爱因斯坦场方程

ν
rT
该变换可导出
① 时间、空间都是相对的（抛弃牛顿绝对时 间、绝对空间） ② 可以解释迈克尔逊-莫雷实验和麦克斯韦电 磁理论（抛弃以太理论）
1908年，闵可夫斯基将时间和空间统 一为时空，将狭义相对论表述为闵可 夫斯基时空 R1,3 上的几何理论 按照德国数学家克莱茵的观点，即为 群“SO(1,3)+平移”的不变理论
上世纪70年代，陆启铿先生提出还有 另外两种狭义相对论，其分别对应群 SO(2,3)和SO(1,4)的不变理论 前者为常负曲率的反德西特空间 后者为常正曲率的德西特空间
5、广义相对论
狭义相对论的两朵乌云
① 不存在绝对空间，无法定义惯性系 m 1m 2 ② 牛顿万有引力定律 F = G r2 无法纳入狭义相对论框架
在宇宙常数为负时正能量定理也由同 行、笔者以及合作者证明 它们都是爱因斯坦场方程的内蕴性质 在宇宙常数为正时，情况变得复杂
空间是紧的，没有无穷远 DeSitter时空在量子力学意义下没有正的 守恒能量（e.g.Witten）
笔者和合作者最近的研究结果表明，此 时存在两种方法将时空切割开，在每一 半的一类“好”的3维空间上可以证明正 能量定理 此时正能量定理不再是场方程的内蕴性 质。这里的深刻原因有待进一步阐明
r r 1 ∂ E 2 ∇ E= 2 2 , C ∂t
2
r r 1 ∂ H 2 ∇ H= 2 2 C ∂t
2
表明电磁场在真空中的扰动以速度C传播 1856年，韦伯（Weber）和柯尔路歇 （Kohlrausch）测得C近似等于真空中的光 速值，表明光就是电磁波
上述波动方程并未涉及到光源速 度，表明光速与光源的速度无关 但是麦克斯韦方程在伽利略变换 下不是不变的
7、引力波
牛顿力学中引力从一点传播到另一点时并 不需要时间 广义相对论中，引力以光速传播。在星体 塌缩成黑洞过程中，引力越来越强，导致 时空剧烈弯曲。这种时空弯曲以光速（像 水波一样）向远方传播。这就是引力波
1937年爱因斯坦完成了第一篇研究 引力波的文章 但是，尽管很多科学家都相信引力 波的存在，至今仍没有被观测到
9、量子引力
宇宙的起源是什么？1948年，伽莫 夫 （ Gamov ） 等 人 提 出 大 爆 炸 模 型，认为宇宙是原始核火球爆炸膨 胀，逐渐降温所形成。大爆炸中产 生时空和物质
目前有三个观测结果支持大爆炸模型 1. 宇宙（加速）膨胀：与大爆炸模型一致 2. 宇宙中的氦丰度：伽莫夫计算出大爆炸模 型宇宙氦元素比例理论值为25%，与观测 结果相符 3. 微观背景辐射：伽莫夫估算出大爆炸产生 的余热为5k左右，可能以黑体辐射的形式 存在
l0 l0 2l0 Δt = + − 2 2 c + v c-v c -v
因为光的波动性，该时间差异将产生距 离差（干涉条纹） 但是并没有观测到干涉条纹
3、麦克斯韦电磁理论（19世纪后期）
电场 磁场
r H = (H1 , H 2 , H 3 )
r E = (E1 , E 2 , E3 )
C 为电荷的电磁单位与静电单位之比 r r ⎧ 1 ∂H ⎪cur1E = − C ∂r t ⎪ r 1 ∂E ⎪ 真空麦克斯韦方程 ⎨ cur1H = （只有以太） r C ∂t ⎪ divE = 0 ⎪ r ⎪ divH = 0 ⎩
奥本海默和斯尼德求出此时度量为：
g = −dt + (1 − αt ) dr 2 + r 2 dθ 2 + sin2 θdϕ 2
2
4 3
(
(
))
α 是一个和引力半径和尘埃半径有关的常数
该度量的数量曲率
R 在 t=α -1
时为无穷
大， 表明尘埃在有限时间内塌缩成黑洞 对于初始密度为1克/ 厘米3 ，质量为 10 33 克 的宇宙尘埃，他们估计出塌缩时间约为1天
三十年前，物理学家和数学家论证引力辐射 带走的能量不会超过系统的原始能量 几年前，笔者和合作者应用笔者的一个定理 严格证明：当刻画引力波的两个函数c，d在
某个“延迟时刻”u0 处为零时，在该时刻前 的时空中，引力辐射带走的能量一定不会超 过系统的原始能量。该时刻后的情况不明
重要的问题是弄清楚这些条件是不是本质的
R − g μv = κT μv − λ g μv 2
