曲边梯形的面积与定积分

n3
6
(1 )(2 ) 6n n3
可以证明,取f
x
பைடு நூலகம்
x2在区间i
1, n
i n
上任意一
点ξi处的值fξi 作近似值,都有
S
lim
n
n i1
f
ξi
Δx
lim 1 f n n
ξi
1. 3
y
f b
y fx
f a
oa
bx
图1.5 1
• 求曲边梯形面积： • (1)思想：以直代曲． • (2)步骤：分割→近似代替→求和→取极限． • (3)关键：近似代替． • (4)结果：分割越细，面积越精确．
n nn
nn
nn
每个区间的长度为
y x2
x i i 1 1 nn n
O 12 nn
k n
nx
n
过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小 曲边梯形，他们的面积分别记作
S1, S2,, Si ,, Sn.
（2） 近似代替 (不足近似值)
Si
f
(i
1)x n
(i
1)2 n
1 n
y
O 12 nn
y x2
得 A A1.
y = f(x) y
A1
A2
Oa
b
x
用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形 的面积A，得 A A1+ A2
y = f(x)
y
A1
A2
A3
A4
Oa
b
x
用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形 的面积A， 得 A A1+ A2+ A3+ A4
y = f(x) y
A1
Ai
An
Oa
bx
将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩阵
图形的面积(如图所示的阴影部分)，
错解！ 解：
∴5(x－2)dx＝S1＋S2＝12×22＋12×32＝123， 0
∴52(x－2)dx＝2×123＝13. 0
• 【错因分析】 在应用定积分的几何意义求 定积分时，错解中没有考虑在x轴下方的面 积取负号，x轴上方的面积取正号，导致错 误．
1.4.1
曲边梯形的面积与定积分
了解：几个常用求和公式
1 2 3 ...... n n(n 1) 2
12 22 32 ...... n2 n(n 1)(2n 1) 6
13 23 33 ...... n3 ( n(n 1))2 2
一. 曲边梯形的定义
1.曲边梯形：在直角坐标系中，由连
形的面积代替小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形
的面积A近似为
A A1+ A2 + + An
—— 以直代曲,无限逼近
例1.求抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成的
曲边梯形的面积。 y
（1）分割 把区间[0，1]等分成n个小区间：
[0, 1 ],[ 1 , 2],,[i 1, i ],,[n 1, n ],
x
y
(过剩近似值)
y x2
12 nn
k n
nx
n
S
n i1
Si
n i1
f( i ) 1 nn
n ( i )2 i1 n
1 n
1 n3
[12
22
(n
1) 2
n2 ]
y
(过剩近似值)
y x2
12 nn
k n
nx
n
S
1 n3
[12
22
(n
1)2
n2 ]
1 n(n 1)(2n 1) 1 1 1 1
分 变
[a,b] 积分区间
量
规定：a f (x)dx 0,
b
a
f (x)dx f (x)dx
a
a
b
说明（1）定积分是特殊和式极限,它是一个定数;
(2)定积分的大小仅与区间[a,b]和被积函数f(x)有关
f ( x) 0,
b
a
f
( x)dx
A
曲边梯形的面积
f ( x) 0,
b
a
f
(
x)dx
a x0 x1 x2 xn1 xn b 把区间[a,b]等分成n个小区间，
在每个小区间 [xi1,
xi
]
任取
n
i
[ xi1,
xi
]
n
做和式：
f (i )x
f (i )(b a) / n.
i1
i 1
Si f (i )x
n
且有，lim n0 i1
f (i )(b a) / n
形面积的代数a 和来表示。
b a
f
( x)dx
S1
S2
S3
对定积分的几何意义理解有误导致错误
用定积分的几何意义求定积分52(x－2)dx. 0
【错解】 52(x－2)dx＝25（x－2）dx，
0
0
由定积分的几何意义知5(x－2)dx 是由直 0
线 y＝x－2，x＝0，x＝5 及 x 轴所围成的
(1 6
)(2 n
) n
（4）取极限
当分割的份数无限增多, 即n → ∞,△x → 0时
S 1 (1 1 )(2 1 ) 1 6n n3
所以S 1 . 3
小结:求由连续曲线yf(x)对应的曲边梯形面积的方法
（1）分 割
（2）近似代替
y
不足近似值！
（3）求面积的和
（4）取极限 n
o
A(常数）
则，这个常数A称为f(x)在[a，b]上的定积分(简称积分)
记作 b
a f (x)dx
即A
b
n
f ( x)dx lim
a
n 0 i 1
f (i（ ) b - a) / n
积分上限
积分和
即A
b
n
f (x)dx lim
a
n0 i1
f
(i
)
b
n
a
积分下限
被
被积
积 函 数
积 表 达 式
续曲线y=f(x)，直线x=a、x=b及x轴所围成的
图形叫做曲边梯形。
y
y=f (x)
x=b
x=a
曲边梯形的特点
①、只有一边是曲线 ②、其他三边是特殊直线
Oa
bx
问题1 圆的面积公式是如何推导的？
曲边梯形的面积
将圆分成若干等份
r
r
无限分割！
y = f(x) y
A1
Oa
b
x
用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A，
练习
1、在“近似代替”中，函数f(x)在区间 xi , xi1
上的近似值等于（ C ）
A.只能是左端点的函数值 f (xi )
B.只能是右端点的函数值 f (xi1)
C.可以是该区间内任一点的函数值 f (i )
D.以上答案均不正确
(i xi , xi1 )
二.定积分定义
设函数f（x）在[a，b]上连续，在[a，b]中任意插入n-1个分点：
A
曲边梯形的面积的负值
A1
A2
A3
A4
b
a
f
( x)dx
A1
A2
A3
A4
定积分的几何意义是什么？
1、如果函数f（x）在[a，b]上连续且f（x）≥0时，那么：
b
定积分 f (x)dx 就表示以y=f（x）为曲边的曲边梯形面积。 a
S1
S3
S2
b
2、定积分 f (x)dx 的数值在几何上都可以用曲边梯
k n
nx
n
（3）求和
n
S S1 S2 Sn Si i1
n f(i -1) 1 n (i -1)2 1 i1 n n i1 n n
1 n3
[02
12
22
(n
1)2 ]
12 22 32 n2 n(n 1)(2n 1) 6
11
11 1
S
n3
(n 1)n(2n 1) 6