组合数学---多项式定理及组合恒等式

沈晶
第4讲多项式定理及组合恒等式Pascal公式
二项式定理
多项式定理
牛顿二项式定理
组合恒等式证明
Pascal 公式
对于满足1≤k ≤n -1的所有整数k 和n
证法1：直接计算方法（略）证法2：
令S 是n 个元素的集合
任取一个元素用x 表示
S 的k -组合的集合可划分为不包含x 的k -组合和包含x 的k -组合
则⎪⎭
⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛111k n k n k n Blaise Pascal
⎪⎭⎫ ⎝⎛k n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-k n 1⎪
⎭
⎫
⎝⎛--11k n =+
第4讲多项式定理及组合恒等式Pascal公式
二项式定理
多项式定理
牛顿二项式定理
组合恒等式证明
设n 是正整数，对任意x , y 有
证法一：数学归纳法（略）
证法二：
(x+y)n =(x+y)∙(x+y)∙…∙(x+y)
n 个x +y 相乘，每个x +y 在相乘时有两种选择，x 或y 由乘法法则可知，乘积中共有2n 项，并且每一项都可以写成x k y n-k 的形式，k = 0, 1, …, n
对于项x k y n-k ，是在k 个x +y 中选择了x ，其余n -k 个x +y 选择了y 而得到的，从n 个x +y 中选取k 个选择x 的选法数为C (n ,k )，所以该项系数为C (n ,k )。

定理得证。

()k n k n
k n
y x k n y x -=∑⎪⎭
⎫ ⎝⎛=+0二项式系数
推论1
推论2
()
n k n
k n
x n n x n n x k n x ⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=+∑= 1010
()
()()n n k n
k k
n
x n n x n n x k n x 110110
-⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-∑= 二项式定理
y=1
推论1 x = -x
推论3
推论4
n n n n n 210=⎪⎭
⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛ ()01210=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛n n n n n n n 元集合的所有子集个数是2n
n 元集合的偶
子集个数与奇子集个数相等
例1在(3a -2b )18的展开式中
求a 5b 13的系数求a 8b 9的系数
例2证明例3甲在星期二时问乙再过10100天是星期几？
n
k n
k k n 320=⎪⎭
⎫ ⎝⎛∑=()13523518-⋅⋅⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=0
=）
（二项式定理：1,2==y x （星期六）
第4讲多项式定理及组合恒等式Pascal公式
二项式定理
多项式定理
牛顿二项式定理
组合恒等式证明
多项式定理
设n 是正整数，则对一切实数x 1, x 2, …, x m 有
有多少个不同的乘积项?
乘积项的系数和是多少？()
m
m n m n n n n n n m n
m x x x n n n n x x x 2121212121!
!!!∑=+++⋅=+++多项式系数
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+n n m 1n
m m
m n m
n n n n n n m x x x n n n n 21212121∑=+++⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=
证明
对于n 个因子中的每一个，选取m 个数x 1, x 2,…,x m 中的一个并形成乘积。

用这种方法得到的结果共有m n 项，并且每一项都可以写成的形式，其中n 1,,n 2,,…n m 是非负数，
且其和为n 。

通过选择n 个因子中的n 1个为x 1，剩下的n -n 1个因子中的n 2个为x 2,…,剩下的n-n 1-…-…n m -1个因子中的n m 个为
x m ,得到项。

由乘法原理得到该项出现的次数为
m n m n n x x x (2)
121m n m
n n x x x ...2121!
!!!...2111211m m m n n n n n n n n n n n n n ⋅⋅=
⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-
例3在(2x -3y +5z )6的展开式中，x 3yz 2项的系数是多少？
解：()()235322136⋅-⋅⋅⎪
⎭
⎫ ⎝
⎛
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二项式定理
多项式定理
牛顿二项式定理
组合恒等式证明
设α是一个实数。

