1-4函数的连续性和间断点

(3) x x1 x0 ,
y f ( x1 ) f ( x0 ) f ( x0 x) f ( x0 )
2 [3( x0 x) 2 1] (3x0 1) 3x(2x0 x)
y 3x ( 2 x0 x ) 3( 2 x0 x ) x x
x 1
，也称为
可去
间断点,第二类
x 0 ,也称为
无穷 间断点.
x2 , x 0 左 连续,连续区 2．函数 f ( x ) 在 x 0 处_______ x 1, x 0
间是
( ,0), (0,)
.
第一章
极限与连续
课题四 函数的连续与间断
三、函数四则运算的连续性 定理
x x0 x x0
则有 lim f [ ( x )] f ( a ) f [ lim ( x )].
第一章
极限与连续
课题四 函数的连续与间断
2.变量代换( u ( x ))的理论依据 .
意义
1.极限符号可以与函数符号互换;
如果函数在开区间 ( a , b ) 内连续， 并且在左 端点 x a 处右连续， 在右端点 x b 处左连续， 则称函数 y f ( x) 在闭区间 [a , b] 上连续．
连续函数的图形是在连续区间内(上)能够一笔 画出的一条连绵不断的曲线. 例如, y sin x在区间 (,) 内是连续的.
由x0变到x1时， 函数y相应地由f ( x0 )变到f ( x1 ),此时有 x x1 x0 , 称为自变量在点 x0的增量.
y f wenku.baidu.com x1 ) f ( x0 ), 称为函数 f ( x)在x0处相应于x的增量.
注意 : (1) 增量 x(y) 并不表示某个量 与变量
1 又 y f (0 x ) f (0) x sin x 1 lim y lim x sin 0, 由定义1知
x 该函数在x 0处连续.
x 0 x 0
第一章
极限与连续
课题四 函数的连续与间断
1 [例2] 试证函数 f ( x) x sin x , x 0, 在x 0处连续. x 0, 0,
x x0
( 3) lim f ( x ) f ( x 0 ).
x x0
若上述三个条件中只要 有一个不满足 , 则称 函数 f ( x )在点 x0处不连续(或间断), 并称点 x0为 f ( x )的不连续点 (或间断点).
第一章
极限与连续
课题四 函数的连续与间断
1.跳跃间断点
如果 f ( x)在点 x0处左, 右极限都存在 , 但f ( x0 0) f ( x0 0), 则称点 x0为函数f ( x )的跳跃间断点.
第一章
极限与连续
课题四 函数的连续与间断
y
2 1
如[例5中], 令 f (1) 2,
2 x , 0 x 1, 则 f ( x) x 1, 1 x , 在x 1处连续.
o
1
x
跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.
特点 函数在点x0处的左、右极限都存在 .
第一章
第一章
极限与连续
课题四 函数的连续与间断
2.函数在一点处的连续性
定义 1 设函数 y f ( x) 在点 x0 及其近旁有定义,如果当自变 量在点 x0 处的增量 x 趋向于零时, 对应的函数的增量 y 也趋 向于零,即 lim y 0 或 lim [ f ( x0 x ) f ( x0 )] 0 ,那
第一章
极限与连续
课题四 函数的连续与间断
定义 2 设函数 y f ( x) 在点 x0 及其左右近旁有 定义 , 如果函数 f ( x ) 当 x x0 时的极限存在, 且 等 于 它 在 点 x0 处 的 函 数 值 f ( x0 ) , 即
x x0
lim f ( x ) f ( x0 )
若函数 f ( x ), g ( x )在点 x0处连续,
f ( x) 则 f ( x ) g ( x ), f ( x ) g ( x ), ( g ( x0 ) 0 ) g( x ) 在点 x0处也连续.
例如, sin x, cos x在(,)内连续,
故 tan x , cot x , sec x , csc x 在其定义域内连续 .
第一章
极限与连续
课题四 函数的连续与间断
四、复合函数的连续性
定理1 若u ( x)在点x0处连续， 且u0 ( x0 ), 函数 y f (u)在对应点u0处连续, 则复合函数
y f [ ( x )]在x0处连续.
定理2
x x0
若 lim ( x ) a , 函数 f (u ) 在点a连续,
第一章
极限与连续
课题四 函数的连续与间断
练习题
填空题： 1 ．设 y f ( x) x 2 1 ，当 x 在任意点 x 处有增量 x 时， 相应的 y
2 x x ( x)2
.
sin(x 1) ,x 1 连续 2．函数 f ( x ) x 1 在 x 1 处 ____________. , x 1 1
解
f (0 0) 0,
f (0 0) ,
o x
x 0为函数的第二类间断点 .
这种情况称为无穷间 断点.
第一章
极限与连续
课题四 函数的连续与间断
练习题
填空题：
x2 1 1 ．设 y 2 ，则该函数的间断点是 x 0或x 1 ， x x
第一类间断点是 间断点是
y
x (或 y )的乘积,而是不可分割的整体记号;
(2)增量 x (或 y )可以是正数也可以是负数;
y (3) x 称为函数 y
y f ( x)
y
0
f ( x) 的平均变化率.
x x0 x 0 x x
第一章
极限与连续
课题四 函数的连续与间断
2
[例 1] 设 y f ( x) 3x 1 ,在下列条件下求自变量 x 的增量和函数 y 的 增量以及函数的平均变化率: (1)当 x 从 1 变到 1.5 时; (2)当 x 从 1 变到 0.5 时; (3)当 x 从 x0 变到 x1 时.
