码纠错能力的判断
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3) G中存在一恒等元e,对任意 a ∈ G ，使 a o e = e o a = a 4) 对任意 a ∈ G，存在a的逆元 a −1 ∈ G ，使
a o a −1 = a −1 o a = e
则称G构成一个群。若加法，恒等元用0表示， 若为乘法，恒等元称为单位元
Examples: 1、全体整数 2、全体偶数 3、全体实数 4、全体复数 对加法构成群 对加法构成群 对加法构成群 对加法构成群 对乘法不构成群 对加法构成群 除0元素外，对乘法构成群 除0元素外，对乘法构成群 除0元素外，对乘法构成群 对模m加法构成群
剩余类(Residue)：给定正整数m，可将全体整数按 剩余类 余数相同进行分类，可获得m个剩余类，分别用
0, 1 , K , m − 1
a + b = a + b, a ⋅ b = a ⋅ b
二、群(Group)的定义(p26)
设G是一个非空集合，并在G内定义了一种代 数运算 “ 。”，若满足： 1) 封闭性。对任意 a, b ∈ G ，恒有 a o b ∈ G 2) 结合律。对任意a, b, c ∈ G ，恒有 (a o b ) o c = a o (b o c )
五、有关环的几个概念
• • • • • 有单位元环 可换环(Commutative Ring) 有零因子环 整环(Domain) 除环(有单位元、每个非零元素有逆元， 非可换的环)
六、域(Field)的定义(p31)
• 非空集合F，若F中定义了加和乘两种运 算，且满足： 1) F关于加法构成阿贝尔群，加法恒等元 记为0 2) F中所有非零元素对乘法构成阿贝尔群， 乘法恒等元记为1 3) 加法和乘法之间满足分配律
5、全体有理数 对加法构成群
6、模m的全体剩余类, 0,1 , K , m − 1
对模m乘法，除0外， 根据m值不同
三、有关群的几个概念
• • • • • • 群的阶(Order of a Group) 有限群(Finite Group)、无限群(Infinite Group) 加群、乘群 阿贝尔群(Abelian Group) (Abelian 半群(Semigroup)、弱群(Monoid) 置换群(Permutation Group)、对称群(Symmetric Group) • 格(Lattice)——是一类加群，集合中的元素是 欧氏空间中的离散点
码纠错能力的判断
• 任一(n, k)分组码，若要在码字内： 1) 检测e个随机错误，则要求码的最小汉明距离 d0>=e+1 2) 纠正t个随机错误，则要求d0>=2t+1 3) 纠正t个随机错误，同时检测e (e>=t)个错误， 则要求d0>=e+t+1 若一(n,k)分组码的最小汉明距离为d0 ，则该 码至多可纠正 t = d − 1 个错误
MinPE = MinP (E R ) = MinP (C ≠ C ' R )
MinP(C ≠ C ' R ) = Min(1 − P(C = C ' R )) ⇒ MaxP(C = C ' R )
最大似然译码 (Maximum Likelihood Decode)
P(Ci , R) P(Ci ) ⋅ P(R Ci ) = P(Ci R) = P(R) P(R)
Examples: 1、全体整数 2、全体偶数 3、全体实数 4、全体复数 构成环，不构成域 构成环，不构成域 构成域 构成域
5、全体有理数 构成域 6、模m的全体剩余类, 0,1 , K , m − 1 设q为素数，则整数全体关于模q的剩余类 0, 1 , K , q − 1 在模q的运算下(模q加和乘)构成q阶有限域GF(q)
2
几种基本的译码方法
问题： M→C →R 如何根据接收信号R估计发送序列C’,进而估 计信息序列M’？ 设计译码算法的原则：使译码错误概率最小
PE =
∑ P(E R )P(R )
R
P (E R ) = P (C ≠ C ' R )
最大后验概率译码 （Maximum Posterior Probability）
四、环(Ring)的定义(p30)
• 非空集合R中，若定义了两种代数运算加 和乘，且满足： 1) 集合R在加法运算下构成阿贝尔群 2) 乘法有封闭性 3) 乘法结合律成立，且加和乘之间有分 配律
Examples: 1、全体整数 2、全体偶数 3、全体实数 4、全体复数 5、全体有理数 6、模m的全体剩余类, 0,1 , K , m − 1 构成环
h2
g 1 h2 g 2 h2
h3
g 1 h3 g 2 h3
子群H 左陪集 左陪集 左陪集
g 3 h1 = g 3
陪集首
g 3 h2
g 3 h3
八、陪集的概念(p33)
• 定义：H是群G的一个子群，g是G中的任 意一个元素，将g左乘H中的每一个元素， 得到一个集合，记为gH，该集合为子群 H的一个左陪集，g为该陪集的陪集首。
Examples: 对整数全体，以3为倍数的整数全体是一个 子群，可按此子群对全体整数划分陪集
七、子群的定义(p32,33)
子群：若群G的非空子集H对于G中定义的 代数运算也构成群，称H为G的子群 平凡子群、真子群
八、陪集的概念(p33)
若H是G的子群，则可利用H把G划分等价类 用g1, g2,…表示群G中的元素，用h1, h2表示子群H中的元素
h1 = e
g 1 h1 = g 1 g 2 h1 = g 2
MaxP (C i R ) ⇒ MaxP (R C i )
第二章 代数初步
要求掌握的内容
• • • • 群、子群和陪集的概念 环的概念 域的概念 会判断
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一、同余和剩余类(p23)