现阶段科学家对宇宙中各种物质成分研究 发现
亮星 气体、尘埃、黑洞等 暗物质 暗能量 0.4% 3.6% 22% 74%
暗物质，暗能量问题是当今物理学、天文 学遇到的根本性困难之一。一些物理理论 在这时不再适合。很多物理学家认为这一 困难可能会导致物理学产生新变革 例如，广义相对论正能量定理可以用来验 证理论的自洽性。也保证时空的总质量可 以定义
1. 引力红移：时空弯曲的地方，时间变慢。观 测到太阳发射来的氢原子光谱线频率比地球 上氢原子光谱线频率要小，谱线向红端移动 2. 行星近日轨道： 在牛顿力学中，行星运动轨道是封闭的椭圆
近日点
太阳
远日点
观测发现，水星近日点在移动，扣除各种可 能影响，仍有θ = 43 弧秒/百年，无法解释
θ（
太阳
爱因斯坦应用广义相对论，计算出水星运动轨道的 测地线，发现此时测地线不再封闭，并计算出 θ 的理论值为43弧秒/百年。理论与实验相符
8、宇宙常数
1917年，爱因斯坦应用广义相对论研究 了宇宙整体的问题 爱因斯坦认为宇宙中物质的平均密度至 少按宇宙半径平方的倒数的速度衰减到 零。如果宇宙是无限的，他从场方程推 导出宇宙在膨胀
由于那个时代天文观测的局限，使得爱 因斯坦认为真实的宇宙是静态的，并不 随时间而变化。为了解决这一矛盾，爱 因斯坦在他的场方程中添加了一项
1931年，爱因斯坦放弃了宇宙常数，称引 入宇宙常数是自己一生中最大的错误 1998年，天文学家找到了宇宙加速膨胀的 证据，宇宙中似乎有一种显示“万有斥力” 的“暗”能量，促使宇宙一直加速膨胀下 去，并将越来越空，越来越暗，没有终结
科学家用以解释这种加速膨胀的最有希 望的理论是正宇宙常数
R μv
R μv
R − g μv + λg μv = κTμv 2
其中常数λ 后来被称为宇宙常数
利用新的场方程，爱因斯坦得到一个静 态，空间有界无边的宇宙。此时宇宙常数 为正 1923-1929年，美国天文学家哈勃通过天 文观测发现宇宙在膨胀，星体离我们退行 的速度与它们离我们的距离成正比。该直 线斜率现在称为哈勃常数
1915年，爱因斯坦提出
① 广义相对性原理：物理规律在一切参 照系中都相同 ② 等效原理：引力效应是一种时空弯曲 所致的几何效应
例：蹦床
重球
时空流形(N1.3, g)，g为洛伦兹度量，局 部可写成闵可夫斯基度量形式 广义相对性原理导出物理规律是张量 等效原理导出引力强度等效于曲率大小
爱因斯坦场方程
t → t = t （绝对时间） r r' r r r r → r = r + vt + r0（惯性系）
'
保持牛顿第一运动定律不变
2、光
1801年，托马斯·杨的双缝干涉实验证实光 具波动性质 当时科学家认为光波的载体是一种叫“以太” 的物质 以太相对于牛顿的绝对空间静止。地球在 绝对空间中运动，以太相对于地球有一个 漂移速度
t
( t o , ro )
r = 2m
x
计算从某固定处径向向内的零测地线发现，当
t r → 2m 时， → +∞ 。这表明光线到达 r=2m 处
时需要无限时间。从而光线无法返回，区域
r ≤ 2m 视觉上是黑的洞（黑洞）
1939年，奥本海默和斯尼德求出了球对 称，无压力的宇宙尘埃解
如果尘埃的半径为R，则在尘埃外部无物质 场，能量-动量张量为零，度量是史瓦西解。 在尘埃内部，能量-动量张量非零
迈克尔逊(1881)-莫雷(1887)实验原理
反光镜2
l0
①
c +ν
光 源
② 一半涂银 的镜子
c −ν
反 光 镜 1
l0
观测者
ν 水平方向：⎯ → 以太漂移方向 ⎯
（与地球公转方向相反）
c
光速
垂直方向：速度迭加原理 （由牛顿第一运动定律导出）
c
cBaidu Nhomakorabea2 −ν 2
ν
光束①与光束 ② 到达观测者相差时间
2m ⎞ 2 dr 2 ⎛ dt + + r 2 dθ 2 + sin 2θdϕ 2 = −⎜1 − ⎟ r ⎠ 1 − 2rm ⎝
g Sch
(
)
其中m为常数
该特解在r=0和2m处有奇点。进一步计算出曲 率长度发现
R αβ rδ R αβ rδ
48 m 2 = 6 r
由于曲率长度并不随坐标系的变化而变动， 故 r=0 处的奇点是时空固有的，r=2m 处的奇 点是坐标系的不当选取而造成的，是可去的
