2020立体几何大题必刷热点题型及其详细解析
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12．（2020•道里区校级一模）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，AD＝CD＝1，∠ADC＝120°， PA＝AB＝BCh ，点 M 是 AC 与 BD 的交点． （1）求二面角 A﹣PC﹣B 的余弦值； （2）若点 N 在线段 PB 上且 MN∥平面 PDC，求直线 MN 与平面 PAC 所成角的正弦值．
2．（2020•金山区二模）已知四棱锥 P﹣ABCD，PA⊥底面 ABCD，PA＝1，底面 ABCD 是正方形，E 是 PD 的中点，PD 与底面 ABCD 所成角的大小为 ． （1）求四棱锥 P﹣ABCD 的体积； （2）求异面直线 AE 与 PC 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．
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2020 立体几何大题必刷热点题型
1．（2020•浦东新区二模）如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为 2 的正方形 ABCD（及其内部） 以 AB 边所在直线为旋转轴顺时针旋转 120°得到的． （1）求此几何体的体积； （2）设 PPP 是弧 u上的一点，且 BP⊥BE，求异面直线 FP 与 CA 所成角的大小．（结果用反三角函数 值表示）．
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7．（2020•福建二模）如图，三棱台 ABC﹣A1B1C1 中，AA1＝AB＝CC1，∠AA1C＝∠ABC＝90°． （1）证明：AC⊥A1B； （2）若 AB＝2，A1Bh ，∠ACB＝30°，求二面角 A﹣CC1﹣B 的余弦值．
8．（2020•茂名二模）如图，已知△ABC 内接于圆 O，AB 是圆 O 的直径，四边形 DBCE 为平行四边形，F 是 CD 的中点， （1）证明：OF∥平面 ADE； （2）若四边形 DBCE 为矩形，且四边形 DBCE 所在的平面与圆 O 所在的平面互相垂直，AB＝2AC＝2， AE 与圆 O 所在的平面的线面角为 60°．求二面角 D﹣AE﹣B 的平面角的余弦值．
t t ？若存在，求出 的值；若不存在，
4．（2020•丹东模拟）如图，四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA⊥平面 ABCD，点 E 在 PD 上． （1）若 E 为 PD 的中点，证明：PB∥平面 AEC； （2）若 PA＝1，PD═2，ABh ，三棱锥 E﹣ACD 的体积为 ，求二面角 D﹣AE﹣C 的正弦值．
10．（2020•宣城二模）如图所示多面体中，AD⊥平面 PDC，四边形 ABCD 为平行四边形，点 E，F 分别为 AD，BP 的中点，AD＝3，AP＝3 ，PCh t． （1）求证：EF∥平面 PDC； （2）若∠CDP＝120°，求二面角 E﹣CP﹣D 的平面角的余弦值．
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14．（2020•河北区一模）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，底面 ABCD 为平行四边形，AB
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9．（2020•湖北模拟）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，PA⊥平 面 ABCD，过 AD 的平面与 PC，PB 分别交于点 M，N，连接 MN． （1）证明：BC∥MN； （2）若 PA＝AD＝AB＝2BC＝2，平面 ADMN⊥平面 PBC，求二面角 P﹣BM﹣D 的正弦值．
6．（2020•镇海区校级模拟）如图，已知多面体 EF﹣ABCD，其底面 ABCD 为矩形，四边形 BDEF 为平行四 边形，平面 FBC⊥平面 ABCD，FB＝FC＝BC＝2，AB＝3，G 是 CF 的中点． （Ⅰ）证明：BG∥平面 AEF； （Ⅱ）求直线 AE 与平面 BDEF 所成角的余弦值．
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11．（2020•滨海新区模拟）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD ＝AP＝4，AB＝BC＝2，M，N 分别为线段 PC，AD 上的点（不在端点）． （Ⅰ）当 M 为 PC 中点时，ANh AD，求证：MN∥面 PBA； （Ⅱ）当 M 为中点且 N 为 AD 中点时，求证：平面 MBN⊥平面 ABCD； （Ⅲ）当 N 为 AD 中点时，是否存在 M，使得直线 MN 与平面 PBC 所成角的正弦值为 ，若存在，求 出 MC 的长，若不存在，说明理由．
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5．（2020•如皋市校级模拟）如图 1，已知正方形铁片 A'B'C'D'边长为 2a 米，四边中点分别为 E，F，G，H， 沿着虚线剪去大正方形的四个角，剩余为四个全等的等腰三角形和一个正方形 ABCD（两个正方形中心 重合且四边相互平行），沿正方形 ABCD 的四边折起，使 E，F，G，H 四点重合，记为 P 点，如图 2， 恰好能做成一个正四棱锥（粘贴损耗不计），PO⊥底面 ABCD，O 为正四棱锥底面中心，设正方形 ABCD 的边长为 2x 米． （1）若正四棱锥的棱长都相等，求所围成的正四棱锥的全面积 S； （2）请写出正四棱锥的体积 V 关于 x 的函数，并求 V 的最大值．
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3．（2020•四川模拟）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 是菱形，∠BAD＝60°，△PAD 是边长为 2 的正三角形， u h t，E 为线段 AD 的中点． （1）求证：平面 PBC⊥平面 PBE；
（2）是否存在满足 t h tu ＞tㄱ的点 F，使得 t h 请说明理由．
