画法几何复习

L
K
K
辅助平面法求交点
●作图步骤： 1. 包含直线EF作辅 助平面P； 2. 求出 P 与△ABC 的交线MN； 3. EF 与MN的交点 即为所求；
4. 判别可见性。
P E
A
M
C
K
N BF
【例】求直线EF与△ABC的交点K，并判别可见性。
f 1'(2' ) c n
b
k
作图步骤：
1. 包含直线EF 作铅垂面P；
求截交线的实质就是如
何求属于截交线上的点
的问题，因此应熟练掌
握曲面体表面取点，取
点应先取特殊点（如最
高、最低、最前、最后、 最上、最下、以及可见
P
与不可见的分界点）后
取一般点。
平面与圆柱相交
矩形
圆
椭圆
平面与圆锥相交
圆
三角形
椭圆
双曲线
抛物线
平面与圆球相交
不管截平面位置 如何，截交线总 是圆；但其投影 可能是直线、圆 或椭圆。
B D
AC
K
P
【例】已知点D属于 ABC，试求点D的水平投影 。
b
1 d
c
a
2
2
c
a
d
1
b
【例】 已知 平面ABCD的正面投影，且边AD∥V面， 完成其水平投影。
c'
b'
1' 2'
a'
d'
c
b
1
2
a
d
十一、属于平面的特殊位置直线
1.属于平面的投影面平行线
Z
2'
V
a'
PV P
W
PW
X
O
PH
取水平线和正平线
圆
变化 情况
45º
【 例 】 求 圆 柱 截 交 线 。
【 例 】 求 圆 锥 的 截 交 线 。
三. 直线和曲面立体相交
目的——求贯穿点，它是直线和曲面体的共有点。
一. 特殊情况
l'
l"
k'
k"
L
K
判断可见性
l l
k
【例】求直线与圆锥的贯穿点
【 例 】 求 直 线 与 圆 球 的 贯 穿 点 。
4
c 3
五、过A点作与H面成30°角的正方形，且其AB边同时平行 于P平面与三角形平面，AB＝25。（10分）
c'
d'
PV
PV
b'
a'
d
c a
30°
b
六、完成四棱柱被切割后的V、H面投影。（10分）
七、完成两立体相贯后的V、H面投影。（10分）
八、 已知同坡屋面的倾角及其同高檐线的平面图，完成屋面的两面投影。 （10分）
平脊 斜沟
斜脊
檐口线
先碰先交，依次封闭
十四、曲面立体
一. 曲面立体的表面取点 二. 平面截割曲面立体 三. 直线和曲面立体相交 四. 平面体和曲面体相交
圆柱表面取点
(d)' a'
(d)" a"
b' c'
b" (c")
d
D
A
a
分特殊点和一 般点，作图方
BC
c 法利用积聚性
b
圆锥表面上取点
b' (c') Aa'
m
f 2 m
3'
2. 求出平面P与
a e
△ABC的交线 MN；
a 3. 交线MN与直 线EF的交点
b
k
K即为所求；
n
4. 判别可见性。
1
(3 )
c
e PH
辅助平面法
e'
4'
【
g'
例
1'
】
d'
求
两
3'
平
a'
面
的 交 线
d
3
a
1
并
判
别
可 见
g
性
。
4
e
b' Rv
k'
2'
k
2
b
c'
f' f
c PH
3、垂直问题
a
Ｂ
c(d) e
b
f
六、属于直线的点
V
b
k
B
a
K
b k a
x
o
x
o
A
b
b
a
k
k
a
1.从属性——则点的各个投影必属于该直线的各同面投影。
2.定比性——属于直线段的点分割直线段之长度比等于其投影
长度比。即:
投影特性
AK KB
＝
ak kb
＝
a k
k b
＝
a k k b
【例】含点C作正平线CD与直线AB相交。
b" c"
(a")
1. 纬圆法 2. 素线法
c b
a
一般点 特殊点
圆球表面上取点
a' b' c' d'
a"
一般点
b" 特殊点
(c") (d")
A
(d) 只能用 纬圆法
a
bc
平面截割曲面立体
截交线的性质——闭合的平面曲线或平面多边形。它是立 体表面和截平面的共有线。
求截交线方法——辅助平面法，即素线法和纬圆法。
【例】求点K到△ABC的距离。
k'
c'
a'
l'
1'
2'
b'
a
PV
2l
c
1
k
b
空间分析
距离 A
K
LC B
【例】求点K到直线AB的距离。
k'
PV 1' b'
空间分析
K
距离
B
L A
l' a' 2'
b
k
2
l sc
a
1
求作一直线KL，使其垂直于ABC，且与DE、FG相交。
a′
f′
l′
d′
g′
b′ b
a
c′ k′ e′
立体具有重叠表面时，相贯线才不闭合。 两平面立体相贯——其相贯线一般是闭合的空间折线。
求两平面立体相贯线的步骤
分析形体——弄清两立体的形体特征以及它们是全贯或是互贯。 求相贯点——就是求每一条棱线与另一立体的贯穿点。 连相贯点——属于一立体的同一棱面同时也属于另一立体同一
棱面的两点才能相连。 判别可见性——位于两立体均为可见表面的相贯线才是可见的。
3. 连线原则——位于立体的同 一表面的两点才能相连。
截交线
P
截平面
截面(或断面)
作
出
三
平行
棱
锥
被
截
割
后
的
H 、 W 投 影
