系统辨识1

1． 什么是最小二乘参数辨识问题，试阐述它的基本原理。

答：（1）在确定了系统的模型结构形式之后，根据最小二乘辨识准则和实验数据求解模型中待定的参数，即最小二乘参数辨识问题或最小二乘参数估计问题。 （2）基本原理是在描述方程为：

112()(1)()(1)(2)(()()n n z k a z k a z k n b u k b u k b u k n e k +-++-=-+-++-+

z(k)为系统输出量第k 次观测值，u （k ）为系统输出量第k-1次观测值,依此类推e （k ）是均值为零的随机噪声。得系统最小二乘格式：()()()T z k h k e k θ=+

1212()[(1),,(),(1),,()]

[,,,,,,,]

T

T

n n h k z k z k n u k u k n a a a b b b θ=------=

取准则函数2

2

1

1

()[()]

[()()]

T

k k J e k z k h

k θθ∞

∞

===

=

-∑∑

使准则函数J 为min 的估计值θ为最小二乘参数的估计值。 2． 最小二乘参数估计具有什么统计性质？它的几何意义是什么？ （1）无偏性：即它的均值或期望值是否等于总体的真实值； 由于

()()()()()()1

1

111

ˆT

T

T

T

T

T

T

T

T

T

z e e e θφφφφφφ

φθ

φφφφθφφφθφφφ-----==-=-=-

所以

()

()

()()

()()1

1

ˆT

T

T

T

E E

e E

E e θθφφφθφφφ

θ--=+=+=

即最小二乘参数估计具有无偏性。 （2）一致性 ：样本容量趋于无穷大时，它是否依概率收敛于总体的真值；

显然有

()(

)

()()()()()

()

()

()()()

()

()

11

1

1

1

1

ˆˆlim lim lim lim 0

T

T

T T

T

T

N N T T

T T

T

N T

T

T

T

T

N E E e

e E e e E e

E e θθ

θθφφφφφφφφφφφφφφφφφφ--→∞→∞--→∞

--→∞

⎡⎤

⎡

⎤--=⎢⎥

⎢⎥⎣

⎦⎣

⎦

⎡⎤

=⎢⎥

⎣⎦

==

故最小二乘估计有一致性。

（3）有效性：即它是否在所有线性无偏估计量中具有最小方差。

由于()1

ˆT T z θφφφ-=，ˆθ与z 呈线性关系，即最小二乘估计是线性无偏估计，而线性无偏估计是一种有效估计，即为N 有限时均方误差极小的估计，因此，最小二乘估计是有效的。

（4）线性性，即它是否是另一随机变量的线性函数；拥有这类性质的估计量称为最佳线性无偏估计量（best liner unbiased estimator ， BLUE ）。当不满足小样本性质时，需进一步考察估计量的大样本或渐近性质：

（5）渐近无偏性，即样本容量趋于无穷大时，是否它的均值序列趋于总体真值； （6）渐近有效性，即样本容量趋于无穷大时，是否它在所有的一致估计量中具有最小的渐近方差。

3．热电偶的输出电势E 可用下列模型描述

2

12

E t t αβ=+

式中：t 为热电偶冷热端之间的温差：α和β是模型参数。试将热电偶输出电势模型化成最小二乘格式。

答：最小二乘格式由系统输出量，随机噪声，系统输入量以及估计参数组成。 对于此问题，系统参数为(),T

θαβ=并且，随机噪声没有，输入参数为t ，但是由于t 与21

2

t 为线性无关的，故可以取21,2

t t φ⎛⎫

= ⎪⎝

⎭

，系统输出为z=E

因此，热电偶输出电势模型的最小二乘格式可以写为：z φθ= 4．设y 和12,,n x x x ⋅⋅⋅,之间满足下列关系

1122exp()n n y a x a x a x =++⋅⋅⋅+

试利用y 和12,,n x x x ⋅⋅⋅,的观察值来估计参数12,,,n a a a ⋅⋅⋅，请将该模型化成最小二乘格式。

答：因为此格式是涉及指数运算的，故根据数值分析的理论，可以将它线性化，因此，已知的关系可以化为：

1122ln n n y a x a x a x =++⋯+

同上题，估计参数为()12,,,T

n a a a θ=⋯，系统观测值为：()12,,,n x x x φ=⋯

其最小二乘格式为： ln z y =并且z φθ= 5．设某一实际过程的输入输出关系可用下列模型描述

11112121212122221122()()()()()()()()

()()()()

n n n n m

m m n m n y t u t u t u t y t u t u t u t y t u t u t u t θθθθθθθθθ=++⋅⋅⋅+⎧⎪

=++⋅⋅⋅+⎪⎨

⋅⋅⋅⎪

⎪=++⋅⋅⋅+⎩ 其中过程的输入11(),()mn u t u t ⋅⋅⋅,和输出1(),()m y t y t ⋅⋅⋅,是可观测的，为了确定模型参数12,,,n θθθ⋅⋅⋅，试将该模型化成最小二乘格式。 答：最小二乘格式为：z φθ= 根据最小二乘格式对比可以得到：

()12(),(),,()T

m z y t y t y t =⋯

111212122212(),(),,()(),(),,()

(),(),,()n n m m m n u t u t u t u t u t u t u t u t u t φ⋯⎛⎫ ⎪⋯

⎪= ⎪⋯ ⎪⋯⎝⎭

()12,,,T

n θθθθ=⋯

9．对于给定质量的理想气体，在温度T 恒定时，体积V 与压强P 之间存在如下关系：PV c γ=。其中，γ和c 是待定常数，P 和V 在各采样点上是可观测的。是否可采用最小二乘法进行系统辨识？如果可以，将其化为最小二乘格式。 答：同样，首先要进行线性化。可以将PV c γ=两边同时取对数得到

()ln ln PV

c γ

=由于c 与γ时待定参数，P 与V 是观测值，故：