第二章 顺序统计量与样本极差.

次
序
统
计
量X
(
k
)
的密度函数为
fk(x)
(k
n!
F ( x)k11
1)!(n k)!
F ( x) nk
f
( x).
证明：对 任 意 的 实 数x， 考 虑 下 面 的 事 件
“
次
序
统
计
量X
(k
取
)
值
落
在
区
间( x,
x

x]内
”
“ 样 本 容 量 为n的 样 本 中 有1个 观 测 值 落 在 ( x, x x]之间，而有k 1个观测值小于等 于x，有n k个观测值大于x x”
(
2
的
)
联
合
分
布
列
为
X (2)
X (1)
0
1
2
7
9
3
0
27
27
27
1
4
3
0
27
27
2
0
0
1 27
补充内容
设 每 次 试 验 有k个 可 能 的 结 果 ， 记 为A1, A2 , , Ak , 相 应 发 生 的 概 率 分 别 为p1, p2 , , pk， 并 且 满 足 p1 p2 pk 1。 进 行 了N次 独 立 重 复 的 试 验 ， 设Ai发 生 了ni次 ，i 1,2, , k，(即n1 n2 nk N ) 则此事件发生的概率为
P( X(1)

2)

1 27
P( X (2)
0)
1

C
2 3

C
2 3
33

7 27
P( X (2)

2)
1

C
2 3

C 32
33

7 27
7 7 13 P( X(2) 1) 1 27 27 27
X
的
(1)
概
率
分
布
列
为
X (1)
0
1
2
P
19 7
1
27 27
27
(0,0,0),(0,0,1),(0,0,2) (0,2,2),(1,2,2),(2,2,2)
例1：设 总 体 分 布 为U (0,1)，X 1 ,
X 2 ,
,
X
为
n
样
本
，
则
0 x 0
F
(
x
)


x
0 x1
1 x 1
1 0 x 1 f ( x) 0 其它
其第k个次序统计量的密度函数为
fk
(
x)

(k

n! 1)! ( n

k )!
x k1(1
X
(
2
的
)
概
率
分
布
列
为
X (2)
0
1
2
P
7 13
7
27 27
27
1 P( X(3) 0) 27
X
的概率分
(3)
布
列为
23 1 7 P( X(3) 1) 27 27 27
X (3)
0
1
2
P
1
7
19
27 27
27
P( X (3)

2)

1
1 27

7 27

19 27
X
(1)与X
F ( y)i1F (z)
j)!
F ( y) ji1 1
F (z) n j
f
( y)
f
( z ),
y z.
证明：对增量y, z,以及y z，事件“X(i) ( y, y y],
X( j) (z, z z]”
“ 容 量为n的 样本X1,
N! n1!n2!
nk
!
p n1 1
p n2 2

p nk k
这就是多项分布的概率公式。
下面我们仅就总体的分布为连续情况下，讨论次 序 统计量的抽样分布。
二、单个次序统计量的分 布
定理1：设 总体X的 密度 函数 为f ( x)， 分 布函 数为F ( x)，
X1,
X 2 ,
,
X
为
n
样
本
，
则
第k个
x0
Fk
(
x

x) x

Fk
(
x)

n!
F ( x)k11 F ( x) nk f ( x). 证毕。
(k 1)!(n k)!
推论1：在定 理1的假 定下 ，最小 最大 次序统 计量X(1) ,
X
(
n
的
)
概
率
密
度
函
数
为
f1( x) n1 F ( x) n1 f ( x) fn ( x) nF ( x ) n1 f ( x).
X 2 ,
,
X
中
n
有i
1个观测值小于等于y
一个落入区间( y, y y]，j i 1个落入区间( y y, z]， 一个落入区间(z, z z]，而余下n j个大于z z”
1
j i 1
k 1
1
nk
x
x x
样本的每一个分量小于等于x的概率为F( x)，
落入区间( x, x x]的概率为F( x x) F( x)，
大于x x的概率为1 F( x x)，
而 将n个 分 量 分 成 这 样 三 组 ，共 有
n!
种。
(k 1)!(n k)!
§2.5 顺序统计量与样本极差
一、顺序统计量及其分布
定义：设X 1 ,
X 2 ,
,
X
是
n
取
自
总
体X的
样
Biblioteka Baidu
本
，X
(
i
称
)
为
该 样本 的第i个 次序 统计 量， 它 的取值 是将 样本
观 测值 ， 由 小到 大排 列后 得到 的第i个 观测 值，
其中 X(1) min( X1, X 2 , , X n ) 称为该样本的
于
是
若
以Fk
(
x
)记X
(
k
的
)
分
布
函
数
，
则
由
多
项分
布
可
得
Fk ( x x) Fk ( x)

n!
F ( x)k1F ( x x) F ( x)1 F ( x x ) nk
(k 1)!1!(n k)!
两边除以x，并令x 0，
fk
(
x)

lim
最小次序统计量，X(n) max( X1, X 2 , , X n ) 称为该样本的最大次序统计量。
一 般 情 况 下 ，X (1) ,
X(2) ,
,
X
(
既
n)
不
独
立
，
分
布
也
不
相同
。
例1：设 总 体X的 分 布 为 仅 取0,1,2的 离 散 均 匀 分 布
X 01 2
P
1
1
1
3
3
3
现
从
中
取
出3个
样
本
，X
1
,
X
2
,
X
，
3
其
一
切
可
能
取
值
有33 27种 ， 每 一 组 观 测 值 的 概率 相 同 ， 都 为1 。 27
下面，我们分别求出各次序统计量的边缘分布，
说明上面结论的正确性。
P( X(1)

0) 1
23 33

19 27
23 1 7 P( X(1) 1) 33 27 27
x)nk
0 x1
为贝塔分布Be (k, n k 1)。
三、多个次序统计量的联合分布
下面我们讨论任意两个次序统计量的联合分布。
定理2：在定理1的假定下，次序统计量( X(i) , X( j) )，i j
的联合概率密度函数为
fij ( y, z)

(i
1)!(
j

n! i 1)!(n