3、 直线与平面立体相交
贯穿点——直线与立体表面的交点。它是直线与立体表面的
共有点，求贯穿点就是求线与面交点的问题。
b'
求贯穿点的方法:
贯穿点之
l'
1. 利用积聚性
间没有线
Y
2
a
b' 1' c'
b 1 c
2.属于平面的最大斜度线
几何条件——属于平面且垂直于迹线的直线即为平面对
该投影面的最大斜度线。
Z
AB//H，则雨水总是沿
V
与AB垂直的方向流下
PV
P
W
PW
X
O
A
PH
Y
B
平面对H 面的最大斜度线——⊥水平线
平面对V 面的最大斜度线——⊥正平线
平面对W面的最大斜度线——⊥侧平线
Z差
Y差
X差
ab
a b
a b
如求 ，因是
对Ｈ面的倾角，故 所有要素都和Ｈ有 关，即Ｈ投影(ab) 以及距Ｈ面的距离 差(Ｚ差)。
Z
b b
a
X
a b
a
a
ab
O
YW
b
YH
【例】已知直线AB的a、 a′，AB＝25， 且＝30°，
＝45°；试完成AB的V、H投 影。有几解？
25
b′在该线上
Y差
a b
误作成水平线
b′
b′
c′
c′
d′
a′
a′
a
a
d
c
c
b
b 错误画法
七. 线段的实长和倾角
1.直角三角形法
Z
V
b
ZB－ZA
B 距b离差
b Z b
a A0
X
YA－YB
B0
A
b
a
XA－XB
W a
X
a
a
O
b
a
YW
Y YH
ab
ZB－ZA
2.实长、倾角、距离差、投影长之间的关系
四个要素中任意知道其中二个要素，都可以求出另二 个要素。解题时必须弄清楚这些要素之间的关系。
b'
a c
b
三、已知△ABC对H面的倾角为45°，且其一条边AC为水平线，△DEF 属于△ABC ，完成△ABC的V面投影和△DEF的H面投影。(10分 )
b'
f'
d' a'
e' c'
c
a
e
d f
45°
b
四、求两平面的交线，并判别可见性。（10分）
b'
2'
3'
a'
1'
b
PV
1
a 2
c' 4'
QV
a'
a b'
b
c' d
c
3. 补画出点或所缺的投影。（10分）
Hale Waihona Puke Baidu
（1）直线AB的α角等于30°，求a′b′。
且ZK=20，
（2）点K属于直线CD，
求K点的两面投影。
b'
c'
20
30°
a'
k'
d'
c
a
b
k d
4. 已知AB为平面P对H面的最大斜度线，求作该平面的投影 和对V面的最大斜度线。（10分） b'
2. 辅助平面法
B
k'
l' b'
k'
L
a'
贯穿点 A
B
KL
K
表面可
见则点
l
b
l
也可见 a
k
【例】 求直线KL与三棱锥的贯穿点。
3' b' PV 辅助平面法
1'
2' l'
a'
k'
b
1 l 3
k
a
2
B L P
K A
4、 两平面立体相交
相交的两立体称为相贯体，相贯体表面的交线称为相贯线。 相贯线的性质: 1. 相贯线是两立体表面的共有线； 2. 由于立体有一定范围，故相贯线一般是闭合线；只有当两
几何条件——若属于一平面的相交二直线对应地平行于属 于另一平面的相交二直线，则此二平面平行。
A C
B D
PB
QE
C
F
A
D
2、相交问题
目的: 求交点和交线 方法: 利用积聚性或辅助平面法 交点和交线的特点: 共有性 （1. ） 特殊情况相交——利用积聚性作图 （2. ）一般情况相交——利用辅助平面法作图
【例】 求四棱柱与圆锥的相贯线投影。
求 三 棱 柱 与 半 圆 球 的 交 线
【
辅
例 】
助
求
PV2
平
圆 锥
PV3
PV1
面
与 四
法
棱
锥
的
相
贯
线
。
《画法几何》模拟试卷
一、过点C作正平线交AB于D，DC=30mm，完成DC的V、
H投影。（10分）
b'
d'
a'
c'
b
d
c
a
二、已知直线AB的投影如图，在直线AB上确定一点C，使 BC＝30mm，求C点的投影。（10分） a' c'
【例】 求 ABC平面对H面的倾角 。
b'
作图步骤：
2'
1'
1. 取一水平线；
2. 作水平线的垂线，
a'
3'
b
求出对H面的最大
c'
斜度线；
3. 利用直角三角形法
求出平面的 角。
2 3
1
c
a
十二、直线与平面、两平面之间的相对位置：
1、平行问题
∥、×、⊥。
几何条件——若直线平行属于平面的任一直线，则此直 线与该平面平行。
互贯（一组交线）
全贯（两组交线）
【例】求三棱锥和四棱柱的相贯线。
平行
求 两 平 面 体 的 相 贯 线 并 补 画 侧 面 投 影
5、 同坡屋面的交线
1.坡度(即α角)相等 2.所有檐口线同高 3.一条檐线代表一个坡面 4.相邻二檐线的坡面有交
线(凸角为斜脊、凹角为 斜沟) 、平行二檐线的坡 面交线为平脊 5.屋面上每个点必有至少 三条线
30°
九、补出圆柱被切割后的H、W面投影。（10分）
45°
十、完成相贯体的两面投影。（10分）
《画法几何》模拟考 试题
1. 判断题：指出正确答案。（5分）
2.
