6伺服驱动与控制—建模与Matlab仿真分析
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一般离散系统的传递函数可写为：
y(t ) b1 b2 z 1 bm z1m d G( z ) z 1 n u (t ) 1 a1 z az z
它对应的差分方程为：
y(t ) a1 y(t 1) an y (t n) b1u (t d ) b2u (t d 1) bm y (t d m 1)
由于其主要依据来自实测数据，又称为实验测定法。
常用于黑箱或灰箱问题，根据测得的系统输入、输出 数据来建立实际系统的数学描述。
统计模型法 —— 频率特性法
激励信号的选择：
白噪声—白噪声是指在较宽的频率范围内，各相同带
宽频带所含的噪声能量相等的噪声。 伪随机信号—近似的白噪声
正弦扫频信号
多频正弦信号组合 chirp信号
2)摆杆重心的水平运动可能描述为
d2 Fx m 2 ( x l sin ) dt
3)摆杆中心在垂直方向上的运动可描述为
d2 Fy mg m 2 (l cos ) dt
4)小车水平方向运动可描述为
d 2x F Fx m0 2 dt
2 m 2l 2 g sin cos ( J ml 2 ) F lm( J ml 2 )sin x 2 2 2 2 ( J ml )( m m ) m l cos 0 精确模型： 2 2 2 (m m)m lgsin ml cos F m l sin cos 0 2 2 2 2 m l cos ( J ml )(m m0 )
若只考虑在工作点附近 0 0 附近 100 100
2 0 sin cos 1
( J ml 2 ) F m 2l 2 g x J (m m0 ) m0 ml 2 (m0 m)m lg mlF 2 J ( m m ) m ml 0 0
num为辨识出的对象模型的分子多项式系数
den为辨识出的对象模型的分母多项式系数
（1）Levy法对连续系统的模型进行辨识
例：假设实际对象模型：
根据对象模型计算出频域响应数据
s 3 7 s 2 24s 24 G( s) 4 s 10s 3Βιβλιοθήκη Baidu 35s 2 50s 24
（1）Levy法对连续系统的模型进行辨识
系统辨识的方法有许多种，这里主要讲述两种：Levy法和ARX法。
（1）Levy法对连续系统的模型进行辨识
Levy法源于Levy提出的对复数曲线进行拟合的一种方法 Complex-curve fitting [J],IRE transactions on AC,1959.
假设对象的传递函数为：
0 1s r s G( s) 1 1s m s m
（1）Levy法对连续系统的模型进行辨识
定义如下优化目标函数，以求最优的
m , r
2
J min
1
N
ˆ ( j )] D( j )[G( j ) G
J J 0, i 0, r; 0, i 1, m; i i
X B
通过求解上述多元一次方程组，就可以得到最优的待定系数
y ( y, u)
目标：找出一组
[a1 ,, an , b1 ,, bm ]
，使得 最小
（2）ARX法对离散系统的模型进行辨识
定义如下的优化指标
J min 2 (i)
i
M
J J 0, i 0, n; 0, i 1, m; ai bi
r
m , r 为待定系数
通过实验可以获取对象的频率响应特性
ˆ ( j) P jQ G i i
其中i为采样点， P , Q为采样点处的幅值与相位
（1）Levy法对连续系统的模型进行辨识
问题：如何确定待定系数？ 从幅频特性的角度考虑所假定的对象传递函数，则有：
0 1 j r ( j )r B1 jB2 G( j ) m 1 1 j m ( j ) A 1 jA 2
(5) 确定纯滞后时间
1 1rad / s时, (1) 86
180 86 180
再查图中 1 2.85rad / s时, (1) 169
(1 ) arctan1 arctan 0.35 1
(2 ) arctan 2.85 arctan(0.35 2.85) 2.85 2 1 2 0.35s 2 (6) 最终求得该系统的开环传递函数模型G(s)为
调用[B,A]=invfreqs(H,w,3,4); G1=tf(B,A),可得：
