高三数学 空间中垂直关系复习 新人教A版
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必考部分
精品课件
第七章
立体几何
精品课件
第五节 空间中垂直关系
精品课件
考 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中 纲 线面垂直的有关性质和判定定理． 点 2．能运用公理、定理和已获得的结论，证明一些空间位置关系 击 的简单命题.
精品课件
理基础 明考向
悟题型 课时作业
精品课件
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3．边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面
角，则 AC 的长为( )
A. 2a
2 B. 2 a
3 C. 2 a
D．a
精品课件
解析：取 BD 的中点 E，连接 AE，EC 则 BD⊥AE， BD⊥EC，∠AEC 是直二面角的平面角，即∠AEC＝90°， 在 Rt△AEC 中，AE＝EC＝ 22a，于是 AC＝ AE2＋EC2＝a.
研
精品课件
知识梳理
1．直线与平面垂直 (1)定义：如果直线 l 与平面 α 内的 任意一条 直线都垂 直，则直线 l 与平面 α 垂直． (2)判定定理：一条直线与一个平面内的两条 相交 直线 都垂直，则该直线与此平面垂直． (3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行．
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2．二面角的有关概念 (1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形 叫做二面角． (2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在 两个半平面内分别作 垂直于棱 的两条射线，这两条射线所 成的角叫做二面角的平面角．
精品课件
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解析：③中 l∥α 也满足，④中 α 与 β 可能相交． 答案：①②
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要点点拨
1．应用定理时应注意的问题 运用线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行垂 直的转化，一定要严格按照定理成立的条件规范书写，否则 容易丢分，例如，把面面垂直转化成线面垂直时，一定不要 漏了条件直线在平面内，否则定理不成立．
MN≠A1C1， ∴四边形 MNC1A1 是梯形． 易证 Rt△AMA1≌Rt△CNC1，∴A1M＝C1N， ∴MNC1A1 是等腰梯形．
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(2)证明：正方体 ABCD－A1B1C1D1 中， AC⊥BD，BB1⊥平面 ABCD，MN⊂平面 ABCD， ∴BB1⊥MN，又 MN∥AC，∴MN⊥BD，BD∩BB1＝B， ∴MN⊥平面 BDD1B1，MN⊂平面 B1MN， ∴平面 MNB1⊥平面 BDD1B1.
答案：D
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4．一平面垂直于另一平面的一条平行线，则这两个平 面的位置关系是________.
精品课件
解析：由线面平行的性质定理知，该面必有一直线与已 知直线平行．再根据“两平行线中一条垂直于一平面，另一 条也垂直于该平面”得出结论．
答案：垂直相交
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5．设 α、β、γ 为彼此不重合的三个平面，l 为直线，给 出下列命题：
证明：AD⊥平面 PAC.
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[思路点拨] 只需证 AD⊥AC，再利用线面垂直的判定 定理即可．
[证明] ∵∠ADC＝45°，且 AD＝AC＝1. ∴∠DAC＝90°，即 AD⊥AC， 又 PO⊥平面 ABCD，AD⊂平面 ABCD， ∴PO⊥AD，而 AC∩PO＝O， ∴AD⊥平面 PAC.
() A．0 条
B．1 条
C．无数条
D．α 内所有直线
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解析：可以有无数条． 答案：C
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2．已知 α、β 表示两个不同的平面，m 为平面 α 内的一
条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
精品课件
解析：α⊥β⇒/ m⊥β，但 mm⊥⊂βα⇒α⊥β. 答案：B
精品课件
2．几个常用的结论 (1)过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直； (2)过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直； (3)垂直于同一平面的两条直线互相平行； (4)垂直于同一直线的两个平面互相平行．
精品课件
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热点题型一
直线与平面垂直的判定与性质
[例 1] 如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O 为 AC 的 中点，PO⊥平面 ABCD.
精品课件
[ 证 明 ] ∵BD⊥ 平 面 ABC ， CN ⊂ 平 面 ABC ， ∴BD⊥CN.
又∵AC＝BC，N 是 AB 的中点． ∴CN⊥AB. 又∵BD∩AB＝B， ∴CN⊥平面 ABD， 而 AD⊂平面 ABD， ∴CN⊥AD.与性质
[例 2] 如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M， N 分别为棱 AB，BC 的中点．
①若 α∥β，α⊥γ，则 β⊥γ； ②若 α⊥γ，β⊥γ，且 α∩β＝l，则 l⊥γ； ③若直线 l 与平面 α 内的无数条直线垂直，则直线 l 与 平面 α 垂直；
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④若 α 内存在不共线的三点到 β 的距离相等，则平面 α 平行于平面 β.
上面命题中，真命题的序号为__________(写出所有真 命题的序号)．
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3．平面与平面垂直 (1)定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角 ，就 说这两个平面互相垂直． (2)判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个 平面垂直． (3)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线 的直线与另一个平面垂直．
精品课件
基础自测
1．直线 l 不垂直于平面 α，则 α 内与 l 垂直的直线有
精品课件
(1)试判断截面 MNC1A1 的形状，并说明理由； (2)证明：平面 MNB1⊥平面 BDD1B1.
精品课件
[解] (1)截面 MNC1A1 是等腰梯形． 连接 AC，因为 M，N 分别为棱 AB，BC 的中点，所以 MN∥AC，MN≠AC，又 AC 綊 A1C1，∴MN∥A1C1，且
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[规律总结] (1)证明直线和平面垂直的常用方法有：① 判定定理；②a∥b，a⊥α⇒b⊥α；③α∥β，a⊥α⇒a⊥β；④ 面面垂直的性质．
(2)线面垂直的性质，常用来证明线线垂直．
精品课件
变式训练 1 如图，已知 BD⊥平面 ABC，MC 綉12BD，
AC＝BC，N 是棱 AB 的中点． 求证：CN⊥AD.
