岩石细观本构关系与统计损伤模型

2岩石本构关系的细观统计损伤模型
由此可得视在平均应力为：
A0 A' A0 A' A' e E E (1 ) E (1 D) A0 A0 A0
这种描述较真实地触及了岩石非线性问题的实质。如 果能够适当地求出D的表达式，问题就能得到一个较 为满意的解答。
2岩石本构关系的细观统计损伤模型
m 1 x 0
m
e
0 dx 1 e
m
此即为用岩石基元体强度统计分布表示的岩石损 D 伤参量。
1
0

2岩石本构关系的细观统计损伤模型
基元强度分布函数图
在变形初期，试件内伴随着小量基元体的破坏（这些基元 体的强度较低 ,图(a)）； 图中的阴影面积正好反映了损伤 在变形后期，试件仍有许多基元体没有破坏（这些基元的 参量 D 值的大小。因此，损伤参 强度极大，图(c)），并继续经受着变形和破坏；
因此，岩石的非均匀性及其变化规律是岩石破 裂过程研究中必须考虑和重视的重要因素。
1岩石非均匀性及其描述
岩石介质组成统计理论描述
岩石介质的构成是非常复杂的， 通常对其进行数学描述是非常困难 的。 但是如果将岩石介质进行离散，
图 5-2 微体示意图
V
则可以利用统计的方法进行近似的
描述。
基元体示意图
量从总体上反映了损伤的积累。 在变形中期（也就是强度平均值附近），试件内的基元体 破坏量最大，宏观的破坏在此阶段显现最明显（图(b)）。
2岩石本构关系的细观统计损伤模型
把
m D x dx 0 0 0 x 0
m 1
1岩石非均匀性及其描述
岩石的非均匀属性不是一个静态变量，而是随时间或 加载历史而发展的动态变量。
在岩石内部原有非均匀性和内部缺陷的基础上，由于 外载荷的作用而发生破裂或内部缺陷发生扩展也必将进 一步增加自身的非均匀程度。 相对均匀的岩石介质，由于破裂的出现，介质的力学 性质也将从均匀向非均匀演化。
m 1
0