s 3 4.075s 2 7.981s 31.41 G1( s) 4 s 7.074s 3 10.44 s 2 25.73s 31.25
通过对比可知，其精度不高！！
（2）ARX法对离散系统的模型进行辨识
169
Ke s e0.35s G( s ) (T1s 1)(T2 s 1) (s 1)(0.352 s 1)
统计模型法 —— 系统辨识法
系统辨识方法是现代控制理论中常用的方法，可根据系统的输入输出 响应估计系统的动态模型。响应信号包括：频率响应、阶跃响应、伪随机 响应、白噪声响应等。下图为系统辨识原理框图。
n为期望的对象模型分母的阶次，需要通过先验知识确定
d为期望的对象的纯滞后时间，需要通过先验知识确定 T.A为辨识出的对象模型的分子多项式系数
T.B为辨识出的对象模型的分母多项式系数
（2）ARX法对离散系统的模型进行辨识
0.3124 z 3 0.5743z 2 0.3879s 0.0889 例：实际对象模型 G( z ) 4 z 3.233z 3 3.9869 z 2 2.2209 z 0.4723 根据对象模型得到的响应数据
提取主要因素、忽略次要因素。抓住对系统模型具有决定性影响的
物理量及相互关系，舍弃次要。 注意系统的线性化。通过合理简化将非线性因素近似为线性系统。
（2）机理建模实例 —— 一阶倒立摆
一阶倒立摆结构原理图
运动学与动力学分析建模：
1)摆杆绕其重心的转动方程为
F l sin F l cos J y x
[T ]1 T y
上述系数的获取是通过使残差平方和最小而获得的， 又被称作最小二乘法。
（2）ARX法对离散系统的模型进行辨识
Matlab中，提供了相应的工具，可以辨识离散系统的数学模型。 T=arx([y,u],[m,n,d]) y为对象的输出向量 u为对象的输入向量 m为期望的对象模型分子的阶次，需要通过先验知识确定
（2）ARX法对离散系统的模型进行辨识
调用T=arx([y,u],[4,4,1]); G=tf(T),可得：
y(1) a1 y(0) an y(1 n) b1u (1 d ) bm y (m d ) (1) y(2) a1 y(1) an y (2 n) b1u (2 d ) bm y (1 m d ) (2) y( M ) a1 y( M ) an y (M n) b1u (m d ) bm y (M m d ) (M )
x(t ) ak sin 2 f k t k
k 1
N
频率特性法建模实例
(1) 由已知数据绘制该系统开环频率响应bode图 (2) 用±20dB/dec及其倍数 的折线逼近幅频特性，得到 两个转折频率
1 1rad / s,2 2.85rad / s
相应的惯性环节时间常数为
2 d d di 微分方程（建模）J m + f C i U L iRa E m m a 2 dt dt dt
G1 ( s)
U
（ s La J m s La f m s KCm )
2
忽略Ra
传函
稳定性分析 系统性能分析
G （ ） 0 s
U ( s) 1 K p KI KDs e( s) s
1.2 建模基本方法
1.2.1 机理模型法
（1）定义：采用由一般到特殊的推理演绎方法，对已知结构、参数的物理 系统，运用相应的定律或定理，经过合理分析简化而建立起来的描述系
统各物理量动、静态变化性能的数学模型。
主要通过理论分析推导建立数学模型，常用到的理论知识包括：物 质不灭定律、能量守恒定律、牛顿第二定律、基尔霍夫定律等。
T1
1
1
1s T2
1
2
0.35s
(3) 由低频幅频特性可知
L()
0
0, K 1
频率特性法建模实例
(4)由高频段相频特性知，该系统存在纯滞后环节，系统的开环传 递函数应为以下形式 Ke s e s G( s) (T1s 1)(T2 s 1) (s 1)(0.352 s 1)
（2）机理建模实例 —— 高炮炮塔随动系统
双37高炮
（2）机理建模实例 —— 高炮炮塔随动系统
扰动
系统框图
给定
控制器
U
驱动器
直流电机
θ
减速机
炮塔
自整角机
d EK dt J m s2 +fm s Cmi U La si Rai E E K s 拉氏变换（代数） Cm 开环
B1 A 1
[ r / 2] i 0 i 2i ( 1) , B2 2i [ r 1/ 2]