同余：若整数a和b被同一正整数m除时，有相同 同余 的余数，则称a、b关于模m同余，记为
a ≡ b (mod m )
a o a −1 = a −1 o a = e
则称G构成一个群。若加法，恒等元用0表示， 若为乘法，恒等元称为单位元
Examples: 1、全体整数 2、全体偶数 3、全体实数 4、全体复数 对加法构成群 对加法构成群 对加法构成群 对加法构成群 对乘法不构成群 对加法构成群 除0元素外，对乘法构成群 除0元素外，对乘法构成群 除0元素外，对乘法构成群 对模m加法构成群
剩余类(Residue)：给定正整数m，可将全体整数按 剩余类 余数相同进行分类，可获得m个剩余类，分别用
0, 1 , K , m − 1
a + b = a + b, a ⋅ b = a ⋅ b
二、群(Group)的定义(p26)
设G是一个非空集合，并在G内定义了一种代 数运算 “ 。”，若满足： 1) 封闭性。对任意 a, b ∈ G ，恒有 a o b ∈ G 2) 结合律。对任意a, b, c ∈ G ，恒有 (a o b ) o c = a o (b o c )
五、有关环的几个概念
• • • • • 有单位元环 可换环(Commutative Ring) 有零因子环 整环(Domain) 除环(有单位元、每个非零元素有逆元， 非可换的环)
六、域(Field)的定义(p31)
• 非空集合F，若F中定义了加和乘两种运 算，且满足： 1) F关于加法构成阿贝尔群，加法恒等元 记为0 2) F中所有非零元素对乘法构成阿贝尔群， 乘法恒等元记为1 3) 加法和乘法之间满足分配律
5、全体有理数 对加法构成群
6、模m的全体剩余类, 0,1 , K , m − 1
对模m乘法，除0外， 根据m值不同
三、有关群的几个概念
• • • • • • 群的阶(Order of a Group) 有限群(Finite Group)、无限群(Infinite Group) 加群、乘群 阿贝尔群(Abelian Group) (Abelian 半群(Semigroup)、弱群(Monoid) 置换群(Permutation Group)、对称群(Symmetric Group) • 格(Lattice)——是一类加群，集合中的元素是 欧氏空间中的离散点
码纠错能力的判断
• 任一(n, k)分组码，若要在码字内： 1) 检测e个随机错误，则要求码的最小汉明距离 d0>=e+1 2) 纠正t个随机错误，则要求d0>=2t+1 3) 纠正t个随机错误，同时检测e (e>=t)个错误， 则要求d0>=e+t+1 若一(n,k)分组码的最小汉明距离为d0 ，则该 码至多可纠正 t = d − 1 个错误
MinPE = MinP (E R ) = MinP (C ≠ C ' R )
MinP(C ≠ C ' R ) = Min(1 − P(C = C ' R )) ⇒ MaxP(C = C ' R )
最大似然译码 (Maximum Likelihood Decode)
P(Ci , R) P(Ci ) ⋅ P(R Ci ) = P(Ci R) = P(R) P(R)
Examples: 1、全体整数 2、全体偶数 3、全体实数 4、全体复数 构成环，不构成域 构成环，不构成域 构成域 构成域
5、全体有理数 构成域 6、模m的全体剩余类, 0,1 , K , m − 1 设q为素数，则整数全体关于模q的剩余类 0, 1 , K , q − 1 在模q的运算下(模q加和乘)构成q阶有限域GF(q)
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几种基本的译码方法
问题： M→C →R 如何根据接收信号R估计发送序列C’,进而估 计信息序列M’？ 设计译码算法的原则：使译码错误概率最小
PE =
∑ P(E R )P(R )
R
P (E R ) = P (C ≠ C ' R )
最大后验概率译码 （Maximum Posterior Probability）
四、环(Ring)的定义(p30)
• 非空集合R中，若定义了两种代数运算加 和乘，且满足： 1) 集合R在加法运算下构成阿贝尔群 2) 乘法有封闭性 3) 乘法结合律成立，且加和乘之间有分 配律
Examples: 1、全体整数 2、全体偶数 3、全体实数 4、全体复数 5、全体有理数 6、模m的全体剩余类, 0,1 , K , m − 1 构成环
h2
g 1 h2 g 2 h2
h3
g 1 h3 g 2 h3
子群H 左陪集 左陪集 左陪集
g 3 h1 = g 3
陪集首
g 3 h2
g 3 h3
八、陪集的概念(p33)
• 定义：H是群G的一个子群，g是G中的任 意一个元素，将g左乘H中的每一个元素， 得到一个集合，记为gH，该集合为子群 H的一个左陪集，g为该陪集的陪集首。
Examples: 对整数全体，以3为倍数的整数全体是一个 子群，可按此子群对全体整数划分陪集
七、子群的定义(p32,33)
子群：若群G的非空子集H对于G中定义的 代数运算也构成群，称H为G的子群 平凡子群、真子群
八、陪集的概念(p33)
若H是G的子群，则可利用H把G划分等价类 用g1, g2,…表示群G中的元素，用h1, h2表示子群H中的元素
h1 = e
g 1 h1 = g 1 g 2 h1 = g 2
MaxP (C i R ) ⇒ MaxP (R C i )
第二章 代数初步
要求掌握的内容
• • • • 群、子群和陪集的概念 环的概念 域的概念 会判断
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一、同余和剩余类(p23)
同余：若整数a和b被同一正整数m除时，有相同 同余 的余数，则称a、b关于模m同余，记为
a ≡ b (mod m )