m
1岩石非均匀性及其描述
随着均匀性系数m的增加，
基元体的力学性质将集中
于一个狭窄的范围之内， 表明岩石介质的性质较均
匀；而当均匀性系数m值
减小时，则基元体的力学 性质分布范围变宽，表明
具有不同均质度系数材料基元体力学性质分布形式
岩石介质的性质趋于非均
匀的。
SEM图像（放大1500倍）
外力作用时内部应力分布的非均匀性
1岩石非均匀性及其描述
岩石介质的基本特征——非均匀性
材料结构非均匀性 非均匀性是材料物理力学性质在空间上的非连续性 弹性模量在空间分布的非连续性 强度在空间分布的非连续性
外力作用时内部应力分布的非均匀性
复杂地质条件露天边坡中的复杂应力场
A
A’
I值
150 100 50 0 1 51 101 151 201
局部放大
像素坐标
扫描线AA’上 I 值的变化曲线
单轴压缩数值模拟试验
1. 细观结构对应力分布的影响
1.2 1 0.8
最大剪应力 最大主应力 最小主应力
应力 /MPa
0.6 0.4 0.2 0
最大主应力
最小主应力
-0.2 0 10
最大剪应力
此处 是岩石试件在加载过程 中基元体损伤率的一种度量，它 虽然从宏观上反映了试件的损伤 程度，即劣化， 但从微观来说，基元体只有两个 状态，即不破坏和破坏。 基元体破坏的积累导致了岩石试 件的宏观劣化。
2岩石本构关系的细观统计损伤模型
如初始损伤 D0 =0，由上式则立即得到：
m D x dx 0 0 0 x 0
损伤参量D是材料损伤程度的量度，而损伤程度是与各 基元体所包含的缺陷有关的，这些缺陷直接影响着基元 体的强度，强度低的基元先发生损伤，随着加载的进行， 强度稍高的基元依序发生损伤，损伤不断累积， 因此损伤参量D与基元体破坏的统计分布密度之间存在 如下关系： dD d
2岩石本构关系的细观统计损伤模型
3 RFPA的基元与相变
接触基元 :压、剪破坏后的基元在一定范围内维持残 余强度状态
接触基元只能传递压应力，而不能传递拉应力。即 当存在拉应力时，接触基元立刻转化成空气基元。
3 RFPA的基元与相变
脆性介质的一个最大特点就是在介质的变形达到某个阀 值时，介质的力学性质要发生突变，即介质由于损伤而 导致其承载能力的急剧下降，甚至完全丧失承载能力。 我们将这种基元力学性质发生突变的现象称为相变。
2岩石本构关系的细观统计损伤模型
右图为循环加载时的 理论模型特征。这种 弹性模量随介质损伤 m 程度增加而减小的趋 势，当永久变形只占 0 E e 总变形的一小部分时， 统计损伤模型很好地 该模型反映的介质性质在整个损 预示了试验的结果。 伤过程弹模是渐进式降低的，但
花岗岩受压缩荷载作用
50mm
100mm
wk.baidu.com1.2 1 0.8
石英 长石 云母
最大剪应力 最大主应力 最小主应力
应力 /MPa
0.6 0.4 0.2 0 -0.2
花岗岩数值模型
最大主应力
最小主应力
最大剪应力
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100 110 120 130 140 150
单元号
某一断面上应力分布曲线( 石英， 长石， 云母)
2岩石本构关系的细观统计损伤模型
岩石的本构关系在一维情况下 可以用岩石的应力-应变全过程 曲线来描述。
在理论方面，不少人试图找出 岩石应力-应变全过程关系的理 论表达式。
雅安大理岩
贵溪红砂岩
大悟花岗岩
2岩石本构关系的细观统计损伤模型
70年代末期，Lemaitre等从损伤力学的角度，考虑到材料 损伤过程，提出了连续损伤力学的概念，并建立了一维 损伤模型： σ=(1-D)· σe = E(1-D)ε 式中： σ ——柯西应力或视在平均应力； σe —— 有效应力； E ——无损岩石介质的弹性模量； (1-D) —— 有效承受内力的相对面积； D —— 损伤参量，在单轴应力状态下，表示材料体积单 元中存在的微裂纹(微空隙、微缺陷)的比率。 D=0, 相当于无损坏的完整材料，这是一种参考状态； D=1，相当于材料完全损伤。
20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150
在RFPA系统的各组成模块中，基元相变分析是进 行破裂过程分析的基础
花岗岩数值模型
50mm
100mm
石英 长石 云母
花岗岩
非均匀性表征图像 （ 石英， 长石， 云母）
250 200
花岗岩数值模型
花岗岩中各细观介质力学参数
细观介质 石英 长石 云母 弹性模量 /GPa 96 67 40 抗压强度 /MPa 373 172 90 泊松 比 0.08 0.27 0.25 压拉比 15 12 10
3 RFPA的基元与相变
空气基元:就是指基元在模型中的当前功能为虚体特性 弹性模量极低 , 几乎不再传递应力，仍为弹性
优点: 不改变模型数学结构的前提下，却可以使 得模型在总体特性上能够反映出因基元破裂而引起 的物理特性的改变.
不足: 从严格意义上说已经破坏了模型的质量守恒。 但如果基元的尺寸相对模型足够小，破坏基元的质量 与模型的总质量相比可以忽略不计，则这一方法的精 度就可以得到基本的保证。
V
基元体示意图
图 5-2 微体示意图
1岩石非均匀性及其描述
1939年，Weibull率先提出了用统计数学描述材料非均
匀性的方法。 他认为精确测量破坏时的强度是不可能的，但是给定应 力水平下发生破坏的概率是可以定义的。 基于这样的思想，并经过大量的试验，Weibull建议使用 具有门槛值的幂函数来描述强度极值分布律，后来这种 分布在统计学中被称为Weibull分布 它对尺度效应、强度理论的研究起到了重要作用。