i 0
(1)i 2i 1 2i 1
[ m / 2]
i 0
(1)i 2i 2i , A2
[ m / 2]
i 0
(1)i 2i 1 2i 1
m , r
（2）Levy法对连续系统的模型进行辨识
Matlab中，提供了相应的工具，可以辨识连续系统的数学模型。 [num,den]=invfreqs(H,w,r,m) H为通过实验数据获取的系统的频率响应数据，其格式为P-jQ
w为实验中所对应的频率点，
为角频率
r为期望的对象模型分子的阶次，需要通过先验知识确定 m为期望的对象模型分母的阶次，需要通过先验知识确定
上述差分方程的形式又被称作ARX（自回归遍历）模型。 ARX模型辨识法就是通过辨识上述差分方程的系数而获取对象模型的。
（2）ARX法对离散系统的模型进行辨识
假设已知一组对象的输入输出数据
u [u(1), u(2),u(m)], y [ y(1), y(2), y(m)]
根据ARX模型可得：
第六章 运动控制系统建模与 Matlab仿真分析
主要内容
一、运动控制系统建模
二、Matlab功能简介
三、基于Matlab的控制系统分析与设计方法
一、运动控制系统建模
1.1 模型分类 1.2 建模基本方法 机理模型 统计模型 （1）频率响应 （2）系统辨识
1.1 模型分类
(1) 物理模型：采用实物作为模型，可以按比例搭建； (2) 数学模型：以数学公式作为仿真对象； (3) 混合模型：既有物理模型也有数学模型。
PID控制器 闭环 传函
Vf
G0 ( s)G1 ( s) H (s) Vi 1 G0 ( s)G1 ( s) H (s)
e(s) Vi Vf
1.2 建模基本方法
1.2.2 统计模型法
定义：采用由特殊到一般的逻辑、归纳方法，根据一定数量 在系统运行过程中实测、观察的物理量数据，运用统计规 律、系统辨识等理论合理估计出反映系统各物理量相互制 约关系的数学模型。
y(t ) b1 b2 z 1 bm z1m d G( z ) z 1 n u (t ) 1 a1 z az z
它对应的差分方程为：
y(t ) a1 y(t 1) an y (t n) b1u (t d ) b2u (t d 1) bm y (t d m 1)
由于其主要依据来自实测数据，又称为实验测定法。
常用于黑箱或灰箱问题，根据测得的系统输入、输出 数据来建立实际系统的数学描述。
统计模型法 —— 频率特性法
激励信号的选择：
白噪声—白噪声是指在较宽的频率范围内，各相同带
宽频带所含的噪声能量相等的噪声。 伪随机信号—近似的白噪声
正弦扫频信号
多频正弦信号组合 chirp信号
2)摆杆重心的水平运动可能描述为
d2 Fx m 2 ( x l sin ) dt
3)摆杆中心在垂直方向上的运动可描述为
d2 Fy mg m 2 (l cos ) dt
4)小车水平方向运动可描述为
d 2x F Fx m0 2 dt
2 m 2l 2 g sin cos ( J ml 2 ) F lm( J ml 2 )sin x 2 2 2 2 ( J ml )( m m ) m l cos 0 精确模型： 2 2 2 (m m)m lgsin ml cos F m l sin cos 0 2 2 2 2 m l cos ( J ml )(m m0 )
若只考虑在工作点附近 0 0 附近 100 100
2 0 sin cos 1
( J ml 2 ) F m 2l 2 g x J (m m0 ) m0 ml 2 (m0 m)m lg mlF 2 J ( m m ) m ml 0 0
num为辨识出的对象模型的分子多项式系数
den为辨识出的对象模型的分母多项式系数
（1）Levy法对连续系统的模型进行辨识
例：假设实际对象模型：
根据对象模型计算出频域响应数据
s 3 7 s 2 24s 24 G( s) 4 s 10s 3Βιβλιοθήκη Baidu 35s 2 50s 24
（1）Levy法对连续系统的模型进行辨识
系统辨识的方法有许多种，这里主要讲述两种：Levy法和ARX法。
（1）Levy法对连续系统的模型进行辨识
Levy法源于Levy提出的对复数曲线进行拟合的一种方法 Complex-curve fitting [J],IRE transactions on AC,1959.
