十一章 债券价值分析

第一节
收入资本化法运用
一、贴现债券估值
二、直接债券估值 三、统一债券估值 四、判断债券高估与低估
一、贴现债券
定义：贴现债券，又称零息票债券 (zero-coupon bond)， 是一种以低于面值的贴现方式发行，不支付利息，到期按债 券面值偿还的债券。 贴现债券的内在价值公式
M V n 1 r
其中，V代表内在价值，M代表面值，r是该债券的预期
收益率，n是债券到期时间。
二、直接债券
定义:直接债券，又称定息债券，或固定利息债券，按 照票面金额计算利息，票面上可附有作为定期支付利息凭证 的息票，也可不附息票。最普遍的债券形式 直接债券的内在价值公式
C C C C M V 2 3 T 1 r 1 r 1 r 1 r 1 r n
第十一章
债券价值分析
第一节 第二节 第三节 收入资本化法运用 债券定价原理与价值属性 久期、凸度与免疫
学习目标
通过本章的学习，应该能够达到 ◆ 掌握股息 (或利息) 贴现法在债券价值分析中的运用； ◆ 掌握债券定价的五个基本原理； ◆了解债券属性与债券价值分析； ◆ 了解久期、凸度及其在利率风险管理中的运用。
以及同一债券的价格波动与其到期时间的关系。其中，不
同债券之间的价格波动的比较，同样参见后面的“到期时 间”部分。
例3：沿用例二中的债券。假定两年后，它的收益率仍然为9%，当时 它的市场价格将为924.06美元。第二年后的市场价格计算公式为：
60 60 1000 924.06 3 3 1 0.09 1 0.09 1 0.09
第二节
债券定价原理与价值属性
一、债券定价原理
二、债券价值属性
马尔基尔（Malkeil）定理
由公式可见，债券的持有期限、利息、本金以及市场利 率（或者收益率）决定了债券的内在价值，若市场是有效的 （无套利条件），则内在价值＝价格。 1962年麦尔齐(B.G.Malkiel)最早系统提出了债券定价的5 个原理。至今，这5个原理仍然被视为债券定价理论的经典。
计息次数的差别
__________________________________________ 计息周期 计息次数 有效年利率（ %） 年 1 10.00000 季 4 10.38129 月 12 10.47131 周 52 10.50648 天 365 10.51558 小时 8760 10.51703 分钟 525600 10.51709
元，三年后到期偿还本金1000美元，那么根据式（10.4）， 可以算出该债券承诺的到期收益率y为10.02%。如果市场利 率为9%。那么，这种债券的价格是被低估的。 具体计算过程如下：
60 60 60 1000 900 2 1 y 1 y 1 y 3
采用内插法，求的Y=10.02%
债券的价格才处于一个比较合理的水平。
四、判断债券价格高估与低估
方法二：比较两类到期收益率的差异
预期收益率（appropriate yield-to-maturity ）：即前面公式中的r
承诺的到期收益率（promised yield-to-maturity ）：即隐含在当前 市场上债券价格中的到期收益率，用y表示。
一些债券基本知识
（一）固定收益证券
贴现债券(零息债券)、直接债券（息票债券）和统一 公债 （二）名义利率与实际利率 （三）单利与复利、连续复利、计息次数 72法则 （四）终值与现值
r m lim[1 ] e r m m
（五）内部收益率（内含报酬率）
72法则
定期复利的将来值（FV）为：
定理二：当债券的收益率不变，即债券的息票率与收益率之间的差 额固定不变时，债券的到期时间与债券价格的波动幅度之间成正比关系。
换言之，到期时间越长，价格波动幅度越大；反之，到期时间越短，价
格波动幅度越小。 这个定理不仅适用于不同债券之间的价格波动的比较，而且可以解
释同一债券的期满时间的长短与其价格波动之间的关系。其中，债券之
带来的损失。
例 4 ：某 5 年期的债券 C ，面值为 1000美元，息票率为 7%。假定发 行价格等于面值，那么它的收益率等于息票率7% 。
70 70 1000 1000 5 5 1 0.07 1 0.07 1 0.07
假设：收益率变动幅度定为 1个百分点，当收益率上升到 8%时， 该债券的价格将下降到 960.07 美元，价格波动幅度为 39.93 美元 (1000-
1 1 1 i
原因：本金是最大数量的现金流，它受市场利率的影响
最大。当期限增加时，本金不断后移，其现值占总现值的比 重变小，重要性程度下降。所以，债券价格受利率影响虽然
加大，但增速递减。反之亦然。
定理四：对于期限既定的债券，由收益率下降导致的债 券价格上升的幅度大于同等幅度的收益率上升导致的债券 价格下降的幅度。换言之，对于同等幅度的收益率变动， 收益率下降给投资者带来的利润大于收益率上升给投资者
证明：PVn
t 1 n 1
n 1
C C F (1 i )t (1 i ) n (1 i ) n
F k F k F t n (1 i ) (1 i ) n t 1 (1 i ) F k F k F k F PVn 1 t n n 1 (1 i ) (1 i ) (1 i) n 1 t 1 (1 i ) 1 k 当i k时，有 1，则 1 i F k F F 1 k F , 从而 n 1 n 1 n n (1 i ) (1 i ) (1 i ) 1 i (1 i )
其中，C是债券每期支付的利息。
三、百度文库一公债
定义：统一公债是一种没有到期日的特殊的定息债券。 最典型的统一公债是英格兰银行在18世纪发行的英国统一公 债 (English Consols)，英格兰银行保证对该公债的投资者永久 期地支付固定的利息。优先股实际上也是一种统一公债。 统一公债的内在价值公式
沿用第一种方法种的例子，可以发现该债券的净现值为 24.06美元，所以该债券的价格被低估了，具体计算如下：
60 60 60 1000 NPV 900 24.06 2 3 3 1 0.09 1 0.09 1 0.09 1 0.09
Malkiel, B.G., 1962, “Expectations, Bond Prices, and the Term Structure of Interest Rates”, Quarterly Journal of Economics, pp.197-218.
