曲线的切线

例： y=x3在P处的切线斜率为3, 求点P的坐标.
解: 设点P的坐标为(x0, y0), 则过点P 的割线的斜率为 3 3 f ( x0 x) f ( x0 ) ( x0 x) x0 y x x x
x0 3 x0 x 3 x0 (x) (x) x0 x 当x 0时, 2 3 x0 3 x0 x ( x) 2 2 2 2 3x0 3x0 x (x) 3x0
2) f ( x)的一条切线经过点（ 3， 2），
小结
本节主要学习了曲线在一点处的切线及 切线的斜率的概念, 要学会利用极限求切线的斜 率及切线的方程.
• 课本习题P65--66： 4、7、8、10 双测3.1.2 （第一课时）
导数的几何意义：
y
y=f(x)
Q
T
斜率为f ( x0 )
P x o
导数的概念（一） ——曲线的切线
y N M l1
O
x l2
1 函数平均变化率的模型 表达方法1：
平均变化率 y f ( x2 ) f ( x1 ) x x2 x1 数量意义：
直线AB的斜 率
Y=f(x) y f(x2) B f(x2)-f(x1) f(x1) O A x2-x1 x1 x2 x
y y0 f x0 x x0
函数在x 1 处的切线斜率 k y x1 2
问题1 圆与圆锥曲线的切线是如何定义的? 与曲线只有一个公共点, 并且位于曲线一边的直 线叫切线.
问题2 以上定义是否适合任意曲线? (不适合)
y N M
O l2
l1
x
1.切线的定义 曲线C:y=f(x) 上有两点 P(x0,y0)，Q(x0+Δx,y0+Δy), 当点Q沿着曲线无限地逼近于点P,即当Δx 0, 如 果割线PQ有一个极限位置PT, 那么直线PT 叫做曲 线在点P 处的切线.
Q· 割线
·
P
O
·
·
a
T 切线 x
例1已知曲线方程为: y=x2+1,那么此曲线在点
P(1，2)处的切线的斜率.
y=x2+1 y y=2x
注意书写格式
· P(1,2)
O x
课堂练习 P61 点评
1 、 2 、 3、 4
1、求作切线------割线逼近法 2、求切线的斜率------公式法 3、割线逼近切线的变化过程
f ( x1 x)
Y=f(x)
B
y
x x x1 x1 x
2 函数在某点处的导数
y 当x 0时， kl (切线l的斜率） x
kl ......称为函数在点P处的 导数
函数y f ( x)在某点P( x0 , y0 )处的 导数： 切线的斜率 记为：y f ( x0 )
2 3
3
2
3
又知k=3, ∴ 3x02=3 即x0=±1
当x0=1时, y0=13=1; 当x0= –1时, y0=(–1)3= –1， 所求点P的坐标为(1,1)或(–1, –1)
1 3 8 P ( 2, ) 如图已知曲线 y 3 x 上 一 点 3
求: (1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程. (2)在点P处的切线方程是 12x-3y-16=0.
3 平均变化率与导数的关系
已知函数y x 2 （ 1 ）求函数在点 x 1附近的平均变化率； （2）求函数在点 x 1处的切线的斜率 .
(1)解：函数在点x 1附近的平均变化率 y (1 x) 2 12 2 x x x
y (2)由（ 1 ）知，当x 0 时， 2 x 2 x 函数在点x 1处的切线的斜率是2
y
y =f ( x )
Q · 割线 T 切线
·
P
·
·
O
x
2.切线的斜率：
设切线PT的倾斜角为a ,那么当Δx 率逼近切线PQ的斜率，即当Δx 0, 0时,割线PQ的斜
k PQ
y f ( x0 x) f ( x0 ) tan x x
无限趋近于点P处的切线斜率。 y y=f(x)
y 4 3 2 1 -2 -1 O -1 -2
y
1 3 x 3
（1）点P处的切线的斜率等于4
P
x 1 2
备用练习---体会知识与运用方法
已知f ( x) x
1)求f ( x)在点x 2附近的平均变化率； 求切点坐标 .
2，已知f ( x) ax2 2 x在点x 1处的导数f (1) 2， (1) 确定f ( x)的表达式； （2）求函数在点x 1处的切线方程 .
平均变化率表达方法2：
y f f ( x1 x) f ( x1 ) x x x
理解 x1 x （ 1 ）x...... 自变量的改变量 （增量） （2）x1 x 表示相对x1Βιβλιοθήκη Baidu 一个改变量（增量） （3）y......函数改变量 （增量）
f(x1) O A y
切线
x0
导数的几何意义
函数 y f x 在点 x0处的导数的几何意义, 就是曲线y f x 在点Px0 , f x0 处的切线的斜 率．也就是说, 曲线 y f x 在点 Px0 , f x0 处的 切线的斜率是
f x0
。
相应的 ,切线方程为：