第07讲 相变传热
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2 d t d X x 1 1 2 t dt X x dx
6
解析解
——分离变量法
此方程中，左边只是空间变量x的函数，右边 只是时间变量t函数,要使等式成立，只有两边 都等于同一个常数
2 d t d X x 1 1 2 t dt X x dx2
(4)
(h h s ) / cs T Tm 0 (h h l ) / cl
h k 2T t s = l
h h s
h h h s l
(5 a) (5 b) (5 c)
(6)
h l h
rV
k s k= k l
h h s h h l
L
0
X m , x ' F x ' dx '
13
相变传热现象
1. 2.
物理现象（连续介质）
有单一相变温度和明确界面。 相变有一个温度范围，存在两相区。
相变传热模型
温度法
以温度为唯一的因变量，分别在固相和液相区建立能量 守恒方程。
焓法
焓和温度共同作为因变量，无需分区建立控制方程
在相变前、进行中和后，其物理性质依赖于温度，而温度分布是 三维的和瞬时的变化。 有时，溶解和凝结时发生的复杂又令人困惑的现象，使得传统的分 析方法无法解决。
2
热传导方程
静止的均匀物体内含有热源的各向同性物体的热传导方程
T r,t cp (kT r,t ) q r,t t
r
x r sin cos ,
y r sin sin ,
z r cos
1 2 rT T 1 T 1 2T q 2 sin 2 2 2 t r sin r sin c p r r
内容
1.
引言
精确解（诺曼（Neumann）解） 分析方法—移动热源法
2.
3.
4.
近似方法
数值方法
1
5.
一、引言
相变过程其实就是传热传质过程； 这类传热现象的基本特征
由边界（固液交界面）移动引起的非线性（nonlinearity）化，使 得此类问题变得更复杂，并且每一个问题均有其独特性。
引起数学处理较为困难的其他因素：
11
这个解既满足热传导问题的微分方程，又满足边界条 件，但是它并不一定满足初始条件。因此，将初始条 件应用于上式可得
F x cm X m , x
m 1
0 xL
未知系数可根根据下述特征函数的正交性来确定：
L
0
0 X m , x X n , x dx N m
T
T
(2)
以下情况不考虑速度场： 1. 忽略密度变化的影响，液相内只有导热； 2. 密度不同，但液相一直处于相变温度。
15
焓法对材料的密度和相变特性没作特殊假设。
积分形式的控制方程 d hdV hv dA kT dA qdV s s V dt V
mn mn
12
我们用算子 0 X n , x dx 对F(x)的两边进行运算，再 根据正交性，可得
L
cmwenku.baidu.com
N
m
2 m t
1
L
0
X m , x F x dx
T x, t e
m1
N m
1
X m , x
直角坐标系
T T T T cp k k k q t x x x y x z
3
柱坐标和球坐标
z
Z
r
¦ Χ ¦ µ
x
y
¦Θ
x r cos , y r sin , z z 2T 1 T 1 2T 2T T 2 2 2 2 t r r r z r q cp
通解为
k 0
2 2
k1 i, k2 i
X , x c1 cos x c2 sin x
10
温度的完全解可由上述分离方程的基本解按线 性迭加原理构成，其形式为
T x, t cm X m , x e
m 1
2 m t
4
边界条件和初始条件
第一类边界条件：边界上温度给定
T=fi r,t
Si
Si
第二类边界条件：边界边上温度的法向导数给定
T =fi r,t n
第三类边界条件：边界边上温度和法向导数的线性 组合给定
T ki +h i T=fi r,t ni
Si
5
解析解
——分离变量法
平板
T x, t 2T x, t t x 2 T 0 x T k hT 0 x T F x
0 x L, t 0 x 0, x L, t 0, t 0 t 0 0 x L
T x, t X x t
14
温度法
控制方程
(1-a) (1-b) Ts (k sTs ) q s t T l cl l v Tl (k lTl ) q l t
Y
凝结过程
s cs
固相
Vs
液相
Vl
X
dV
界面耦合条件
s h m v k l k s n l n s
7
时间变量方程
d t 2 t 0 dt
t e
2 t
8
空间变量函数满足微分 方程
d 2 X x 2 X x 0 2 dx dX 0 x0 dx dX k hX 0 xL dx
0 x L
9
特征方程的根为一对共轭复数根
6
解析解
——分离变量法
此方程中，左边只是空间变量x的函数，右边 只是时间变量t函数,要使等式成立，只有两边 都等于同一个常数
2 d t d X x 1 1 2 t dt X x dx2
(4)
(h h s ) / cs T Tm 0 (h h l ) / cl
h k 2T t s = l
h h s
h h h s l
(5 a) (5 b) (5 c)
(6)
h l h
rV
k s k= k l
h h s h h l
L
0
X m , x ' F x ' dx '
13
相变传热现象
1. 2.