极限与连续
课题四 函数的连续与间断
3.第二类间断点
如果 f ( x)在点 x0处的左、右极限至少有 一个 不存 在, 则称点 x0为函数 f ( x)的第二类间断点 .
1 , x 0, [例6] 讨论函数 f ( x ) x 在x 0处的连续性. x , x 0, y
课题四 函数的连续与间断
3.单侧连续
若函数f ( x)在(a, x0 ]内有定义, 且f ( x0 0) f ( x0 ), 则称f ( x)在点x0处左连续;
若函数f ( x)在[ x0 , b)内有定义, 且f ( x0 0) f ( x0 ), 则称f ( x)在点x0处右连续.
x 0 x 0
么就称函数 f ( x ) 在点 x0 连续 , x0 称为 f ( x ) 的连续点.
设 x x0 x,
于是定义 1又可以写成 .
则y f ( x) f ( x0 ),
x 0 就是 x x0 , y 0 就是 f ( x) f ( x0 ),
定理 函数 f ( x )在 x0 处连续 是函数 f ( x )在 x0
处既左连续又右连续 .
第一章
极限与连续
课题四 函数的连续与间断
x 2, x 0, 在 x 0处的连续性 . [例3] 讨论函数 f ( x) x 2, x 0,
f ( 0 ), f ( x ) lim ( x 2 ) 解 lim 2
y
y f ( x)
2 1
o
1
x
第一章
极限与连续
课题四 函数的连续与间断
f (1 0) 2,
解 f (1) 1,
f (1 0) 2,
x 1
lim f ( x ) 2 f (1),
x 1为函数的可去间断点 .
注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函 数的定义, 则可使其变为连续点.
第一章
极限与连续
课题四 函数的连续与间断
【授课时数】 总时数：4 学时. 【学习目标】 1、知道函数的增量和在一点处连续的定义及闭区间上连续 函数的性质； 2、会求函数的增量、连续区间和间断点； 3、会判断函数在一点处和区间的连续性； 4、会用函数的连续性求函数的极限． 【重、难点】 重点：函数在一点处连续的定义和闭区间上连续函数的性 质，通过用函数的方法来分析自然界的许多现象，借助多媒体手 段引出． 难点：正确判断函数在点处的连续性和求函数的间断点， 由实例讲解方法．
解
y 3.75 7.5; x 0.5 (2) x 0.5 1 0.5, y f (0.5) f (1) 0.25 2 2.25,
y 2.25 4.5; x 0.5
(1) x 1.5 1 0.5, y f (1.5) f (1) 5.75 2 3.75,
2.可去间断点
如果 f ( x )在点 x0处的极限存在 , 但 lim f ( x )
x x0
A f ( x0 ), 或 f ( x )在点 x0处无定义, 则称点 x0为 函数 f ( x )的可去间断点.
[例5]
讨论函数 2 x , 0 x 1, f ( x ) 1, x 1 x 1, 1 x , 在x 1处的连续性 .
那么就称函数 f ( x ) 在点 x0 连续.
第一章
极限与连续
课题四 函数的连续与间断
1 [例2] 试证函数 f ( x) x sin x , x 0, 在x 0处连续. x 0, 0,
证一
该函数的定义域是 (,),
它在x 0及左右近旁有定义 .
x 0 x 0
lim f ( x ) lim( x 2) 2 f (0), x 0 x 0

y
2
右连续但不左连续 ,
故函数 f ( x )在点 x 0处不连续.
o
-2
x
第一章
极限与连续
课题四 函数的连续与间断
4.连续函数与连续区间 在开区间内每一点处都连续的函数,叫做在该开 区间内的连续函数,或者说函数在该开区间内连续.
x, [例4] 讨论函数 f ( x ) 1 x , x 0, 在x 0处的连续性. x 0,
y
解
f (0 0) 0, f (0 0) 1,
f (0 0) f (0 0),
x 0为函数的跳跃间断点 .
o x
第一章
极限与连续
课题四 函数的连续与间断
第一章
极限与连续
课题四 函数的连续与间断
自然界中有许多现象，如气温的变化，河水的流动，植 物的生长等等，都是随着时间连续不断地变动的．当时间变 化很微小时，它们的变化也很微小，这就是函数的“连续 性” ．下面我们来讨论函数的连续性．
第一章
极限与连续
课题四 函数的连续与间断
一、函数的连续性 1.函数的增量（或改变量） 设函 y f ( x)在x0及其左右近旁有定义 , 当自变量
证二
该函数的定义域是 (,),
它在x 0及左右近旁有定义 .
1 且 f (0) 0, 又 lim f ( x ) lim x sin 0, x 0 x 0 x lim f ( x ) f (0), 由定义2知
x 0
该函数在x 0处连续.
第一章
极限与连续
e x , x 0 3、若设 y 在 x 0 处连续，则 a a x , x 0
1
.
第一章
极限与连续
课题四 函数的连续与间断
二、函数的间断点
函数 f ( x )在点 x0处连续必须满足的三个条件 :
(1) f ( x )在点x0处有定义;
( 2) lim f ( x )存在;