函数的凸性及相关性质

函数的凸性及相关性质

设f 是定义在区间I 上的函数，若对I 上任意两点12,x x 和任意实数(0,1)λ∈总有

1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-

则称f 为区间I 上的凸函数或下凸函数。上述不等式表明弧在弦下，故曰下凸。

性质 1. f 为区间I 上的凸函数的充要条件是对于I 上任意三点123x x x <<，总有下述不等式成立。

31322121

31

32

()()

()()

()()

f x f x f x f x f x f x x x x x x x ---≤

≤

---

根据这一性质，若函数f 即是凸函数又是凹函数，则不等式变为等式，立即可得f 是一线性函数。

性质2. 开区间上的凸函数必是连续函数。

证明 记开区间为(,)a b ，任取0(,)x a b ∈，不妨设10x x x <<，根据性质1的第一个不等式得到

[]001001

()()()()x x f x f x f x f x x x --

+≤-，又取02x x x <<，根据性质1的第二

个不等式得到020220

20

()()()x x x x f x f x f x x x x x --≤

+

--。结合这两个不等式得

[]0020100201

20

20

()()()()()()x x x x x x f x f x f x f x f x f x x x x x x x ----+≤≤

+

---

两边同时令0x x +

→，得0

0lim ()()x x f x f x +

→=，即()f x 在0x 右连续。同理可证()f x 在0x 左

连续。0x 是任意取的，所以()f x 在(,)a b 内连续。

【注】这一结论在闭区间上有可能不再成立，在开区间上也无法加强为一致连续。

性质3. （詹森不等式）设f 为区间I 上的凸函数，则对于任意i x I ∈，0i λ>，1

1n

i i λ==∑

有

11

()n n

i i i

i i i f x f x λλ

==⎛⎫

≤ ⎪⎝⎭

∑∑

性质4. 设f 为区间I 上的凸函数，则函数()(0)

()f x f F x x

-=单调递增。

证明 取12x x <则根据性质1有121212()(0)

()(0)

()()0

f x f f x f F x F x x x --=

≤

=--，所

以F 单调递增。

从这个结论还可以看到，凸函数有有限的单侧导数。

性质5. f 在开区间I 上为下凸函数的充分必要条件是对每个c I ∈，存在a 使得在区间I 上成立不等式()()()f x a x c f c ≥-+。

证明 首先x c =时显然成立。

性质6. （阿达玛不等式）设f 是(,)a b 上的下凸函数，则对每一对1212

,(,),x x a b x x ∈<有21

1

21221

()()

1()22

x x x x f x f x f f t dt x x ++⎛⎫

≤≤

⎪-⎝⎭⎰

。

证明 f 为下凸函数，所以

[]1

21212211(())(())2

2x x f x x x f x x x f λλ+⎛⎫

+-+

--≥ ⎪⎝⎭

，两边对λ从0到1积分，得21

1

221

1()2x x x x f f t dt x x +⎛⎫

≤ ⎪-⎝⎭⎰

。另一方面，由f 为下凸函数又

可得到

21

1121210

21

1()((1))()(1)()x x f t dt f x x d f x f x d x x λλλλλλ=

+-≤

+--⎰

⎰

⎰

，后者等

于

12()()

2

f x f x +。

综上所述有，21

1

21221

()()

1()22

x x x x f x f x f f t dt x x ++⎛⎫≤≤

⎪-⎝⎭⎰

。