则对于所有满足0≤|x |<|y |的x 和y
其中
()
k k k y x k y x -∞
=∑⎪⎭⎫ ⎝⎛=+αα
α0
()()
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧>+--=<=⎪⎭⎫ ⎝⎛0!110100 k k k k k k αααα 扩展二项式系数
牛顿
推论1推论2 ()
k
k x k x x y ∑∞
=α
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛α=+<=01 1,1时，当()
k n k n
k y x k n y x n -=∑⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=0
)
(α
α正整数时当?
20如何计算
k k k x n k k n ∑∞
=-⋅-+-=0)!1(!)!()1(k
k k x
k n n k n k n ∑∞=⋅+⋅-+⋅-+-=0!)1()2()1()1( 牛顿二项式定理
推论3证明()()k k k n x k k n x ∑∞
=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=+0
111牛顿二项式定理：当α
= -n, y = 1
()
k
k n
x k n x ∑∞=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+01k
k x
k k n n n ∑∞
=+--⋅⋅--⋅-=0
!)1()1( k
k k x
k k n n n ∑∞=-+⋅⋅+⋅-=0
!)1()1()1( k k k x n k n n n k n k n ∑
∞=-⋅-⋅⋅+⋅-+⋅-+-=0
)!
1(!)!1()1()2()1()1( k
k k x k k n ∑∞
=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+-=01)1(
牛顿二项式定理
推论4
推论 5
推论6
()
()()
+-+++-=-=+∑∞
=-k
k
k
k k
x x x x x 11112
1
()
k k n
x k k n x ∑∞
=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-0
11推论3中x = -x 时
()
...
112
1
+++=--x x x 推论3中n = 1时
推论4中n = 1时
第4讲多项式定理及组合恒等式Pascal公式
二项式定理
多项式定理
牛顿二项式定理
组合恒等式证明
等式1
等式2证明：
从n 名女同学和n 名男同学中，选出n 名同学组成一个社
团，其中一人担任社团主席，且必须由女同学担任，问有多少种选法？
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛r n n r n ⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛112221222n n n n n n n n ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k n n k k n k n n k n k k n k 112
等式3证明：从n 个物体中取出r 个的组合数？
1：组合中含a 1,再从a 2, a 3,..., a n 中取出r -1个2：组合中不含a 1,但含a 2,从a 3,...,a n 中取出r -1个3：组合中不含a 1,a 2,但含a 3,从a 4...,a n 中取出r -1个......
n -r +1：组合中不含a 1,...,a n-r ,但含a n-r+1,从a n-r+2,... a n 中取出r -1个
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11131211r r r n r n r n r n
等式4证明：
从n 个候选人中，选出l 个常委，再选出r 位政治局常委，选法的个数？
⎪⎭
⎫ ⎝⎛≠⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛r n r l r n r n r l l
n
等式5
等式6等式7
n
n
n
n
n
n2
2
1
0=
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
+
+
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
+
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
+
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
+
+
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
+
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
=
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛+
1
1
n
r
m
r
n
m
r
n
m
r
n
m
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
+
+
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
+
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
=
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛+
1
1
m
m
n
m
m
n
m
m
n
m
n
m
等式8证明：某班有n 名同学，要选出k 位班委会成员，再选1名作书记，这名书记不可以是班委会成员，问有多少种不同的方案？
⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛k n k n n k n 1
等式9证明：从n 名同学中选出k 位组成班委，在k 位班委中选1人做班长，问有多少种方法？
⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛11k n k
k n k n
等式10 ⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=l m n m k l n k m m
k 0⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=m l n m m l n m l n m k l n k m m
k 1100⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=l m n m l n n m ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m l n n m m l n n m l n n m 110
例4试用组合学论证法证明恒等式
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1-11-111212121
21t t t t n n n n n n n n n n n n n n n n
考考你
一个比萨店做广告，说它可提供500多种比萨。

当地消费者保护署对此表示怀疑。

在这家比萨店，下面陷料的任意组合都有可能成为一种比萨：意大利辣香肠，蘑菇，胡椒粉，橄榄，香肠，凤尾鱼，意大利腊肠，洋葱，咸肉。

这家比萨店在它的广告中说实话了吗？
本讲结束。