正多边形的外接圆和内切圆课件

形的内切圆．
任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个
圆是同心圆．
正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的半径．正多边形
的内切圆的半径叫做正多边形的边心距．正多边形每一条边所
对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角．
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议一议 （1）正三角形、正方形、正五边形、正六边形的 中心角分别是多少度？正n边形的中心角呢？
（3）正多边形的对称轴具有什么特点？
答：正多边形的对称轴相交于一点，这个点到正多边形各
顶点的距离都相等，到各边的距离也都相等，我们把这个点叫
做正多边形的中心．
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以正多边形的中心为圆心，以中心到一个顶点的距离为半
径作圆，便得到这个正多边形的外接圆．以正多边形的中心为
圆心，以中心到一条边的距离为半径作圆，便得到这个正多边
角三角形，这样正多边形的计算问题常常可以归结为解直角三
角形问题来解决．
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结论：（1）正n边形具有旋转对称性； （2）如果一个正n边形的边数是偶数，那么该正n边形还 是中心对称图形，该正n边形的中心就是对称中心． 过正n边形顶点的n条半径把正n边形分成n个全等的等腰 三角形，每个等腰三角形又被相应的边心距分成两个全等的 直角三角形．
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例 已知正六边形ABCDEF外接圆的半径是R，求这个正六
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2．任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两
个圆是同心圆．
3．正n边形具有旋转对称性．
4．如果一个正n边形的边数是偶数，那么该正n边形是中心
对称图形，该正n边形的中心就是对称中心．
5．过正n边形顶点的n条半径把正n边形分成n个全等的等腰
三角形，每个等腰三角形又被相应的边心距分成两个全等的直
边形的边长a，周长p和面积S．
E
D
F
C
A
B
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解：如图，点O为正六边形ABCDEF的中
心，连接OA，OB，作OG⊥AB，垂足为点G，
可得到Rt△OGB，其中OG为边心距，记为
r．
∵∠GOB= 1∠AOB= 1360 30，
2
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F
∴a=2Rsin30°=R，p=6a=6R．
∵r=Rcos30°= 3 ，R
正多边形的外接圆 和内切圆
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观察下列正多边形：
（1）它们都是轴对称图形吗？如果是，分别画出每个正多 边形所有的对称轴．
答：它们都是轴对称图形
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（2）它们分别有多少条对称轴？数一数，你发现了什么规
律？正n边形有多少条对称轴？
答：它们分别有3条，4条，5条，6条对称轴；
发现：正n边形有n条对称轴．
B
G
C
在Rt△COG中，边心距OG= OC 6 3 (cm)，由勾股定理，
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得CG= O C 2 O G 26 2 3 2 33 (cm)．
∴边长BC=2CG= 6
3
(cm)． PPT学习交流
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1．与正多边形有关的概念 （1）一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中 心； （2）正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的半径； （3）正多边形的内切圆的半径叫做正多边形的边心距； （4）正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角叫做正多边 形的中心角．
答：正三角形的中心角是120°，正方形的中心角是90°，正 五边形的中心角72°，正n边形的中心角是 3．6 0
n （2）将正n边形以它的中心为旋转中心，以它的中心角为旋 转角进行旋转，你能得到什么结论？ 答：将正n边形以它的中心为旋转中心，以它的中心角为旋 转角进行旋转后，能与自身重合．
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∴S=
×1 r×a×6=
2 ·
1
3·6RR=
2
22
3 3．R 2 2
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E
D
O C
R r
A GB
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分别求出半径为6 cm的圆内接正三角形的边长和边心距 ．
解：如图所示，连接OB，OC．
A
过点O作OG⊥BC交BC于点G．
∵△ABC为圆内接正三角形，
O
∴∠BAC=60°．∴∠BOC=120°． ∴∠COG=60°．∴∠OCG=30°．