交大离散数学复习课共108页

例如：
❖命题“天正在下雨”与“天很冷”可以连 接成
▪ 单一命题形式“天正在下雨与天很冷”。 ❖“与”和“或”的形式化定义。
p: 天正在下雨 q: 天很冷
• p∧q:
天正在下雨 并且天很冷
• p∨q:
天正在下雨或者天很冷
❖条件命题的真值表
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例
❖考察： “如果今天天晴，那么我们将去海滩” ❖只有当 今天天晴，而我们不去海滩 时，这个
命题为假，否则上述命题成立。
❖ 考察：“如果今天是星期五，那么2+3=5” ❖ 该命题总是成立，因为2+3=5总是为真
❖ 考察“如果今天是星期五，那么2+3=6” ❖该命题 当今天不是星期五 时，成立
1.1.4逻辑运算符的优先级
优先级: ( )
假设：p 真 q假 r真，给出下面每个命题的真 值
• ∃z>0 (z2=2) ∃z(z>0 ∧z2=2) • 存在量词的约束等价于一个合取的存在量化
1.3.8 涉及量词的逻辑等价
• 定义3：涉及量词的语句是逻辑等价的，当且仅当 无论什么谓词代入这个语句，也不论用哪个个体 论域于这些命题函数里的变量上，它们都有相同 的真值。
❖x(P(x) ∧ Q(x))≡xP(x) ∧ xQ(x) ❖∃ x(P(x) ∨ Q(x))≡ ∃ xP(x) ∨ ∃ xQ(x)
–所以，形式化表示为： a (c f)
• 证明命题: p∨(q ∧ r)与 (p∨q) ∧(p∨r) 等价
1.2.3 德摩根定律的运用
•用德摩根律表达“麦克有一部手机和一台电脑”的否定 •解：p麦克有一部手机，q麦克有一台电脑
那么原命题表示为：p ∧q 则其否定（p∧q）等价于 p ∨ q 即：“麦克没有一部手机或没有一台电脑”
p∨q ¬p ________ ∴q
化简
p∧q _________ ∴p
附加
p _________ ∴p∨q
合取
P q ________ ∴p∧q
消解
p∨q ¬p ∨r ________ ∴q ∨r
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例
•给出定理“若3n+2是奇数，则n是奇数”的证明 •若用直接法证明，设3n+2是奇数，则存在k使得
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交大离散数学复习课
知识点提示
• 1 逻辑与证明
1.2 命题
• 命题是一个陈述句，或真或假，不可以既真又假。
• 命题是逻辑的基本构成单元
• 下列句子(a) ~ (e)哪个为真，哪个为假（不能既真又假）
(a) 能整除7 的正整数只有1 和7 本身。
(b) 多伦多是加拿大的首都。
(a) (p q) r ❖ (p q) r ❖ p (q r) ❖ p (q r)
1.1.5 复合命题的真值表
• 构造真值表 (p q) (p q)
1.1.6 翻译语句——形式化表示
• “只有你主修计算机科学或不是新生，才可以从校园网访 问因特网” –设：a: 你可以从校园网访问因特网 –c: 你主修计算机科学 f: 你是个新生 问题：该语句的等价说法（ ）： –A“如果你主修计算机科学，或者你不是新生，那么你可 以从校园网访问因特网” –B“如果你可以从校园网访问因特网，那么你主修了计算 机科学，或者你不是新生”
x P(x)的真值是什么？ ❖ 解： x P(x)就是合取式P(1)∧ P(2) ∧ P(3) ∧ P(4)
由于P(4)为假，所以 x P(x)为假
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1.3.5 约束论域量词
• x<0 (x2>0) x(x<0 →xຫໍສະໝຸດ Baidu>0) • y≠0 (y3 ≠ 0) y(y≠0 →y3 ≠ 0) • 全称量词的约束等价于一个条件语句的全称量化
(c) 对于每个正整数n，存在一个大于n 的素数。
(d) 地球是宇宙中惟一存在生命的星球。 (e) 买两张星期五去“大剧院”音乐会的票。
(a)真
(b)假
(c)真
(d)不知真假，但一定是非真即假。因此是命题
(e)不是命题
真值表
• 复合命题的真值可以由真值表来表达。 • 用T 代表真，F 代表假。
❖复合命题p∧q，p ∨ q的真值由下列真值表
例
• 确定论证p q,p/∴q是否有效
注意：只要前提p q和p为真，结论q就为真。 所以论证过程是有效的。
1.5.3命题逻辑的推理规则
假言推理/分离定律
p p→q ________ ∴q
拒取
¬q p→q _________ ∴¬p
假设３段论
p→q q →r _________ ∴p→r
析取３段论
❖x(P(x) ∨ Q(x))与xP(x) ∨ xQ(x)不逻辑等价 ❖∃x(P(x) ∧ Q(x))与∃ xP(x) ∧ ∃ xQ(x)不逻辑等价
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1.3.9 否定量化词表达式
•考虑语句的否定： •“班里每个学生都学过微积分”即 xP(x) •其中P(x)：x学过离散数学 •其否定：“并非班里每个学生都学过微积分” •也就是：“班里有学生没有学过微积分”，即
所有值都为真” • 存在量词：P(x)的存在量化表示语句“论域中至少有一个值
满足P(x)为真”
• 例： • P(x)表示语句“x2＞0”，论域为不超过4的正整数， ∃x P(x)的
真值是什么？ • 解：论域为{1，2，3，4}，P(1),P(2),P(3)为真。
❖例 ❖ P(x)表示语句“x2＜0”，论域为不超过4的正整数，则：
∃ xP(x)
等价关系： •xP(x) ≡∃ xP(x)
1.4.3 将数学语句翻译成嵌套量词语句
• 翻译语句“两个正整数的和是正数” • xy ((x＞0) ∧ (y ＞0) → (x+y ＞0))
• 嵌套语句翻译成数学语句：
– 考虑命题 x y (x＋ y＝0)
– 论域为实数域。这个命题为真，因为对每个实数x，至 少存在一个y（可选取y = -x），使x + y = 0为真。这个命 题用文字表达为： 对每个实数x，存在一个实数y，可使x 与y 的和为零。
•用德摩根律表达“John或者Jessi将去看电影”的否定 •解：p:John去看电影，q：Jessi去看电影
那么原命题表示为：p∨ q 则其否定（p ∨ q）等价于 p ∧ q 即：“John和Jessi都不去看电影”
1.3.3 量词
• 量化：谓词在一定范围内的取值
• 谓词演算：处理谓词和量词的逻辑领域 • 全称量词：P(x)的全称量化表示语句“P(x)对x在其论域中的