1974年，普林斯顿大学的泰勒（Taylor） 和赫塞（Hulse）用射电望远镜发现了 一对中子星，它们每8小时互相绕着旋 转一周 经过4年的精密测量，他们发现公转周 期每年减少10-4秒
如果该双星系统公转运动辐射引力波，引 力辐射将带走能量。系统损失的能量将导 致公转周期减少 理论计算表明，减少的理论值恰为10-4秒/ 年。从而间接证明了引力波的存在 泰勒和赫塞对双中子星的研究获得了1993 年度的诺贝尔奖
R μv
R μv 为时空度量
R − g μv = κTμv 2
g μν 的Ricci曲率
R 为时空度量
g μν 的数量曲率
Tμ v 为物质的能量-动量张量
κ
为和光速相关的引力常数
场方程给出时间、空间、引力和物质之间的联系 场方程推出粒子运动方程，其按测地线运动。特 别的，光线按零测地线运动
爱因斯坦同时提出三个检验广义相对论的实验
(
r' t ,r
'
)
设
ν
v
是相对运动速度， ν
v
= ( x ,ν y ,ν z ) ν
2
⎛ ν ν = ν , γ = ⎜1 − ⎜ c ⎝
v
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
−1 2
则洛伦兹变换为
⎛ ⎛ ct ' ⎞ ⎜ γ ⎜ r' ⎟ = ⎜ ⎜ r ⎟ ⎜ γν ⎝ ⎠ ⎜− ⎝ c ⎞ ⎟ ct −γ c r r ⎟⎛ r ⎞ ⎜ ⎟ T ⎜ ν ν ⎟⎝ r ⎟ I + (γ − 1) 2 ⎟ ⎠ ν ⎠
① ② 近日点① 近日点② 太阳
3. 光线偏折：遥远恒星的光通过太阳附近发 生偏折，弯向太阳 虽然牛顿万有引力定律也引起光线偏折，但 预测的偏转角和广义相对论预言的相差一倍 1919年日全食时，英国天体物理学家爱丁顿 领导的观测队观测到偏转角接近爱因斯坦广 义相对论的理论预测值
6、黑洞
1916年，史瓦西（Schwarzschild）求出场方 程的静态，球对称的真空（无物质场）解
1964年，美国科学家膨齐亚斯 （Penzias）和威尔逊（Wilson）无意 中发现来自宇宙空间的微观噪声，温 度大约为2.7k（后来他俩获得了诺贝 尔奖）。相对论专家迪克指出这一宇 宙背景辐射正是大爆炸余热 目前，科学家计划在欧洲的强子加速 器上模型宇宙大爆炸
上世纪60年代，彭罗斯（Penrose）创造性 地将拓扑学引入广义相对论的研究，证明 了一般性的时空奇点定理： 星体塌缩时强
大的引力将外出的光线拉回，形成一个显 视面。显视面形成后，引力进一步增强而 产生奇点
从空间角度看，显视面就是3维黎曼流形中 的内边界，在某些特殊情形，是极小曲面
随后，物理学家和数学家发展了一套 有力的结合拓扑学、微分几何学和微 分方程的研究方法，对广义相对论的 研究产生了重要作用 如Christodoulou-Klainerman以及 Lindblad-Rodnianski关于真空场方程 在3维欧氏空间上的小初值整体存在性
在宇宙常数为零时，孤立物理系统的总能 量E，总动量P1，P2, P3由Arnowitt 、Deser 、 Misner于上世纪60年代定义，由3维空间无 穷远处球面上的积分给出 由于要求洛伦兹不变性，总质量只能是
E 2 - P12 - P22 - P32
Schoen-Yau证明的正能量定理说明根号下 的量是非负的，因而可以定义
4、狭义相对论
1900年，在英国皇家协会迎接新世纪庆祝会 上，开尔文勋爵指出这是物理学的两朵乌云 1905年，爱因斯坦提出
① 相对性原理：物理规律在所有惯性系中都相同 ② 光速不变原理：真空中的光速在任何惯性系中 都相等 由此建立了狭义相对论
该两条原理可导出洛伦兹变换
惯性系
r (t , r )
惯性系
爱因斯坦场方程
——黑洞从这里产生
张 晓 中国科学院数学与系统科学研究院 2010.12.1
1、牛顿力学
绝对时间 t
r 绝对空间 R ，r = (x, y, z )
3
第一运动定律：一个物体如果不受力的 作用，则保持静止状态，或作匀速直线 运动
r r F = ma ,
r r d r a= 2 dt
2
伽利略变换：