北师大版九年级数学下册33垂径定理课件(共29张PPT)

⌒
垂径定理 AB是⊙O的一条弦.
AmB
作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
C
A M└
你能发现图中有哪些等量关系? B 与同伴说说你的想法和理由.
●O
题设
D 由 ① CD是直径 ② CD⊥AB
可推得
结论
③AM=BM,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
练一练：试 金 石
如图，已知在⊙O中， 弦AB的长为8厘米，圆心 A
O到AB的距离为3厘米，
求⊙O的半径。
E
B
.
O
解：连结OA。过O作OE⊥AB，垂足为E，
则OE＝3厘米，AE＝BE。
∵AB＝8厘米
∴AE＝4厘米
在Rt AOE中，根据勾股定理有OA＝5厘米 ∴⊙O的半径为5厘米。
垂径定理的逆定理
①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且 ①③④ 平分弦和所对的另一条弧.
③④ ①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于 ③⑤ ①②④ 弦,并且平分弦所对的另一条弧.
④⑤ ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
注意
根据垂径定理与推论可知对于一个 圆和一条直线来说。如果具备
求证：A⌒C＝B⌒D
D B
.O
N
证∴M明N：⊥作C直D径。M则NA⊥MA⌒＝BB。M∵⌒，ACBM∥＝C⌒DDM，（⌒垂 直平分弦的直径平分弦所对的弦）
AM⌒ －CM⌒
＝
⌒
BM
－D⌒M
∴A⌒C＝BD⌒ 圆的两条平行弦所夹的弧相等
如何找圆心？
当未知一个圆或一条弧的圆心时，如何把它找 出来？
试一试P93 12
10、人的志向通常和他们的能力成正比例。2021/3/162021/3/162021/3/163/16/2021 8:09:03 AM 11、夫学须志也，才须学也，非学无以广才，非志无以成学。2021/3/162021/3/162021/3/16Mar-2116-Mar-21 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。2021/3/162021/3/162021/3/16Tuesday, March 16, 2021 13、志不立，天下无可成之事。2021/3/162021/3/162021/3/162021/3/163/16/2021
THE END 17、一个人如果不到最高峰，他就没有片刻的安宁，他也就不会感到生命的恬静和光荣。2021/3/162021/3/162021/3/162021/3/16
谢谢观看
A
EC
DF
M
C
D
A
B
A
B
.
O
O.
E AC
DB
.O
小结:
N
解决有关弦的问题，经常是过圆心作
弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半 径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。
9、春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，日子像桃子一样甜蜜。 2021/3/162021/3/16Tuesday, March 16, 2021
以A,B两点为端点的弧.记作 A⌒B,读作“弧
AB连”.接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB).
经过圆心的弦叫做直径(如直径AC).
直径将圆分成两部分,每一部分都叫
B
做半圆(如弧ABC).
m 小于半圆的弧叫做劣弧,如记作 A⌒B(用
A
●O
两个字母).
C 大于半圆的弧叫做优弧,如记作 A⌒mB
D (用三个字母).
D
BE
·N
F
C
0
思考题：
已知：AB和CD是⊙O内的两条平行弦，，AB=6cm，CD=8cm ⊙O的半径为5cm， （1）请根据题意画出符合条件的图形
（2）求出AB、与CD间的距离。
A
B
O
C
D
（1）
A C
B
D O
（2）
学生练习
B
已知：AB是⊙O直径，CD
O.
是弦，AE⊥CD，BF⊥CD
求证：EC＝DF
如图,在下列五个条件中:
① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM,
④A⌒C = B⌒C,
⑤
⌒
AD
=
⌒
BD.
C
只要具备其中两个条件,
A M└
B 就可推出其余三个结论.
●O
你可以写出相应的命题吗?
D
垂径定理及逆定理
C
① CD是直径
,④A⌒C=B⌒C,
②⑤AC⌒DD=⊥B⌒DA.B, ③ AM=BM,
C
源自文库
A
D
B
O
1300多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥 拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为 37.4米，拱高(弧中点到弦的距离，也叫弓形 的高)为7.2米，求桥拱的半径(精确到0.1米)．
4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、 H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.
A
H MG
直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.
图中相等的线段有 :
B
M
.
