第5章 静定平面桁架和组合结构

结点3
3
Y34 40 80 0
60
80 40 Y34
X13
N35 34 X34 N 34 40 5 50
4
X
Y34 40 3 40 30 4
N12
N12 X 13 0 N12 60
N 35 30 60 0 N 35 90
3
-90 30
FxE2
6
7
E
FP
10
C 8 FP A 1.5a 4FP /3 1.5a 9 4 B
5
a 3 a
-4 FP /3
-4 FP /3 B
FNE2 FyE2 F NE1
4FP /3
找出桁架中的零杆
9根 0 0 0 0 0 0 0 0 0
8根 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
返回
7根 0 0
1）L型结点：成L型汇交的两杆结点无荷载作用， 则这两杆皆为零杆。
FN1=0 FN1 FN2= FN1
=
在给定荷载作用下，桁架中轴力为零的杆件，称为零杆。
FN1 =FP FN2=0
FP (荷载)
FN2=0
L型结点
FN3=0(单杆)
T型结点
T型结点（推广）
2）T型结点：成T型汇交的三杆结点无荷载作用，则不 共线的第三杆（又称单杆）必为零杆，而共线的两杆 内力相等且正负号相同（同为拉力或压力）。
FN3
FN4 ≠ FN3
a a
a
a
FN4= FN3
FN2= FN1
X型结点
FN1
K型结点
FN2= -FN1
FN3
第三杆
Y型结点
D
C
7
10
4
1 C
8
9 A 11
5 6
2
3 B A B
【例】试求图示桁架各杆的轴力。
D 6 10 7 2 E a 1 a 5 a FP
C
8
9 A
1.5a
4 B
1.5a
3 a
2‘ a
4‘ 3‘ c d
e d B
b
A 1 2 3 4 5 P P P 6d
4 d 3
VA 1.5P
VB 1.5P
(2)
Nc
Yc 1.5P P 0.5P
5 N c Yc 0.625 P 4
4‘
e B
Nc
d 4 P 5
1.5P
1‘
2‘ a b
3‘ c 3
4‘ e d B d
(2)关于等力杆的判断
1）X型结点：成X型汇交的四杆结点无荷载作用，则彼此 共线的杆件的内力两两相等。
2）K型结点：成K型汇交的四杆结点，其中两杆共线， 而另外两杆在此直线同侧且交角相等，若结点上无荷载 作用，则不共线的两杆内力大小相等而符号相反。 3）Y型结点：成Y型汇交的三杆结点，其中两杆分别在 第三杆的两侧且交角相等，若结点上无与该第三杆轴线 方向偏斜的荷载作用，则该两杆内力大小相等且符号相 同。 FN1 FN2= FN1 FN1 FN3
法一：直接用节点法，一个个节点求解，可求但较繁。
法二：先据特殊节点判断零杆，可简化计算
解：(1)利用桁架的整体平衡条件，求出支座A、B的反力。
(2)判断零杆 (3)计算其余杆件的轴力
D E a 2 1 a FP D 5FP /3 5FP /3 C 5FP /3 5FP /3 A E FP -4 FP /3 -4 FP /3
b 2 3 4 5 P P P 6d
4 d 3
VA 1.5P
(1) N a N b 1‘ 2‘
VB 1.5P
Na
1 2
4 d 3
Y 0
M 2 0
Na P VA 0.5P
4 N b d 1.5P 2d 0 3
1.5P
Nb
P
Nb 2.25P
1‘
FN12
1 15kN
对于简单桁架，截取结点隔离体的顺序与桁架几何组成 顺序相反。（逆向） 从最后的节点开始，逆向依次截取各节点求解。
F6=120kN 6 -45 F7H=120kN 7 F7V=45kN
4 60 60 60 40 0 + 30 75 45 50 -120 5 4m 60 4 0 -20 15kN 4m 60 2
X 0 Y 0
或 MA 0
M
B
0
不要用联立方程求桁架各杆的轴力。一个方 程求出一个未知轴力。
对于简单桁架，截取结点隔离体的顺序与桁 架几何组成顺序相反。（逆向）
应熟练运用如下比拟关系：