假设对象的传递函数为：
0 1s r s G( s) 1 1s m s m
（1）Levy法对连续系统的模型进行辨识
定义如下优化目标函数，以求最优的
m , r
2
J min
1
N
ˆ ( j )] D( j )[G( j ) G
J J 0, i 0, r; 0, i 1, m; i i
X B
通过求解上述多元一次方程组，就可以得到最优的待定系数
y ( y, u)
目标：找出一组
[a1 ,, an , b1 ,, bm ]
，使得 最小
（2）ARX法对离散系统的模型进行辨识
定义如下的优化指标
J min 2 (i)
i
M
J J 0, i 0, n; 0, i 1, m; ai bi
r
m , r 为待定系数
通过实验可以获取对象的频率响应特性
ˆ ( j) P jQ G i i
其中i为采样点， P , Q为采样点处的幅值与相位
（1）Levy法对连续系统的模型进行辨识
问题：如何确定待定系数？ 从幅频特性的角度考虑所假定的对象传递函数，则有：
0 1 j r ( j )r B1 jB2 G( j ) m 1 1 j m ( j ) A 1 jA 2
(5) 确定纯滞后时间
1 1rad / s时, (1) 86
180 86 180
再查图中 1 2.85rad / s时, (1) 169
(1 ) arctan1 arctan 0.35 1
(2 ) arctan 2.85 arctan(0.35 2.85) 2.85 2 1 2 0.35s 2 (6) 最终求得该系统的开环传递函数模型G(s)为
调用[B,A]=invfreqs(H,w,3,4); G1=tf(B,A),可得：
s 3 4.075s 2 7.981s 31.41 G1( s) 4 s 7.074s 3 10.44 s 2 25.73s 31.25
通过对比可知，其精度不高！！
（2）ARX法对离散系统的模型进行辨识
169
Ke s e0.35s G( s ) (T1s 1)(T2 s 1) (s 1)(0.352 s 1)
统计模型法 —— 系统辨识法
系统辨识方法是现代控制理论中常用的方法，可根据系统的输入输出 响应估计系统的动态模型。响应信号包括：频率响应、阶跃响应、伪随机 响应、白噪声响应等。下图为系统辨识原理框图。
n为期望的对象模型分母的阶次，需要通过先验知识确定
d为期望的对象的纯滞后时间，需要通过先验知识确定 T.A为辨识出的对象模型的分子多项式系数
T.B为辨识出的对象模型的分母多项式系数
（2）ARX法对离散系统的模型进行辨识
0.3124 z 3 0.5743z 2 0.3879s 0.0889 例：实际对象模型 G( z ) 4 z 3.233z 3 3.9869 z 2 2.2209 z 0.4723 根据对象模型得到的响应数据
提取主要因素、忽略次要因素。抓住对系统模型具有决定性影响的
物理量及相互关系，舍弃次要。 注意系统的线性化。通过合理简化将非线性因素近似为线性系统。
（2）机理建模实例 —— 一阶倒立摆
一阶倒立摆结构原理图
运动学与动力学分析建模：
1)摆杆绕其重心的转动方程为
F l sin F l cos J y x
[T ]1 T y
上述系数的获取是通过使残差平方和最小而获得的， 又被称作最小二乘法。
（2）ARX法对离散系统的模型进行辨识
Matlab中，提供了相应的工具，可以辨识离散系统的数学模型。 T=arx([y,u],[m,n,d]) y为对象的输出向量 u为对象的输入向量 m为期望的对象模型分子的阶次，需要通过先验知识确定
（2）ARX法对离散系统的模型进行辨识
调用T=arx([y,u],[4,4,1]); G=tf(T),可得：
y(1) a1 y(0) an y(1 n) b1u (1 d ) bm y (m d ) (1) y(2) a1 y(1) an y (2 n) b1u (2 d ) bm y (1 m d ) (2) y( M ) a1 y( M ) an y (M n) b1u (m d ) bm y (M m d ) (M )
