2018年日本初中数学奥林匹克决赛试题

2018年日本初中数学奥林匹克

决赛

1.k 是大于等于3的整数，使用一个正k 边形，A 和B 两个人玩如下的游戏，重复k 回：A 说一个大于等于1且小于等于100的整数，B 把该整数写在正k 边形的某个尚未写上数字的顶点上如果正k 边形上有写着相同数字的三个顶点，且这三个顶点构成等腰三角形，那么B 获胜，否则A 获胜。此时，试求出所有的k ，使得不管A 怎么做B 都有办法获胜。

2.有5个人，计算出每两个人的年龄差，发现是两两互异的正整数，试求岁数最大的和岁数最小的人的年龄差可能取到的最小值。

3.设△ABC 的外接圆为ω,AB =AC ,过B,C 两点的圆分别交边AB,AC 于D,E 两点,直线DE 和直线BC 交于点F .直线AF 交ω于A,G 两点.H 为DE 上一点,射线AH 交ω于点I .试证：F,G,H,I 四点共圆.

A

B C D

E F

G

H

I

4.k 是大于或等于2的整数，A =2k −1。L 是小于或等于A 2的正奇数，首先将其写在黑板上，如下操作重复k −1次：记前面刚写在黑板上的整数为n ，在黑板上写上能整除A −n 的最大正奇数。此时，试证：包括最初写在黑板上的L ，黑板上的L 出现了至少两次。

5.三角形ABC 的内切圆为ω,边BC ￿CA ￿AB 的中点分别记作A ′,B ′,C ′。存在六个点B a ,C a ,C b ,A b ,A c ,B c ，线段B a C a ,C b A b ,A c B c 均是圆ω的直径，且分别平行于BC,CA,AB ，

直线B ′C a 与直线C ′B a 交于点X,直线C ′A b 与直线A ′C b 交于点Y ，直线A ′B c 与直线B ′A c 交于点Z ，试证：直线AX,BY,CZ 三线交于一点。

A

B C

A ′

B ′

C ′A b A c C b B c B a C a

X

Y

Z

（中山大学:詹秋明汉化）