N Fx Fy l lx ly l l N Fx Fy lx ly lx Fx Fy ly Fy Fx ly lx
5.2.1 结点法
结点法是截取桁架结点为隔离体，利用平面汇交力系的两 个平衡条件∑X=0、 ∑Y=0 ，求解各杆未知轴力的方法。 结点法最适合用于计算简单桁架。 利用结点法，与节点相连的各截断杆，均假设为拉力， 若求解结果为正则杆件受拉，若为负值则受压。
由于平面汇交力系向平面上任意一点的力矩 代数和等于零，故除了投影方程外，亦可以用力 矩方程求解。 平衡方程为：
5
-90
7
60 80
H=0
+ 15 75
60
2 40kN
60
4 60kN
75
6 80kN 8
4×3m=12m V1=80kN V8=100kN
4m
_
40
+
75 _ 40 0 20 80 100
用图示桁架为例，来说明结点法的应用。
F6=120kN 6 4 3 3m F7H=120kN 7 F7V=45kN 4m 5 15kN 4m 2 15kN 4m 1 15kN FN13 Fx13 Fy13
在分析桁架内力时，如能选择合适的截面、合适的平
衡方程及其投影轴或矩心，并将杆件未知轴力在适当的位
置进行分解，就可以避免解联立方程，做到一个平衡方程
求出一个未知轴力，从而使计算工作得以简化（刚体力学
中力可沿作用线移动）。 截面选择原则： 1)尽量切开被求杆件或尽量靠近被求杆件； 2) 截断杆件尽量少，最好只有三个（可建三个方程直接求解）
FN
上弦杆
2
斜杆 竖杆 h 桁高
2 FQ2=0 1 FN FQ1=0
1
下弦杆 d 节间长度 跨度l
桁架的力学特性
理想桁架各杆其内力只有轴力（拉力或压力）而无弯 矩和剪力。 二力杆
主内力和次内力
按理想桁架算出的内力（或应力），称为主内力 （或主应力）；由于不符合理想情况而产生的附加内力 （或应力），称为次内力（或次应力）。 大量的工程实践表明，一般情况下桁架中的主应力占 总的应力的80%以上，所以，主应力是桁架中应力的 主要部分。也就是说，桁架的内力主要是轴力。 以承受轴力为主，弯矩和剪力很小可忽略不计。
lx N l
N
ly
N
Fy
Fx
一、平面汇交力系
3
-90
5
7
结点2
4m
40
H=0 1
N23
N 23 40
60 2 40
60
2
60
40kN 4 60kN 6 80kN 8 4×3m=12m
N24
N 24 60
V1=80kN
V8=100kN
5 3 4
结点1 Y13
1 80
Y13 80
3 Y XX 80 60 13 13 13 4 3 4 5 N13 80 100 4
80m
c)水闸闸门
南京长江大桥江共9墩10孔，每墩高80米，底面积 400多平方米，最高的桥墩从基础到顶部高85米。北 岸第一孔是128米，其余9孔均为160米，桥下可行 万吨巨轮。采用优质合金钢杆件在现场铆接拼装架 设。十分壮观。
5.1.1 桁架计算简图
FN
上弦杆
2
斜杆 竖杆 h 桁高
2 FQ2=0 1 FN
1）平行弦桁架。 2）三角形桁架。
a） b）
3）折弦桁架。
4）梯形桁架。
d） e）
3 、按支座反力的性质分
1）梁式桁架或无推力桁架。 2）拱式桁架或有推力桁架。
f）
5.2 静定平面桁架
计算静定平面桁架各杆轴力的基本方法，隔离体平衡法。 根据截取隔离体方式的不同，又区分为结点法、截面法
以及二者的联合应用。
5.1.2 平面桁架的分类 1、按桁架的几何组成方式分
1）简单桁架——从一个基本铰结三角形或地基上依次 增加二元体而组成的桁架。
b）
a） c）
2）联合桁架——由几个简单桁架按照两刚片或三刚片 组成几何不变体系的规则构成的桁架。
d) 3）复杂桁架——不是按上述两种方式组成的其它桁架
e）
2、按桁架的外形分
1
下弦杆 d 结间长度 跨度l
FQ1=0
1）各结点都是光滑的理想铰。 2）各杆轴线都是直线，且通过结点铰的中心。 3）荷载和支座反力都作用在结点上，且通过铰的中心。 满足以上假定的桁架，称为 理想桁架
桁架的组成特点
理想桁架是各直杆在两端用理想铰相连接而组成的 几何不变体系。 组成特点：所有结点都是铰结点。