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第七章
立体几何
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第五节 空间中垂直关系
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考 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中 纲 线面垂直的有关性质和判定定理． 点 2．能运用公理、定理和已获得的结论，证明一些空间位置关系 击 的简单命题.
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理基础 明考向
悟题型 课时作业
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精品课件
3．边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面
角，则 AC 的长为( )
A. 2a
2 B. 2 a
3 C. 2 a
D．a
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解析：取 BD 的中点 E，连接 AE，EC 则 BD⊥AE， BD⊥EC，∠AEC 是直二面角的平面角，即∠AEC＝90°， 在 Rt△AEC 中，AE＝EC＝ 22a，于是 AC＝ AE2＋EC2＝a.
研
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知识梳理
1．直线与平面垂直 (1)定义：如果直线 l 与平面 α 内的 任意一条 直线都垂 直，则直线 l 与平面 α 垂直． (2)判定定理：一条直线与一个平面内的两条 相交 直线 都垂直，则该直线与此平面垂直． (3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行．
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2．二面角的有关概念 (1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形 叫做二面角． (2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在 两个半平面内分别作 垂直于棱 的两条射线，这两条射线所 成的角叫做二面角的平面角．
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解析：③中 l∥α 也满足，④中 α 与 β 可能相交． 答案：①②
精品课件
要点点拨
1．应用定理时应注意的问题 运用线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行垂 直的转化，一定要严格按照定理成立的条件规范书写，否则 容易丢分，例如，把面面垂直转化成线面垂直时，一定不要 漏了条件直线在平面内，否则定理不成立．
MN≠A1C1， ∴四边形 MNC1A1 是梯形． 易证 Rt△AMA1≌Rt△CNC1，∴A1M＝C1N， ∴MNC1A1 是等腰梯形．
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(2)证明：正方体 ABCD－A1B1C1D1 中， AC⊥BD，BB1⊥平面 ABCD，MN⊂平面 ABCD， ∴BB1⊥MN，又 MN∥AC，∴MN⊥BD，BD∩BB1＝B， ∴MN⊥平面 BDD1B1，MN⊂平面 B1MN， ∴平面 MNB1⊥平面 BDD1B1.
答案：D
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4．一平面垂直于另一平面的一条平行线，则这两个平 面的位置关系是________.
精品课件
解析：由线面平行的性质定理知，该面必有一直线与已 知直线平行．再根据“两平行线中一条垂直于一平面，另一 条也垂直于该平面”得出结论．
答案：垂直相交
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5．设 α、β、γ 为彼此不重合的三个平面，l 为直线，给 出下列命题：
证明：AD⊥平面 PAC.
精品课件
[思路点拨] 只需证 AD⊥AC，再利用线面垂直的判定 定理即可．
[证明] ∵∠ADC＝45°，且 AD＝AC＝1. ∴∠DAC＝90°，即 AD⊥AC， 又 PO⊥平面 ABCD，AD⊂平面 ABCD， ∴PO⊥AD，而 AC∩PO＝O， ∴AD⊥平面 PAC.
() A．0 条
B．1 条
C．无数条
D．α 内所有直线
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解析：可以有无数条． 答案：C
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2．已知 α、β 表示两个不同的平面，m 为平面 α 内的一
条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
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解析：α⊥β⇒/ m⊥β，但 mm⊥⊂βα⇒α⊥β. 答案：B
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2．几个常用的结论 (1)过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直； (2)过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直； (3)垂直于同一平面的两条直线互相平行； (4)垂直于同一直线的两个平面互相平行．
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热点题型一
直线与平面垂直的判定与性质
[例 1] 如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O 为 AC 的 中点，PO⊥平面 ABCD.
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[ 证 明 ] ∵BD⊥ 平 面 ABC ， CN ⊂ 平 面 ABC ， ∴BD⊥CN.
又∵AC＝BC，N 是 AB 的中点． ∴CN⊥AB. 又∵BD∩AB＝B， ∴CN⊥平面 ABD， 而 AD⊂平面 ABD， ∴CN⊥AD.与性质
[例 2] 如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M， N 分别为棱 AB，BC 的中点．
①若 α∥β，α⊥γ，则 β⊥γ； ②若 α⊥γ，β⊥γ，且 α∩β＝l，则 l⊥γ； ③若直线 l 与平面 α 内的无数条直线垂直，则直线 l 与 平面 α 垂直；
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④若 α 内存在不共线的三点到 β 的距离相等，则平面 α 平行于平面 β.
上面命题中，真命题的序号为__________(写出所有真 命题的序号)．
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3．平面与平面垂直 (1)定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角 ，就 说这两个平面互相垂直． (2)判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个 平面垂直． (3)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线 的直线与另一个平面垂直．
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基础自测
1．直线 l 不垂直于平面 α，则 α 内与 l 垂直的直线有
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(1)试判断截面 MNC1A1 的形状，并说明理由； (2)证明：平面 MNB1⊥平面 BDD1B1.
精品课件
[解] (1)截面 MNC1A1 是等腰梯形． 连接 AC，因为 M，N 分别为棱 AB，BC 的中点，所以 MN∥AC，MN≠AC，又 AC 綊 A1C1，∴MN∥A1C1，且
精品课件
[规律总结] (1)证明直线和平面垂直的常用方法有：① 判定定理；②a∥b，a⊥α⇒b⊥α；③α∥β，a⊥α⇒a⊥β；④ 面面垂直的性质．
(2)线面垂直的性质，常用来证明线线垂直．
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变式训练 1 如图，已知 BD⊥平面 ABC，MC 綉12BD，
AC＝BC，N 是棱 AB 的中点． 求证：CN⊥AD.