E
D
图中相等的劣弧有:
A
.
OF
C
N
3、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，C 为 弧AB 的中点，OC交AB 于D ，AB = 6cm ， CD = 1cm. 求⊙O 的半径OA.
C
A
D
B
O
4、如图为一圆弧形拱桥，半径OA = 10m， 拱高为4m，求拱桥跨度AB的长。
如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相等吗?
老师提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况: 1.两条弦在圆心的同侧 2.两条弦在圆心的两侧
A
●O
B
A
B
●O
C
D
M
C
D
M
垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等.
讲解
M
如果圆的两条弦互相平 C 行，那么这两条弦所夹 A 的弧相等吗？
已知：⊙O中弦 AB∥CD。
垂径定理
3.2圆的对称性
圆是轴对称图形吗？
如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条 对称轴？ 你是用什么方法解决上述问题的?
●O
圆是轴对称图形.
圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无 数条对称轴.
可利用折叠的方法即可解决上述问题.
●O
圆的相关概念
⌒
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.
挑战自我填一填
1、判断：
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对
的两条弧.
（）
⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所
对的另一条弧.
（）
⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦. （ ）
⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行.
⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ）
2.已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD,
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
。2021年3月16日星期二2021/3/162021/3/162021/3/16
15、会当凌绝顶，一览众山小。2021年3月2021/3/162021/3/162021/3/163/16/2021
16、如果一个人不知道他要驶向哪头，那么任何风都不是顺风。2021/3/162021/3/16March 16, 2021
垂径定理三种语言
定理: 垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧.
如图∵ CD是直径,
C
CD⊥AB,
老师提示: 垂径定理是
A M└
B ∴AM=BM,
圆中一个重
●O
A⌒C =B⌒C,
要的结论,三 种语言要相
D
A⌒D=B⌒D.
互转化,形成 整体,才能运 用自如.
垂径定理的逆定理
AB是⊙O的一条弦,且AM=BM.
条件 结论
命
题
A M└
B
●O
①② ③④⑤ 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧. ①③ ②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两D 条弧.
①④ ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 ①⑤ ②③④ 另一条弧.
②③ ②④ ②⑤
①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.
（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦（4） 平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
上述五个条件中的任何两个条件都 可以推出其他三个结论
试一试P93 11
挑战自我画一画
驶向胜利 的彼岸
如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB,使AB 过点M.并且AM=BM.
●M ●O
2、如图4，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C、D是 直线AB上两点，且AC＝BD求证：△OCD为等 腰三角形。
过点M作直径CD.
右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说 你的想法和理由.
C
A
┗●
M
●O
B 由 ① CD是直径 ③ AM=BM
可推得
平分弦（不是．直径）的直径
②CD⊥AB,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
D
垂直于弦,并且平 分弦所对不的是两直条弧径.
垂径定理 如图,小明的理由是:
连接OA,OB则, OA=OB.
在Rt△OAM和Rt△OBM中,
C
∵OA=OB，OM=OM， A M└
B
∴Rt△OAM≌Rt△OBM.
●O
∴AM=BM.
∴点A和点B关于CD对称. D ∵⊙O关于直径CD对称,
∴ 重合当,圆⌒ A沿C着和B⌒直C径重合CD, 对⌒ AD折和时B⌒D,点重合A与. 点B ∴A⌒C =B⌒C, A⌒D =B⌒D.
即 A⌒C = B⌒D
随堂练习P9210
挑战自我垂径定理的推论
驶向胜利 的彼岸
如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相等吗?
老师提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况:
1.两条弦在圆心的同侧 2.两条弦在圆心的两侧
A
●O
B
A
B
●O
C
D
C
D
垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等.
垂径定理的推论
O
E
CA
BD
3、如图，两个圆都以点O为圆心，小圆的弦CD 与大圆的弦AB在同一条直线上。你认为AC与BD 的大小有什么关系？为什么？
O
A C G DB
a
c
∵ a = b ，c = d ∴a–c=b-d
O
A
B
C
D
G
b
d
线段加减
∵
⌒ AG
=
⌒ BG
C⌒G = D⌒G
圆弧加减
∴
⌒ AG
-
⌒ CG
=
⌒⌒ BG - DG