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13．（2020•河东区一模）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，正方形 ABCD 边长为 2，E 是 PA 的中点． （1）求证：PC∥平面 BDE； t （2）求证：直线 BE 与平面 PCD 所成角的正弦值为 t ，求 PA 的长度； （3）若 PA＝2，线段 PC 上是否存在一点 F，使 AF⊥平面 BDE，若存在，求 PF 的长度，若不存在，请 说明理由．
2．（2020•金山区二模）已知四棱锥 P﹣ABCD，PA⊥底面 ABCD，PA＝1，底面 ABCD 是正方形，E 是 PD 的中点，PD 与底面 ABCD 所成角的大小为 ． （1）求四棱锥 P﹣ABCD 的体积； （2）求异面直线 AE 与 PC 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．
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1．（2020•浦东新区二模）如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为 2 的正方形 ABCD（及其内部） 以 AB 边所在直线为旋转轴顺时针旋转 120°得到的． （1）求此几何体的体积； （2）设 PPP 是弧 u上的一点，且 BP⊥BE，求异面直线 FP 与 CA 所成角的大小．（结果用反三角函数 值表示）．
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7．（2020•福建二模）如图，三棱台 ABC﹣A1B1C1 中，AA1＝AB＝CC1，∠AA1C＝∠ABC＝90°． （1）证明：AC⊥A1B； （2）若 AB＝2，A1Bh ，∠ACB＝30°，求二面角 A﹣CC1﹣B 的余弦值．
8．（2020•茂名二模）如图，已知△ABC 内接于圆 O，AB 是圆 O 的直径，四边形 DBCE 为平行四边形，F 是 CD 的中点， （1）证明：OF∥平面 ADE； （2）若四边形 DBCE 为矩形，且四边形 DBCE 所在的平面与圆 O 所在的平面互相垂直，AB＝2AC＝2， AE 与圆 O 所在的平面的线面角为 60°．求二面角 D﹣AE﹣B 的平面角的余弦值．
t t ？若存在，求出 的值；若不存在，
4．（2020•丹东模拟）如图，四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA⊥平面 ABCD，点 E 在 PD 上． （1）若 E 为 PD 的中点，证明：PB∥平面 AEC； （2）若 PA＝1，PD═2，ABh ，三棱锥 E﹣ACD 的体积为 ，求二面角 D﹣AE﹣C 的正弦值．
10．（2020•宣城二模）如图所示多面体中，AD⊥平面 PDC，四边形 ABCD 为平行四边形，点 E，F 分别为 AD，BP 的中点，AD＝3，AP＝3 ，PCh t． （1）求证：EF∥平面 PDC； （2）若∠CDP＝120°，求二面角 E﹣CP﹣D 的平面角的余弦值．
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14．（2020•河北区一模）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，底面 ABCD 为平行四边形，AB
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9．（2020•湖北模拟）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，PA⊥平 面 ABCD，过 AD 的平面与 PC，PB 分别交于点 M，N，连接 MN． （1）证明：BC∥MN； （2）若 PA＝AD＝AB＝2BC＝2，平面 ADMN⊥平面 PBC，求二面角 P﹣BM﹣D 的正弦值．
6．（2020•镇海区校级模拟）如图，已知多面体 EF﹣ABCD，其底面 ABCD 为矩形，四边形 BDEF 为平行四 边形，平面 FBC⊥平面 ABCD，FB＝FC＝BC＝2，AB＝3，G 是 CF 的中点． （Ⅰ）证明：BG∥平面 AEF； （Ⅱ）求直线 AE 与平面 BDEF 所成角的余弦值．
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11．（2020•滨海新区模拟）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD ＝AP＝4，AB＝BC＝2，M，N 分别为线段 PC，AD 上的点（不在端点）． （Ⅰ）当 M 为 PC 中点时，ANh AD，求证：MN∥面 PBA； （Ⅱ）当 M 为中点且 N 为 AD 中点时，求证：平面 MBN⊥平面 ABCD； （Ⅲ）当 N 为 AD 中点时，是否存在 M，使得直线 MN 与平面 PBC 所成角的正弦值为 ，若存在，求 出 MC 的长，若不存在，说明理由．
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5．（2020•如皋市校级模拟）如图 1，已知正方形铁片 A'B'C'D'边长为 2a 米，四边中点分别为 E，F，G，H， 沿着虚线剪去大正方形的四个角，剩余为四个全等的等腰三角形和一个正方形 ABCD（两个正方形中心 重合且四边相互平行），沿正方形 ABCD 的四边折起，使 E，F，G，H 四点重合，记为 P 点，如图 2， 恰好能做成一个正四棱锥（粘贴损耗不计），PO⊥底面 ABCD，O 为正四棱锥底面中心，设正方形 ABCD 的边长为 2x 米． （1）若正四棱锥的棱长都相等，求所围成的正四棱锥的全面积 S； （2）请写出正四棱锥的体积 V 关于 x 的函数，并求 V 的最大值．
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3．（2020•四川模拟）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 是菱形，∠BAD＝60°，△PAD 是边长为 2 的正三角形， u h t，E 为线段 AD 的中点． （1）求证：平面 PBC⊥平面 PBE；
（2）是否存在满足 t h tu ＞tㄱ的点 F，使得 t h 请说明理由．
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