x(t ) ak sin 2 f k t k
k 1
N
频率特性法建模实例
(1) 由已知数据绘制该系统开环频率响应bode图 (2) 用±20dB/dec及其倍数 的折线逼近幅频特性，得到 两个转折频率
1 1rad / s,2 2.85rad / s
相应的惯性环节时间常数为
2 d d di 微分方程（建模）J m + f C i U L iRa E m m a 2 dt dt dt
G1 ( s)
U
（ s La J m s La f m s KCm )
2
忽略Ra
传函
稳定性分析 系统性能分析
G （ ） 0 s
U ( s) 1 K p KI KDs e( s) s
1.2 建模基本方法
1.2.1 机理模型法
（1）定义：采用由一般到特殊的推理演绎方法，对已知结构、参数的物理 系统，运用相应的定律或定理，经过合理分析简化而建立起来的描述系
统各物理量动、静态变化性能的数学模型。
主要通过理论分析推导建立数学模型，常用到的理论知识包括：物 质不灭定律、能量守恒定律、牛顿第二定律、基尔霍夫定律等。
T1
1
1
1s T2
1
2
0.35s
(3) 由低频幅频特性可知
L()
0
0, K 1
频率特性法建模实例
(4)由高频段相频特性知，该系统存在纯滞后环节，系统的开环传 递函数应为以下形式 Ke s e s G( s) (T1s 1)(T2 s 1) (s 1)(0.352 s 1)
（2）机理建模实例 —— 高炮炮塔随动系统
双37高炮
（2）机理建模实例 —— 高炮炮塔随动系统
扰动
系统框图
给定
控制器
U
驱动器
直流电机
θ
减速机
炮塔
自整角机
d EK dt J m s2 +fm s Cmi U La si Rai E E K s 拉氏变换（代数） Cm 开环
B1 A 1
[ r / 2] i 0 i 2i ( 1) , B2 2i [ r 1/ 2]
i 0
(1)i 2i 1 2i 1
[ m / 2]
i 0
(1)i 2i 2i , A2
[ m / 2]
i 0
(1)i 2i 1 2i 1
m , r
（2）Levy法对连续系统的模型进行辨识
Matlab中，提供了相应的工具，可以辨识连续系统的数学模型。 [num,den]=invfreqs(H,w,r,m) H为通过实验数据获取的系统的频率响应数据，其格式为P-jQ
w为实验中所对应的频率点，
为角频率
r为期望的对象模型分子的阶次，需要通过先验知识确定 m为期望的对象模型分母的阶次，需要通过先验知识确定
上述差分方程的形式又被称作ARX（自回归遍历）模型。 ARX模型辨识法就是通过辨识上述差分方程的系数而获取对象模型的。
（2）ARX法对离散系统的模型进行辨识
假设已知一组对象的输入输出数据
u [u(1), u(2),u(m)], y [ y(1), y(2), y(m)]
根据ARX模型可得：
第六章 运动控制系统建模与 Matlab仿真分析
主要内容
一、运动控制系统建模
二、Matlab功能简介
三、基于Matlab的控制系统分析与设计方法
一、运动控制系统建模
1.1 模型分类 1.2 建模基本方法 机理模型 统计模型 （1）频率响应 （2）系统辨识
1.1 模型分类
(1) 物理模型：采用实物作为模型，可以按比例搭建； (2) 数学模型：以数学公式作为仿真对象； (3) 混合模型：既有物理模型也有数学模型。
PID控制器 闭环 传函
Vf
G0 ( s)G1 ( s) H (s) Vi 1 G0 ( s)G1 ( s) H (s)
e(s) Vi Vf
1.2 建模基本方法
1.2.2 统计模型法
定义：采用由特殊到一般的逻辑、归纳方法，根据一定数量 在系统运行过程中实测、观察的物理量数据，运用统计规 律、系统辨识等理论合理估计出反映系统各物理量相互制 约关系的数学模型。