一、债券定价原理
定理一：债券的价格与债券的收益率成反比例关系。换句话说，当 债券价格上升时，债券的收益率下降；反之，当债券价格下降时，债券
该债券第一与第二年的市场价格差额为19.5(902.81-883.31)美元， 占面值的比例为（1.95%）。第二与第三年的市场价格差额为21.25 （924.06-902.81）美元，占面值的比例为2.125%。所以，第一与第二年 的市场价格的波动幅度（1.95%）小于第二与第三年的市场价格的波动幅 度（2.125%）。
n 1
PVn 1 PVn。同理，当i k时，PVn 1 PVn。 因此，同样的市场利率变化给长期债券造成的波动更剧烈
定理三：随着债券到期时间的临近，债券价格的波动 幅度减少，并且是以递增的速度减少；反之，到期时间越 长，债券价格波动幅度增加，并且是以递减的速度增加。 这个定理同样适用于不同债券之间的价格波动的比较，
C C C M P 2 n n 1 y 1 y 1 y 1 y
如果r>y，则该债券的价格被高估； 如果r<y，则该债券的价格被低估；
当r= y时，债券的价格等于债券价值，市场也处于均衡状态
例题
例如，某种债券的价格为900美元，每年支付利息60美
1000
1100
80 80 1000 1 0.08 1 0.085 1 0.085
80 80 1000 1 0.0576 1 0.05765 1 0.05765
80 80 1000 900 5 1 0.1098 1 0.1098 1 0.10985
间的比较，在后面的“到期时间”部分讨论过。
例2：某5年期的债券B，面值为1000美元，每年支付利息60美元， 即息票率为6%。如果它的发行价格低于面值为833.31美元,意味着收益
率为9%,高于息票率；如果一年后，该债券的收益率维持在9%的水平
不变,它的市场价格将为902.81美元。这种变动说明了在维持收益率不变 的条件下，随着债券期限的临近，债券价格的波动幅度从116.69(1000-
因为NPV>0，债券被低估，对于投资者是一个买入信号。
如果市场利率r不是9%，而是11%，那结果如何？ 当市场利率是11%时，该债券的净现值将小于零（-22.19 美元），表明它被高估了，对于投资者构成了一个卖出信号。 只有当市场利率近似的等于债券承诺的到期收益率时，债券
的价格处于一个比较合理的水平。
PVn ,n 1 PVn
F k F F (1 i) n1 (1 i) n1 (1 i) n
PVn ,n 2 PVn,n 1
则有
PVn,n2 PVn,n1 PVn,n1 PVn
F k F F n2 n2 (1 i) (1 i) (1 i)n 1
883.31)美元减少到97.19(1000-902.81)美元，二者差额为19.5，波动
幅度为1.95%。具体计算公式如下：
60 60 1000 883.31 5 1 0.09 1 0.09 1 0.095
60 60 1000 902.81 4 1 0.09 1 0.09 1 0.094
证明：分别观察n年期、n+1年期和n＋2年期债券投资者 最后1年、2年和3年现金流的现值
F k F PVn n (1 i) (1 i)n
F k F k F PVn,n1 n n 1 (1 i) (1 i) (1 i)n1
PVn,n 2 F k F k F k F n n 1 n2 (1 i) (1 i) (1 i) (1 i)n 2
的收益率上升。
例1：某5年期的债券A，面值为1000美元，每年支付利息80美元， 即息票率为8%。如果现在的市场价格等于面值，意味着它的收益率等于
息票率8%。如果市场价格上升到1100美元，它的收益率下降为5.76%，
低于息票率；反之，当市场价格下降到900美元时，它的收益率上升到 10.98%，高于息票率。
FV=PV×(1+r)t
当该笔投资倍增，则FV = 2PV。代入上式后，可简化为： 2=(1+r)t
解方程得，t=ln2÷ln(1+r)
若r数值较小，则ln(1+r)约等于r；ln2≈0.693147，于是： t ≈ 0.693147 ÷ r 近似的，t=72/r
72法则
如果2012年王先生30岁，年初他投入10万元为自己建立 一个退休养老账户，假如投资回报率为9%，则有：
C C C C V 2 3 1 r 1 r 1 r r
四、判断债券价格高估与低估
方法一：比较债券的内在价值与债券价格的差异
NPV ：债券的内在价值 (V) 与债券价格 (P) 两者的差额，
即
NPV V P
当净现值大于零时，该债券被低估，买入信号。 当净现值小于零时，该债券被高估，卖出信号。 债券的预期收益率近似等于债券承诺的到期收益率时，