同济大学微积分课件

xx
域内是无界函数.
解
设
M
0 ，取x0
2n
1
/
，
2
其中 n21 M2121 M2
则
f x02n2M
所以 f x 无界.
y y 1 sin 1 xx
O
x
单调性 设函数 f x 的定义域为D , 区间 I D ,
如果对任意的 x1, x2 I, 当 x1 x 2 时，总有
f x1f x2, 则称函数 f x 为区间 I 上的单调增加函数；
y T(x).
T
T(X )
X Y
例 设 X 1 ,2 ,3 ,Y 2 ,4 ,6 ,8 ,
X Y,
T
x
2x,
则T 是 X 到 Y 的映射.
例 设 X 1 ,1 ,Y , ,
X Y
T
x
tan
2
x
则T 是 X 到 Y 的映射.
2. 几类重要映射
设 T 是 X 到 Y 的映射.
如果M 0,x X , 都有 f x M, 就称 f
在 X 上有界, 否则称为无界函数.
y
y
M
M
O
有界
x
M
O
x
M 无界
例 y sin x 在 , 上是有界函数，
y
tan
x
在
2
, 2
上无界.
y
y y tanx
y sin x
1
O
x
O
x
2
2
1
例 试说明函数 f x 1 sin 1 在 x 0 的任何空心邻
满射：若 Y TX,即yY,xX,使得 y Tx. 单射：若 x1 x2, 则必有Tx1Tx2.
一一对应：既单又满的映射称为一一对应.
例 在前面的两例中，例2是一一对应，而例1则不是.
3. 逆映射与复合映射
逆映射：设T 是X 到Y 的一一映射，则对Y 中任一元素y ,
可以确定X 中的唯一元素 x , 满足 Tx y, 称此对应
交换率: AB BA ,AB BA
结合率: 分配率:
AB C ABC ,
AB C ABC
A B C A C B C , AB C A C BC .
3.区间和邻域
设 a , b 是实数，且 a b ,
开区间:
a,bxaxb;
闭区间:
aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
b
x
a,bxaxb;
a
b
x
半开半闭区间: a,bxaxb;
a
b
x
(a,b]xaxb;
a
b
x
无穷区间:
( , ) x x .
x
[a , ) xax
a
x
(a , ) xax
a
x
注意：无穷端不能写成闭的记号
邻域：
设a , 是实数，且 0, 则定义点 a 的 邻域为集合：
U (a,)xxa
x|axa
a,a
a
a
a x
如果把邻域的中心去掉，所得到的集合称为点a 的空
Z0, 1 , 2, ,n,
Qqp
pZ,qZ*
C a b ia ,b R ,i2 1
2.集合的运算
设 A , B 是两个集合，由此定义如下几个集合：
集合的交: ABxx A 且 x B
集合的并: AB xx A 或 x B
集合的差: A \Bxx A 但 x B
集合的运算满足如下运算率：
1,1 1,.
以下例中函数的定义域均为实数集。
例3 符号函数 ysgnx,
1 x 0,
y
sgn
x
0
x 0,
y
1 x 0.
ysgnx
O
x
例 取整函数 y x.
y
4 3 2 1
x -4 -3 -2 -1O -1 1 2 3 4 5
-2 -3 -4
2. 函数的几种特性
有界性 设函数 y f x 的定义域为 D , 数集 X D,
.
称此映射为由T 1 , T 2 构成的复合映射，记为T 2 T1 .
Y1 Y2
X
Z
例：设 X R ,Y 1 ,1 ,Z 0 ,1 ,
X Y,
T1
x
sin
x,
Y Z,
T2
y
y2,
则复合映射T 2 T1 为
X Z,
T
x
(sinx)2.
三、一元函数
1.概念
从数集D 到实数集 R 的任一映射 f 称为定义在D 上的
如果对任意的 x D , 都有
f xf x 就称 f x 为偶函数；
如果对任意的 x D , 都有
f xf x 就称 f x 为奇函数.
图形特征：
y
y f x
y
y f x
x O
xx
偶函数
x O
xx
奇函数
周期函数 设函数 f x 的定义域为D , 如果存在数T 0 ,
使得对任意的 x D , 当xTD,总有
一元函数，通常记为 y f x.而 R R中的集合
(x,y)yf(x),xD ,
称为y f x的图象. 而数集D 则称为函数 y f x
的定义域.
注：在以后的讨论中，更多的是函数的定义域以默认的 方式给出，即定义域为使表达式有效的一切实数.
例 y 1 x, 则定义域为 ,1.
例 y 1 x1,则定义域为 1x2
如果 x1 x 2 时，总有
f x1f x2, 则称函数 f x 为区间 I 上的单调减少函数.
图形特征：
y f x2
y f x
y
f x1
y f x
f x1
O
x1
x2
单调增加函数图形
f x2
x
O
x1
x2
x
单调减少函数图形
奇偶性 设函数 f x 的定义域为 D 关于原点对称，
预备知识
一、集合
1. 集合的概念 在数学中，把具有某种特定性质的事物组成的总体称 为一个集合. 集合中的事物称为该集合的元素.
如果元素 a 在集合 A 中，记为
a A;
否则，记为
a A.
只有有限个元素的集合称为有限集，否则称为无限集.
常用数集:
自然数集: N0,1 ,2, ,n,
整数集: 有理数集: 复数集:
关系为映射T 的逆映射，记为T 1 .
例
设
X 1 ,2 ,3 ,Y 2 ,4 ,6 ,T
X Y
x
2x
则：
Y X
T
1
y
y 2
复合映射：设有映射 T 1:X Y 1 ,T 2:Y 2 Z ,其中 Y1 Y2 , 由此可以确定一个从 X 到 Z 的映射 T ,
X Z,
T
x
T2[T1(x)]
fxTfx 就称 f x 为周期函数，T 称为 f x 的周期.
通常我们说的周期指的是最小正周期.
心邻域：
U(a,)x0xa
x|a x a ,x a
a,a a,a
a
a
a x
二、映射
1. 映射的概念
设 X , Y 是两个非空集合，如果存在一个法则 T , 使得 对 X 中的每个元素x , 按此法则在 Y 中有唯一的元素y 与之对应，那么称T 为从X 到Y 的映射，记作
T:XY.
而元素 y 称为 x 的象，记作T x ， 即