组合数学---多项式定理及组合恒等式

沈晶

第4讲多项式定理及组合恒等式Pascal公式

二项式定理

多项式定理

牛顿二项式定理

组合恒等式证明

Pascal 公式

对于满足1≤k ≤n -1的所有整数k 和n

证法1：直接计算方法（略）证法2：

令S 是n 个元素的集合

任取一个元素用x 表示

S 的k -组合的集合可划分为不包含x 的k -组合和包含x 的k -组合

则⎪⎭

⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛111k n k n k n Blaise Pascal

⎪⎭⎫ ⎝⎛k n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-k n 1⎪

⎭

⎫

⎝⎛--11k n =+

第4讲多项式定理及组合恒等式Pascal公式

二项式定理

多项式定理

牛顿二项式定理

组合恒等式证明

设n 是正整数，对任意x , y 有

证法一：数学归纳法（略）

证法二：

(x+y)n =(x+y)∙(x+y)∙…∙(x+y)

n 个x +y 相乘，每个x +y 在相乘时有两种选择，x 或y 由乘法法则可知，乘积中共有2n 项，并且每一项都可以写成x k y n-k 的形式，k = 0, 1, …, n

对于项x k y n-k ，是在k 个x +y 中选择了x ，其余n -k 个x +y 选择了y 而得到的，从n 个x +y 中选取k 个选择x 的选法数为C (n ,k )，所以该项系数为C (n ,k )。定理得证。

()k n k n

k n

y x k n y x -=∑⎪⎭

⎫ ⎝⎛=+0二项式系数

推论1

推论2

()

n k n

k n

x n n x n n x k n x ⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=+∑= 1010

()

()()n n k n

k k

n

x n n x n n x k n x 110110

-⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-∑= 二项式定理

y=1

推论1 x = -x

推论3

推论4

n n n n n 210=⎪⎭

⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛ ()01210=⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛n n n n n n n 元集合的所有子集个数是2n

n 元集合的偶

子集个数与奇子集个数相等

例1在(3a -2b )18的展开式中

求a 5b 13的系数求a 8b 9的系数

例2证明例3甲在星期二时问乙再过10100天是星期几？

n

k n

k k n 320=⎪⎭

⎫ ⎝⎛∑=()13523518-⋅⋅⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=0

=）

（二项式定理：1,2==y x （星期六）

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多项式定理

设n 是正整数，则对一切实数x 1, x 2, …, x m 有

有多少个不同的乘积项?

乘积项的系数和是多少？()

m

m n m n n n n n n m n

m x x x n n n n x x x 2121212121!

!!!∑=+++⋅=+++多项式系数

⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+n n m 1n

m m

m n m

n n n n n n m x x x n n n n 21212121∑=+++⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=

证明

对于n 个因子中的每一个，选取m 个数x 1, x 2,…,x m 中的一个并形成乘积。

用这种方法得到的结果共有m n 项，并且每一项都可以写成的形式，其中n 1,,n 2,,…n m 是非负数，

且其和为n 。

通过选择n 个因子中的n 1个为x 1，剩下的n -n 1个因子中的n 2个为x 2,…,剩下的n-n 1-…-…n m -1个因子中的n m 个为

x m ,得到项。

由乘法原理得到该项出现的次数为

m n m n n x x x (2)

121m n m

n n x x x ...2121!

!!!...2111211m m m n n n n n n n n n n n n n ⋅⋅=

⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-

例3在(2x -3y +5z )6的展开式中，x 3yz 2项的系数是多少？

解：()()235322136⋅-⋅⋅⎪

⎭

⎫ ⎝

⎛

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二项式定理

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组合恒等式证明

设α是一个实数。则对于所有满足0≤|x |<|y |的x 和y

其中

()

k k k y x k y x -∞

=∑⎪⎭⎫ ⎝⎛=+αα

α0

()()

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧>+--=<=⎪⎭⎫ ⎝⎛0!110100 k k k k k k αααα 扩展二项式系数

牛顿