方向分解（不一定分解为正交分力，只要满足平行四边形法则
即可）；在适当位置分解可使计算简化。 ２）结点法不一定只能建立X、Y 方向力的方程，也可建立力 矩方程（实质为“节点连同截断的杆端”一起为脱离体，而非 节点这一个“点”作为脱离体）。
利用结点平衡的特殊情况，判定零杆和等力杆 (1)关于零杆的判断
结点法与截面法的联合应用 ②由D点 FY Y2 P 0, Y2 P,
源自文库FN 2 13 P 3
求图示桁架指定杆轴力。 解： ①找出零杆如图示； 5m
1
2×3m
0
1
0 0 0
2 B
③1-1截面以右
A
0
0
C P E 4×4m 1
M
F
FN CE 6 4 P 0, 2 P 3
3 20 + 3m 25 15 1 15kN
15
-20 15kN 4m 60 3
120
6
45
60
60 45 75
40
50 50 40 5 15 20 3015 15 15
20
25
45 120 45 7 120
75 60 120
45
0
30
25 20 20 20
15 1
20
2
15
15
另提几点： １）杆件轴力可在杆轴线所在的直线上任意点分解，可沿任意
第五章 静定平面桁架和组合结构 5.1 概述
桁架：若干直杆构成的，所有杆件的两端均用铰联接。 静定桁架、超静定桁架 静定平面桁架（无多余约束的平面桁架） 桁架优点：截面上应力分布均匀，可充分发挥材料的作用。
因此，桁架是大跨度结构中常用的一种结构形式。
在桥梁及房屋建筑中得到广泛应用。
a)屋架
16m
160m b)桥梁
§1-3 静力学公理
公理2 加减平衡力系公理
在已知力系上加上或减去任意的平衡力系，并不改变
原力系对刚体的作用。 推理1 力的可传性
作用于刚体上某点的力，可以沿着它的作用线移到刚
体内任意一点，并不改变该力对刚体的作用。
作用在刚体上的力是滑动矢量，力的三要素为大小、方向和作用线．
§1-3 静力学公理
l x
Nb
② 1-1截面以上
PP 2 2 55 得： N X Naa 2 33 2 0
推理1 力的可传性 F
F
FB
A
B
FA
A
B
截面法 一、 平面一般力系
X 0 Y 0 M 0
截面单杆：任意隔离体中，除某一杆件外，其它所有待求内力 的杆件均相交于一点或平行时，则此杆件称为该截面的截面单 杆。 截面单杆的内力可直接根据隔离体矩平衡条件求出。
O
y
【例】求图示平面桁架结构中指定杆件的内力。 1‘ 2‘ a A 1 3‘ c 4‘ d B e d
0
P 1 2
P
对称结构受对称荷载作用 ① N1=N2≠0 ② N1=－N2 ③ N1≠N2 ④ N1=N2=0
× × × √
5.2.2 截面法
截面法是用一适当截面，截取桁架一部分（包括两个以 上结点）为隔离体，利用平面一般力系的三个平衡条件， 求解所截杆件未知轴力的方法。
截面法最适用于联合桁架的计算；也适用于简单桁架中少 数指定杆件的内力计算。
Ne
1.5P 2d
P1
P2 1 N1
MD 0
A
N1
C
2 D D B

P1
P2 N2 2 A C D
MC 0
B
N 2

二、特殊截面
P P k 。
A RA

B RB
R
B
。 k P P
简单桁架——一般采用结点法计算；
联合桁架——一般采用截面法计算。
5.2.3
4 d 3
A
VA 1.5P
1
2 P
6d
4 5 P P
VB 1.5P
(3) Nd Ne
M
Ye
k 5 P
k
0
Nd 0.25P
Xe
4‘
Nd P2d 2d 1.5P 2d 0
Nd
4
M
4
0
10 3 X e 10P 3 4
B
2d
X e 2.25P
D P
FN CE
④取C点为分离体
2 P 3
F
FN1
0 C P
F
X
FN CE X 1 0,
FN CE
2 5 X 1 P, FN 1 P 3 6
FNCE
C P
1 Na 3 a 1
求图示桁架指定杆轴力。 解：①整体平衡得： b 2 c
YA 5 1 P , YB P , H A 0 3 3