微分、微元和外微分--从牛顿-莱布尼茨公式谈起

数列极限的意境：
n
lim an A 0 , N , n N | an A | .
意境：
①无限追求，②义无反顾．
3．了解直观极限概念缺陷 ①不可观测．因而不能用于演绎推理． ②不能运算．因而不能赋予代数结构． ③不可靠． 因而可能得出错误的结论．
语言建立的极限论成功地建立了微积分的基础 .
教育数学研究那些问题？
1．对于已有数学知识在体系结构的简约性和知识 传播的有效性上进行再创造，以最简洁明了、易于
接受的逻辑体系向学生提供最值的传授的数学知识
2．优化数学知识的表述方式，使得教材更加科学、
更加平易，更加符合教育规律．从数学本身化解教
学难点，而不是通过教学法化解难点． 3．研究适合于现代教育技术和传播技术的数学知识 的表现方式，发挥现代技术的优势．
避免繁杂的技巧和计算的枝节冲淡主要的思想． 阿基米德公理：
a, b 0 , n Z , s.t na b .
n 100 1 例 1 用极限概念证明 lim . n 2 n 1 2
证明 第一步 对于 | an A | 进行恒等变形和适当放大：
100 n 100 1 199 50 . 2n 1 2 2(2n 1) 2n 1 n
一、研究得越透彻，呈现的就越简单 有些知识点之所以成为教学难点，是因为我们研 究得不够透彻． 数学教育的任务是由数学本身的研究来化解教学
难点，而不是用教学法化解难点．
1. 严格的极限概念
N 和 表述的极限概念是微积 分的难点之一 .
怎样化解这个教学难点？ 1．正确理解严格极限概念出现的历史背景和在微 积分中的作用
如果只看前 100 项 , 会误以为极限等于 0 . 实际上极限等于1 .
直觉的失败2 某公司员工 A 和 B 两种岗位. 岗位A每月底薪1000元，每月加薪200元； 岗位B每月底薪600元，每半月加薪60元．
两种岗位都是半月发一次薪金，人们都看好岗位A． 实际情况是：到第11个月，岗位B的薪酬就超过了 岗位A．而且差距逐步扩大．
1 1 2 2 3 3 4 4 5 … 11 11 1500 1560
Ａ 500 500 600 600 700 700 800 800 900 … 1500 Ｂ 300 360 420 480 540 600 660 720 780 … 1500
4．恰当的教学定位
合理的教学要求 用简单的例题、简洁的过程，诠释极限概念体现 的思维方式和论证方法．
N 和 方法对于微积分的主要 作用是 ：
① 以科学的方法阐述导数和积分等重要概念, 化解了微积分面临的巨大危机． ② 在微积分中引入严格的演绎推理，
使微积分摆脱了对于几何直观与物理意义的依赖．
另一方面，这种方法的功能仅仅是对于已有知识的 正确陈述，不是创造新知识的途径．
2．揭示极限概念包含的哲学内涵和美学意境 有限与无限的辩证法：
如何将数学教得更明白
• 用教育数学指导数学教学
• 提高数学教学的文化品位
• 开启培养创造能力的窗口 • 驾驭课堂教学的艺术
清华大学
韩云瑞
教育数学思想对于数学教学的启示
1．什么是教育数学
2．研究得越透彻，呈现的就越简单 3．追求体系的简约和表述的平易 4．澄清误解，科学准确地把握概念
什么是教育数学
数学的三种形态：原始形态，学术形态，教育形态． “教育数学”是具有教育形态的数学．或者说：教 育数学的任务就是构建具有教育形态的数学． 数学教育源自文库任务是使教育适合于数学； 教育数学的任务是使数学适合于教育． 数学家的研究成果很难直接成为教学内容，需要 进行数学上的再创造，才能将这些成就成为符合教 育基本规律的教材． 这是衔接数学成就和数学教育的不可或缺的链条， 这就是教育数学的任务．
直觉的失败－１
(n 101)( n 102)( n 103) lim ? 3 n n
a1 1010000 , a2 122513 , a3 35214.7 , a96 0.000170 , a97 0.000088 , a98 0.000038 a99 0.000012 , a100 0.000002
成功的关键是避开了“无穷小量”，而使用算术 化的方法、用有限表述无限，用“任意小”描述 “无穷小”. 但是对于数学上的“无穷小世界”的性质和结构 的认识，这种方法是无能为力的． 后来产生的“非标准分析”和其他数理逻辑领域 中有关于无穷小的概念和逻辑体系，试图从另外的 角度解释微积分的问题，并且企图使数学上的无穷 小集合与物理学上的微观世界相联系，则是另外一 个研究领域．
直觉的不可靠性
直觉为什么不可靠？
知觉能力的有限性与客观世界的变化无限性矛盾．
直觉的不精确与客观事物的复杂性矛盾． 连续发现100个苹果是红的，但由此推断所有苹果 都是红的，则是错误的． 不论发现数列的前多少项越来越接近于Ａ，也不 断定数列的极限等于Ａ．
既然“无限逼近”的过程不能直接测量，就需要 建立一个模式，明确定义和有效观测“无限逼近” 这个事实．
x x0
lim f ( x) A 看起来是一个近在咫尺的过程 .
极限概念将其拉长成为一个无限变化过程． 然后用算术化的方法描述这个过程：
用常数 、 和不等式 | f ( x) A | (| x x0 | )
刻画这个过程的特点.
方法的基本特征：
①算术化，②颠倒因果关系． 实现的基本目标：可观测．
“教育数学”是张景中院士根据欧几里德的《几 何原本》、柯西的《分析教程》和布尔巴基的《数学 原理》等教育数学大师的著名范例，创造性地提出并 倡导的一个全新的理论。 这门科学的任务是：基于数学教育的需要，根据 教育数学的规律，对于数学研究成果进行数学上的 再创造，提供教学法加工的材料。
教育数学是介于数学和教育学之间的、以数学为主 体的新兴的交叉学科。教育数学是一个全新的理论， 一门新兴的学科。