三角形ABC为：（1）一般位置平面 （2）过X轴的平√面
3.
（3)正平面
（4）侧垂√面
b'
c'
a' a
b
c
2. 已知AC为水平线，完成平面四边形ABCD的V面投影。（5分） d'
复习要点
一、投影的基本性质
1.类似性: 2.全等性; 3.积聚性;
二、三面投影特点
长对正、高平齐、宽相等
三、点用坐标表示
A (x、y、z)
四、两点的相对位置
4.重合性
1.方位关系； 2.重影点及可见性
五、直线的投影
直线的投影仍为直线，特殊时为一点。
一般位置直线
投影面垂直线
Ａ
Ｃ
投影面平行线
Ｅ
Ｄ
Ｆ
d' p'
c'
a'
cd
b
p
a
5. 已知AC为正方形的一条对角线，另一对角线BD对H面的倾
角为45°，完成此正方形的V、H投影，有几解？（10分）
d'
c'
o'
a'
a d
b' b
45°
o
c
o'
SC
c'
答：有两 解
6. 求两平面的交线。（10分） d'
f l e
g
c d
k
十三、平面立体 1、 平面立体的投影及表面取点 2、 平面立体的截交线 3、 直线与平面立体相交 4、 两平面立体相交 5、 同坡屋面的交线
1、 平面立体的投影及表面取点
作图方法——利用属于直线、平面的点的作图方法
d'
d"
b'
(b')
a'
a"
(c')
c"
D B
A
c' d
b a
a' b'
c'
b c
a
a" b"
(c")
B
A
C
2、 平面立体的截交线
截交线性质：
1. 截交线是截平面与立体表面 2. 的共有线； 2. 截交线是闭合的平面多边形
求截交线方法：
1. 交点法——求出截平面与立 体各棱线的交点，按连点原 则依次连接而成；
2. 交线法——求出截平面与立 体各棱面的交线；
四. 平面体和曲面体相交
1.相贯线性质——相贯线是平面体和曲面体表面的共有线。 2.相贯线形状——由若干段平面曲线或平面曲线和直线所组成
的空间闭合线（两立体有表面共面时不闭合）。 3.求相贯线的方法 :
就是求平面与曲面体的截交线 和直线与曲面体表面的交点。 4.判别相贯线可见性的原则 :
只有位于两形体都可见的表面 上的交线才是可见的。
V
b'
c'
b'
a'
X
B
D
A
b
d' a' C x
b
a
c
a
异面垂直也适用
c' o
c
十、 属于平面的直线和点
1. 直线属于平面的几何条件：
⑴ 直线通过属于平面的两个点，则直线属于平面。 ⑵ 直线通过属于平面的一个点，且平行于属于平面的另
一条直线，则直线属于平面。
2. 点属于平面的几何条件：
点属于平面的任一直线，则点属于该平面。
x
ab
Z差
30° 45° 25
有8 解
b在该圆上
a′
b′ o
b
b
在
a
该
线
上
八、两直线的相对位置
b d
c
c
a
a
b d
X
c 1 2
b 3(4)
d
a
bd
c
c
a
a
b
4
c
d a
1(2) 3
平行
相交
相叉
b d
九、直角投影定理
定理： 若直角有一条边平行于某一投影面时，则该直角在 该投影面上的投影也反映直角。
可任意画
直线与平面垂直
●若直线垂直于属于平 面的任意两条相交二 直线，则直线必垂直 于平面。
●反之，若直线垂直于 平面，则直线必垂直 于属于平面的所有直
线。
V x Px
A
PV
L2
o B L1
PH
P
平面垂线的投影特性：
V
A
PV x Px
L2 o B L1
PH
P
a' l1'
l1
l2' b'
b
l2
a
根据直角定理，若直线垂直于平面，则有： ●直线的水平投影必垂直于该平面的水平线的水平投影； ●直线的正面投影必垂直于该平面的正平线的正面投影。