上式即为基元强度分布为Weibull分布时的岩石单轴受压 的应力-应变关系,即本构方程
2岩石本构关系的细观统计损伤模型
岩石的非均匀性对应力-应变关系的影响
σ
m= ? m=15 m=7.0 m=3.0 m=1.1
E e
0

m
ε
图 5-6 岩石介质应力—应变关系随均匀度系数变化图
其临界条件即为相变点
3 RFPA的强度准则
RFPA系统采用了修正后的库仑（Coulomb）准则（包 含拉伸截断Tension cut-off）作为基元相变临界点
1 Sin 1 (1 Sin ) 3 c , 1 c 1 1 ( 1 Sin ) 1 Sin or 1 Sin 1 3 t , 1 c 1 1 Sin
1岩石非均匀性及其描述
取一岩石试样的截面，并将其划分成若干基元 V ，如右图，则基元的力学性质便可以通过统 计方法来描述。
与宏观尺度相比，基元体V的尺度要足够小， 小到可以认为它的性质对整体宏观介质而言，其 力学性质的影响可以被忽略 与微观尺度相比，基元体的尺度又要大得多， 大到能够包含足够多的矿物晶体、胶结物晶体和 微缺陷，使基元体V相对这些矿物晶体、胶结物 晶体和微缺陷而言可以被看成是均匀的，基元体 的力学性质是其构成组分的物理力学性质的平均。 其性质可以通过某种试验方法直接或间接测定， 变形和应力可用基于均匀介绍的连续介质力学理 论描述。
2岩石本构关系的细观统计损伤模型
卸载及重新加载的特性
若以E’´表示损伤岩石介质的弹性模量，则由式
E e
0
m
E’/E0 1
可得：
0
E' E e
0

m

损伤岩石介质的弹性模量随着其承载能力的降 低而减小。
e
x 0

m
0 dx 1 e
m
代入
A0 A' A0 A' A' e E E (1 ) E (1 D) A0 A0 A0
m
得:
E e
0
1岩石非均匀性及其描述
假设这些离散后的基元体力学性质的分布是统计性的， 而且引入Weibull统计分布函数来进行描述 ：
m e 0 0 式中：α —— 岩石介质基元体力学性质参数（强度、弹 性模量等）； α0 —— 基元体力学性质的平均值； m —— 分布函数的形状参数，其物理意义反映了岩石介 质的均质性，定义为岩石介质的均匀性系数； Φ(α)—— 是岩石基元体力学性质α的统计分布密度（其单 位为Mpa-1）。
0 介质始终保持是弹性的，此式所 描述的模型也称弹性损伤模型。

循环加载的理论模型
3 RFPA的基元与相变
岩石破裂过程分析RFPA系统中，为了能够充分考虑 介质力学性能的非均匀性以及由这种非均匀性引起 的变形、破裂过程的复杂性，引入了三种特性的基 元:
基质基元、空气基元和接触基元
基质基元:指基元在模型中的当前功能为实体介质 呈现弹-脆性行为
2岩石本构关系的细观统计损伤模型
设试件截面的面积为A0，当应力增至（有效应力） σe时， 应变增至ε，若设此时已损伤的截面为Α´,则有效承受内 力的相对面积为：
( A0 A' ) A' 1 1 D A0 A0
根据Cauchy应力公式：
F0 A0 e ( A0 A' )
岩石本构关系的细 观统计损伤模型
3
主要内容
1、岩石非均匀性及其描述
2、岩石本构关系的细观统计损伤 模型 3、RFPA的基元与相变
4、RFPA的强度准则
1岩石非均匀性及其描述
宏观尺度
细观尺度
微观尺度
SEM图像（放大1500倍）
1岩石非均匀性及其描述
岩石介质的基本特征——非均匀性
材料结构非均匀性 非均匀性是材料物理力学性质在空间上的非连续性 弹性模量在空间分布的非连续性 强度在空间分布的非连续性