中， PA⊥底面ABC ， PA=PB，∠ABC=60°, ∠BCA=90°,D为PB 中点 ， • （1）求证：BC ⊥平面PAC • （2）求直线AD与平面PAC所成角的正弦 P 值。
D
A
B
C
• 例3、三棱锥P-ABC中， PA⊥底面ABC ， PA=AB，∠ABC=60°, ∠BCA=90°,D为PB 中点 ， • （1）求证：BC ⊥平面PAC • （2）求直线AD与平面PAC所成角的正弦 P 值。
C1
B1
D
A
C
B
例1.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求
(4)直线A1B和平面A1B1CD所成的角.
D1 A1 D A B C1 B1
O
C
• • • •
例2、在底面为正方形的四棱锥P-ABCD中, PD ⊥ BC,三角形PCD为等边三角形 (1)求证：BC⊥平面PCD (2)求直线BD与平面PBC所成角的余弦值
2 CE与面BCD所成角的正弦为 3
例、若一个角所在平面外一点到角的两边距离相等,则 这一点在平面上的射影在这个角的平分线上 已知：∠BAC在平面内,点P,PE⊥AB, PF⊥AC,PO⊥ ,垂足分别是E、F、O,PE=PF. 求证:∠BAO=∠CAO
分析: 要证∠BAO=∠CAO
只须证OE=OF, OE⊥AB,OF⊥AC
P来自百度文库
E B
取BC中点F，连接 DF 作AO 平面BCD 于点O，连接 AO
AB = AC = AD OB = OC = OD
A E B F
O C
H
O为BC D 的外心
D
作EH//AO交DF于H,连接CH EH 面BCD ECH为CE与面BCD 所成角 3 3 设AB = a, 则C E = a, OD = a 2 3 2 6 6 OA = a, EH = a sin ECH = 3 3 6
cos θ1 = BO AB cos θ = BC AB cos θ2 = BC OB
∴ cos = cos 1 cos 2
斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内 经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。
例1:如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,
求 (1) 直线A1B与平面ABCD所成的角; (2)直线A1B与平面BCC1B1所成的角; (3)直线BD1与平面AD1所成的角的正切值.
让理想的雄鹰展翅高飞！
2018年7月25日星期三
复习引入 1．直线与平面垂直的定义 如果直线l与平面α 的任意一条直线都垂直，我 们就说直线l与平面α 互相垂直，记作l⊥α . 2．直线与平面垂直的判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直， 则该直线与此平面垂直。
新课引入
思考:科学家用什么来衡量比萨斜塔的倾斜程度 呢？
O
A
引课
我们知道,当直线和平面垂直时,该直线叫做平面 的垂线。如果直线和平面不垂直,是不是也该给它 取个名字呢?此时又该如何刻画直线和平面的这种 关系呢?
一.斜线在平面内的射影
p
１.垂线、斜线、射影 (１)垂线
Q
过一点向平面引垂线，垂足叫做这 点在这个平面上的射影； 这点与垂足间的线段叫做这点到这 个平面的垂线段。垂线段的长叫这点到 这个平面的距离。
D
D’
A
B
C
1、已知Rt ABC的斜边AB在平面内，AC和BC与 所成的角分别是30,45， CD是斜边AB上的高，求CD与 所成的角.
解： 作CC1 于C1, 连C1D
C
则CDC1即为所求. 连AC1, BC1.
则CAC1 = 30 CBC1 = 45 设CC1 = a CA = 2a
点 P 在平面 内的射影 如图,点Q是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 线段PQ ＿＿＿＿是点 P到平面 的垂线段
（2）斜线 一条直线和一个平面相交，但不和 这个平面垂直，这条直线叫做这个平面 的斜线．
P
斜线和平面的交点 叫做斜足。 从平面外一点向平 面引斜线，这点与斜 足间的线段叫做这点 到这个平面的斜线段
过直线与平面交点外任意一点,作平面的垂 线,则斜足与垂足之间的连线AO与直线PA 之间所成的锐角(直角或零角)就是直线与 平面所成的角. 前面还学过一个什么角? 两条异面直线所成 0,900] 的角 ,(0 它的范围是什么?
最小角定理
A
B
1 2
C
O
l是平面 的斜线，A是l 上任意一点， AO⊥ ， O是垂足，OB是斜线l的 射影，θ1是斜线l与平面 所成的角.BC是内任意 直线，则
CB = 2a
A D
C1
B
AC BC 2 3 AB = 6a CD = = a 在Rt ABC中， AB 3 3 CC1 CDC1 = 60 在RtCC1D中， sin CDC1 = = CD 2
CD与 所成的角为60
2.在正四面体BCD中，点E是AD的中点， 求CE与面BCD所成的角的正弦
R
思考：平面外一点到一个平面的垂线段有 几条？斜线段有几条？
说明：①平面外一
P
点到这个平面的垂 线段有且只有一条， 而这点到这个平面 T 的斜线段有无数条
Q
R
S
(３)射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引 垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在 这个平面上的射影． 垂足与斜足间的线段叫做这点到平 面的斜线段在这个平面上的射影．
P 斜线 斜足
A
射影
O
直线和平面所成角 的范围是[0，90]
规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角
一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角 是0 的角
2、注意: 斜线与平面所成角 (0,90) 直线与平面所成角 [0,90]
P
A
O
3、如何作出直线与平面 所成的角?
A
直线BC 如图：＿＿＿＿是斜线 AC 在 内的射影，线段BC是 斜线段AC在 内的射影 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
B
C
思考：斜线上的一个点在平面上的射 影会在哪呢？ 说明：②斜线上 任意一点在平面 上的射影，一定 在斜线的射影上。
A B
E
C
F
直线和平面所成的角：
斜线和射影所成的锐角叫做 这条直线和平面所成的角。
P
P
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D C
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A
B
A
B
• 例3、三棱锥P-ABC中， PA⊥底面ABC ， PA=PB，∠ABC=60°, ∠BCA=90°,D为PB 中点 ， • （1）求证：BC ⊥平面PAC • （2）求直线AD与平面PAC所成角的正弦 P 值。
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A
B
C
• 例3、三棱锥P-ABC中， PA⊥底面ABC ， PA=AB，∠ABC=60°, ∠BCA=90°,D为PB 中点 ， • （1）求证：BC ⊥平面PAC • （2）求直线AD与平面PAC所成角的正弦 P 值。