为什么牺牲带宽可以提高信噪比

仙农信息论中的仙农定理描述了信道容量C，信号带宽W，持续时间T，与信

噪比S

N之间的关系：

2

log(1)

S

C WT

N

=+

（7-1）

它表明了一个信道无误差地传输信息的能力与信道中的信噪比以及用于传输信息的信道带宽之间的关系。

决定信道容量的C的参数有三个：信号带宽W，持续时间T，以及信噪比S N。

这三个参数组成一个很形象的具有可塑性的三维立方体，见图7-1。

f

)

1(

log

2N

S

+

log

2

W

T

t

图7-1 信道容量与信号带宽、持续时间以及信噪比之间的关系由信号带宽W，持续时间T，与信噪比

S

N组成的立方体的体积就是信道容量C。这个信道容量所决定的三维信号体积最大的特点就是具有可塑性。即在总体积不变的条件下，三轴上的自变量间可以互换，可以互相取长补短。

用频带换取信噪比，就是现代扩频通信的基本原理，其目的是为了提高通信系统的可靠性。如果通信中信噪比为主要矛盾（比如无线通信），而信号带宽有富裕，往往就可以采用这种用带宽换取信噪比的方法提高通信可靠性，即使带宽没有富裕，但是为了保证可靠性也要采用牺牲带宽，确保信噪比。

那么，是否可以一味地牺牲带宽来换取信噪比上性能的提高呢？

根据仙农公式2

log(1)

S

C WT

N

=+

，将其转换为以e为底的对数，那么单位时间内（T=1）信道容量为：

1.44ln(1)S C W N =⨯+ （7-2） 对于干扰环境的典型情况，1S N <<，那么公式可以简化为

1.44S

C W N ≈⨯ （7-3）

一般而言，信号功率总是受限的，这里假定S 不变，同时有： 0N N W =

（7-4） 其中N 为噪声功率，0N 为噪声功率谱，W 为信道带宽。 则可得：

001.44 1.44S

S

C W N W N =⨯=

（7-5） 这就是由仙农公式得出的，用频带换取信噪比的极限容量。