张量分析总结

一、知识总结

1 张量概念

1.1 指标记法

哑标和自由指标的定义及性质

自由指标：在每一项中只出现一次，一个公式中必须相同。 性质：在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得在同项内重复出现两次。

哑标：一个单项式内，在上标（向量指标）和下标（余向量指标）中各出现且仅出现一次的指标。

性质：哑标可以把多项式缩写成一项；自由指标可以把多个方程缩写成一个方程。 例：

3

33323213123232221211

313212111B x A x A x A B x A x A x A B x A x A x A =++=++=++ (1.1)

式(1.1)可简单的表示为下式：

i j ij B x A =

(1.2)

其中：i 为自由指标，j 为哑标。特别区分，自由指标在同一项中最多出现一次，表示许多方程写成一个方程；而哑标j 则在同项中可出现两次，表示遍历求和。在表达式或者方程中自由指标可以出现多次，但不得在同项中出现两次。 1.2 Kronecker 符号

定义ij δ为：

⎩

⎨

⎧≠==j i j

i ij ,0,1δ

(1.3)

ij δ的矩阵形式为：

⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=100010001ij δ (1.4)

可知3ij ij ii jj δδδδ===。δ符号的两指标中有一个与同项中其它因子的指标相同时，可把该因子的重指标换成δ的另一个指标，而δ符号消失。如：

ij jk ik

ij jk kl il

δδδδδδδ==

(1.5)

ij δ的作用：更换指标、选择求和。

1.3 Ricci 符号

为了运算的方便，定义Ricci 符号或称置换符号：

⎪⎩

⎪

⎨⎧-=其余情况为奇排列为偶排列,0,,,1,,,1k j i k j i l ijk

(1.6)

图1.1 i,j,k 排列图

ijk l 的值中，有3个为1，3个为-1，其余为0。Ricci 符号（置换符号）是与任何坐标系都无关的一个符号，它不是张量。

1.4 坐标转换

图1.2 坐标转换

如上图所示，设旧坐标系的基矢为i e ，新坐标系的基矢为'i e 。有错误!未指定书签。

'i e 在i e 下进行分解：''11'22'33'i i i i i j j e e e e e ββββ=++= 错误!未指定书签。

错误!未指定书签。j e 在'i e 下进行分解：

'''

'1'12'23'3'j j j j i j i e e e e e ββββ=++= 错误!未指定书签。

其中，''''cos(,)i j i j i j j i e e e e e e β==⋅=⋅ 错误!未指定书签。为新旧坐标轴间的夹角余弦，称为坐标转换系数。空间点P 在新老坐标系矢径：

⎪⎩

⎪

⎨⎧'

+='⋅='⋅'='0r r r e x r e x r j j i i (1.7)

其中'0r 为上图中坐标原点的位移矢量。

将'r 向新坐标轴错误!未指定书签。投影的矢量的分量：

''''''''

'

''''''''0000()()()()i k k i k ki i i k k i j j i k ki j i j i j i j

r e x e e x x r r e x e e x e e x x x x δδββ⋅=⋅==+⋅=⋅+⋅=+=+即

由此得新坐标用老坐标表示的公式：

ij j i i x x x β+'='0)(

(1.8)

错误!未指定书签。

类似地，将i 向老坐标上投影，可以推导出老坐标用新坐标表示的公式：

''0()j j i ij x x x β=+(1.9)错误!未指定书签。错误!未指定书签。

特别的，当新旧坐标原点重合时，也即坐标轴仅发生旋转，此时'

0()0i x =，

错误!未指定书签。上两式的矩阵形式为：

错误!未指定书签。 {}[]{}

{}[]{}[]{}

'1''

T x x x x x βββ-===(1.10)错误!未指定书签。错误!未指定书签。错由上可知，[][][]T

I ββ=错误!未指定书签。 ，[]β是正交矩阵，则'1i j β=。

综合以上可知：

''''''''''''

''''

i j l k lk i l j k i l j k i k j k i k j k i j i j i j e e e e e e ββββδββββδδ⎫⋅=⋅==⎪

⇒=⎬⋅=⎪⎭

(1.11)错误!未指定书签。 同理，可推出：''ij k i k j ββδ=

将老坐标到新坐标的坐标转换称为正转换，错误!未指定书签。； 将新坐标

到老坐标的坐标转换称为正转换，'

()j j i x x x =

'

'

i i

j j

x dx dx x ∂=∂错误!未指定书签。，其中'i j x x ∂∂错误!未指定书签。错误!未指定

书签。为常数，错误!未指定书签。称'

i j

x J x ∂=∂为雅克比行列式。若J 处处不为0，

则说明存在相应的逆变化，即：'''

j

i i j j i x x x x β∂∂==∂∂错误!未指定书签。