用伸缩变换赏析2015年高考解析几何试题

用伸缩变换赏析2015年高考解析几何试题

高考试题是课堂教学丰富而宝贵的资源，分析和研究高考试题对于把握高考试题的命题趋势，提高课堂教学效率具有十分重要的积极作用.纵观2015年各省市的高考解析几何试题，笔者惊奇地发现，利用伸缩变换的不变性来赏析这些试题，不仅可以得到非常简洁的解法，而且从一定程度上还能窥看到这些试题命制的源泉，本文拟就此发表笔者的一些粗浅想法，供读者参考.为了便于后续问题的探讨，我们首先不加证明地介绍伸缩变换及其不变性，相关证明读者可以参考相关文献.

在平面直角坐标系中，给出变换T：P（x，y）→P′（x′，y′），其中x′=xa

y′=yb，a>0，b>0，我们称变换T为平面直角坐标中的伸缩变换.对于给定的三点

A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）

及直线l1，l2，设其在变换T的像分别为A′（x1a，y1b）、B′（x2a，y2b）、C′（x3a，y3b），及直线l′1，l′2，平面曲线Γ在变换T下的像为平面曲线Γ′，则变换T具有下列性质：

性质1 共线结合性，即AB=λACA′B′=λA′C′;l1

∥l2l′1∥l′2;A∈ΓA′∈Γ′.

性质2 若直线AB的斜率k存在且非零，则直线A′B′的斜率k′存在，且kk′=ba;

性质3 若A，B，C三点不共线，则△ABC的面积为S，△A′B′C′的面积为S′，则SS′=ab.

性质4 曲线Γ的方程为f（x，y）=0，则曲线Γ′的方程为f（ax，by）=0.

另外为了后续行文的简洁，无特别说明，我们都默认：点P、直线l、曲线Γ在变换T下的像分别为点P′、直线l′、曲线Γ′.显然在伸缩变换T下，椭圆E：x2a2+y2b2=1

（a>b>0）的像为单元圆x2+y2=1，结合上述性质我们就可将椭圆中复杂的问题等价转化为单位圆中相应的简单

问题，下面我们利用该原理来赏析2015年高考中涉及椭圆的部分解析几何试题.

1 利用伸缩变换赏析解析几何中的位置关系

由于伸缩变换保持结合性、平行关系和线段比例关系，利用这些性质我们可以将椭圆中的位置关系转化为单位圆

中的相应位置关系，以此可以规避椭圆中的复杂运算.

例1 （2015年全国卷Ⅱ理科第20题）已知椭圆C：

9x2+y2=m2（m>0），直线l不过原点且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A、B，线段AB的中点为M.

（Ⅰ）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值;

（Ⅱ）若l过点（m3，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率;

若不能，请说明理由.

图1

证明（Ⅰ）引入伸缩变换T：（x，y）→（xa，yb），a=m3，b=m，则椭圆C的像为单位圆，如图1所示.考虑到O′M′⊥A′B′，则kO′M′?kA′B′=-1，从而直线OM，AB 的斜率乘积kOM?kAB=bakO′M′?bakA′B′=b2a2×（-1）=-9，为定值.

（Ⅱ）要使得四边形OAPB为平行四边形，则

根据变换T的不变性，其像O′A′P′B′也为

平行四边形，考虑到点M′为A′B′的中点，从

而只需M′也为O′P′的中点即可，故只需原点O′

到经过点（1，1）的直线l′的距离为12即可.设直线l′的斜率为k′，则l′的方程为k′x-y-k′+1=0，

则|k′-1|1+k′2=12，从而求得k′=4±73.从而直线l的斜率k=bak′=3k′=4±7.从而满足条件的直线l存在，其斜率为4±7.

2 利用伸缩变换赏析解析几何中的弦长关系

设线段AB在伸缩变换T下的像为线段A′B′.显然在伸缩变换下线段的长度关系不具有确定的关系，但是我们可以利用斜率的不变关系（即性质2）寻找|AB|，|A′B′|的关

系：即设线段AB所在直线斜率为k，则|AB||A′B′

|=1+k21+k′2|xA-xB||xA′′-xB′′|=a1+k21+k′

2=a1+k21+abk2.

利用这个关系我们可以将椭圆中的弦长问题转化为单

位圆中的弦长问题.

例2 （2015年陕西省高考理科数学第20题）已知椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的半焦距为c，原点O到经过两点（c，0），（0，b）的直线的距离为12c.

（Ⅰ）求椭圆E的离心率;

（Ⅱ）如图2，AB是圆M：（x+2）2+（y-1）2=52的一条直径，若椭圆E经过A、B两点，求椭圆E的方程.

图2

解（Ⅰ）过点（c，0），（0，b）的直线为bx+cy-bc=0，则原点O到此直线的距离d=bcb2+c2=c2，故a=2b，即a2∶b2∶c2=4∶1∶3，故椭圆E的离心率为32.

（Ⅱ）设椭圆E的方程为x24λ2+y2λ2=1（λ>0），引入伸缩变换T：（x，y）→（xa，yb），a=2λ，b=λ.

则椭圆E在变换T下的像为单元圆，如图2所示.

由于点M（-2，1）为AB的中点，故M′（-1λ，1λ）

为A′B′的中点，则在单位圆中|A′B′|=

21-|O′M′|2=21-2λ2，且kA′B′=1.

从而在椭圆E中，kAB=-bakA′B′=-12，从而|AB||A′B′|=1+k21+k′2|xA-xB||xA′-xB′|=2λ1+141+1=52?λ.

从而|AB|=52?λ?21-2λ2=

10?λ2-2，又由于|AB|=10，故10?λ2-2=10，求得λ2=3，故所求的椭圆E的方程为x212+y23=1. 3 利用伸缩变换赏析解析几何中的面积关系

由于在伸缩变换T下△ABC的面积与其像△A′B′C′的面积间具有非常好的不变性S△ABCS△A′B′C′

=ab，而圆中的内接三角形面积的计算远比椭圆中的内接三角形面积的计算要简单，因此利用伸缩变换来处理椭圆中的三角形的面积会比用常规方法求解要简单很多.

例3 （2015年上海市高考数学第21题）已知椭圆

x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别与椭圆交于A、B 和C、D.记得到的平行四边形ACBD的面积为S.

（Ⅰ）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明：

S=2|x1y2-x2y1|;

（Ⅱ）设l1与l2的斜率之积为-12，求面积S的值.

解（Ⅰ）显然点C（x2，y2）到直线l1的距离d即为OC=（x2，y2）在直线AB的法向量n=（y1，-x1）方向上的投影的绝对值，即d=|OC?n||n|=|x1y2-x2y1|x21+y21，而

S=|AB|?d