物理现象（连续介质）
有单一相变温度和明确界面。 相变有一个温度范围，存在两相区。
相变传热模型
温度法
以温度为唯一的因变量，分别在固相和液相区建立能量 守恒方程。
焓法
焓和温度共同作为因变量，无需分区建立控制方程
在相变前、进行中和后，其物理性质依赖于温度，而温度分布是 三维的和瞬时的变化。 有时，溶解和凝结时发生的复杂又令人困惑的现象，使得传统的分 析方法无法解决。
2
热传导方程
静止的均匀物体内含有热源的各向同性物体的热传导方程
T r,t cp (kT r,t ) q r,t t
r
x r sin cos ,
y r sin sin ,
z r cos
1 2 rT T 1 T 1 2T q 2 sin 2 2 2 t r sin r sin c p r r
内容
1.
引言
精确解（诺曼（Neumann）解） 分析方法—移动热源法
2.
3.
4.
近似方法
数值方法
1
5.
一、引言
相变过程其实就是传热传质过程； 这类传热现象的基本特征
由边界（固液交界面）移动引起的非线性（nonlinearity）化，使 得此类问题变得更复杂，并且每一个问题均有其独特性。
引起数学处理较为困难的其他因素：
11
这个解既满足热传导问题的微分方程，又满足边界条 件，但是它并不一定满足初始条件。因此，将初始条 件应用于上式可得
F x cm X m , x
m 1
0 xL
未知系数可根根据下述特征函数的正交性来确定：
L
0
0 X m , x X n , x dx N m
T
T
(2)
以下情况不考虑速度场： 1. 忽略密度变化的影响，液相内只有导热； 2. 密度不同，但液相一直处于相变温度。
15
焓法对材料的密度和相变特性没作特殊假设。
积分形式的控制方程 d hdV hv dA kT dA qdV s s V dt V
mn mn
12
我们用算子 0 X n , x dx 对F(x)的两边进行运算，再 根据正交性，可得
L
cmwenku.baidu.com
N
m
2 m t
1
L
0
X m , x F x dx
T x, t e
m1
N m
1
X m , x
直角坐标系
T T T T cp k k k q t x x x y x z
3
柱坐标和球坐标
z
Z
r
¦ Χ ¦ µ
x
y
¦Θ
x r cos , y r sin , z z 2T 1 T 1 2T 2T T 2 2 2 2 t r r r z r q cp
通解为
k 0
2 2
k1 i, k2 i
X , x c1 cos x c2 sin x
10
温度的完全解可由上述分离方程的基本解按线 性迭加原理构成，其形式为
T x, t cm X m , x e
m 1
2 m t
4
边界条件和初始条件
第一类边界条件：边界上温度给定
T=fi r,t
Si
Si
第二类边界条件：边界边上温度的法向导数给定
T =fi r,t n
第三类边界条件：边界边上温度和法向导数的线性 组合给定
T ki +h i T=fi r,t ni
Si
5
解析解
——分离变量法
平板
T x, t 2T x, t t x 2 T 0 x T k hT 0 x T F x
0 x L, t 0 x 0, x L, t 0, t 0 t 0 0 x L
T x, t X x t
14
温度法
控制方程
(1-a) (1-b) Ts (k sTs ) q s t T l cl l v Tl (k lTl ) q l t
Y
凝结过程
s cs
固相
Vs
液相
Vl
X
dV
界面耦合条件
s h m v k l k s n l n s
7
时间变量方程
d t 2 t 0 dt
t e
2 t
8
空间变量函数满足微分 方程
d 2 X x 2 X x 0 2 dx dX 0 x0 dx dX k hX 0 xL dx
0 x L
9
特征方程的根为一对共轭复数根