吉林大学出版社高职高专《高等数学》第04章

其中 x 1， 2 x 3 1 x 证明 令f(x ) 2 x (3 1 )，略。
x
30
典型例题选讲
例 1 利用函数的单调性证明不等式
1 1 x 2
1 x ，其中 x 0
证明 令 f (x) 1 1 x 1 x ，则
2
f (x) 1 22
1 ．当 x
故 f (x) 在 [0,1] 上单调增加，因而函数 f (x)
的图形和 x 轴至多只有一个交点，即方程只有一
个实根． 综合可得，方程 x3 x2 2x 1 0 在 (0,1) 内
有且只有一个实根． 32
教材P80 习题4-3 1、2、3、4
33
第四节 函数的极值及其求法
一、函数极值的定义 二、函数极值的判定及求法
2) 唯一性 .
假设另有
f (x)在以
x0 , x1 为端点的区间满足罗尔定理条件 , 在 x0 , x1 之间
至少存在一点
但
矛盾, 故假设不真!
5
二、拉格朗日中值定理
定理 设函数f(x)满足 (1) 在闭区间[a,b]上连续； (2) 在开区间(a,b)内可导；
则至少存在一点 分析 与罗尔定理相比，拉格朗日中值定理中缺
函数的极大值与极小值统称函数的极值，函 数的极大值点和极小值点统称为函数的极值点．
35
注意：（1）极值是指函数值，而极值点是指 自变量的值，两者不能混淆．
（2）函数的极值是局部性的，只是与极值 点近旁的所有点的函数值相比较为较大或较小， 这并不意味着它在函数的整个定义区间上是最 大或最小．故函数的极大值不一定比极小值大．
【例6】 lim 2 x
1
1
x
教材P74
19
二、型未定式
定理2 设函数 f (x) 和 F(x) 都在点 x0 的某个去心邻
域内可导且 F(x) 0 ，lim f (x) ，lim F(x) ．如
x x0
x x0
果
lim
x x0
f (x) F (x)
f ( x) 0 f ( x) 0
27
教材P78
定理（函数单调性判定方法）
设函数y f ( x)在[a,b]上连续，在(a, b)内可导. （1）如果在(a, b)内f ( x) 0，那末函数y f ( x) 在[a, b]上 单 调 增 加 ； (2) 如果在(a,b)内 f ( x) 0，那末函数y f ( x) 在[a, b]上单调减少.
14
第二节 洛必达法则
一、 ( 0 ) 型不定式
0
二、( )型不定式 三、其他类型不定式
15
微分中值定理
函数的性态 导数的性态
本节研究: 函数之商的极限
( 或 型)
转化 洛必达法则 导数之商的极限
16
不定式
17
一、00 型未定式
定理1 设函数 f (x) 和 F(x) 都在点 x0 的某个去心
7
教材P70
推论 1 若函数 f (x) 在区间 I 上导数恒为零，则
f (x) 在区间 I 上是一个常数．
推论 2 如果函数 f (x) 与 g(x) 在区间 I 上恒有
f ( x) g ( x)，则在区间 I 上 f (x) g(x) C ，
其中 C 为常数．
8
例2. 证明不等式 x ln(1 x) x (x 0). 1 x
g(b) g(a) g( )
在柯西中值定理中，若取g(x)=x，则得到拉格
朗日中值定理.因此柯西中值定理可以看成是拉格朗
日中值定理的推广.
11
柯西(1789 – 1857)
法国数学家, 他对数学的贡献主要集中 在微积分学, 复变函数和微分方程方面 . 一生发表论文800余篇, 著书 7 本 ,《柯 西全集》共有 27 卷. 其中最重要的的是为巴黎综合学 校编写的《分析教程》,《无穷小分析概论》, 《微积 分在几何上的应用》 等, 有思想有创建, 对数学的影 响广泛而深远 . 他是经典分析的奠人之一, 他为微积分 所奠定的基础推动了分析的发展.
在曲线弧 AB 上至少存在一点 C ，在该点处曲线的切线
平行于 x 轴.
4
例. 证明方程
有且仅有一个小于1 的
正实根 .
证: 1) 存在性 .
设 f (x) x5 5x 1, 则 f (x) 在 [0 , 1 ] 连续 , 且
由零点定理知存在 x0 (0,1), 使
f (x0 ) 0, 即方程有小于 1 的正根
邻 域 内 可 导 且 F(x) 0 ， lim f (x) 0 ， xx0
f (x)
lim
xx0
F ( x)

0
．如果
lim
x x0
F (x)

A
（或

），那么
lim
x x0
f(x F(x
) )
lim
x x0
f ( x F( x
) )
A
（或

）．
18
【例1】lim cos x 1 1
x 0 sin x
0
【例10】
lim
x
e e
x x
e x e x
1( ，但不能使用洛必达法则)
21
三、其他类型未定式
0 , ,00 ,1 , 0型
解法：将其它类型未定式化为洛必达法则可解 决的类型 ( 0 ), ( )
0
1） 0 型
例1 求 lim x ln x. ( 0 )
少条件是f(a)=f(b).如果能由f(x)构造一个新函数
使 在[a,b]上满足罗尔定理条件，且由
能导出
则问题可解决.
6
几何意义：
如果在[a,b]上的连续曲线，除端点外处处有不垂直于x轴的
切线，那么在曲线弧上至少有一点( , f ( )),使曲线在该点处的
切线平行于过曲线弧两端点的弦线.
弦线的方程为
证明 设 f (x) x3 x 2 2x 1，显然 f (x) 在[0,1] 上连续，且 f (0) 1, f (1) 3 ，则有 f (0) f (1) 0 ， 故由连续函数根的存在定理知，在 (0,1) 内至少有
一个 ，使得 f ( ) 0 ．
又 f (x) 3x 2 2x 2 0 ， x (0,1) ，
2
cos x lim cot x 0
x sin x 2
x
2
23
3）00 ,1 , 0 型
例3 求 lim x x . x0
e 解 原式 lim e xln x x0
lim x ln x
x0
( 00 )
ln x lim x0 1
e x
1
e lim x0

A
（或
），那么
lim
x x0
f(x F(x
) )
lim
x x0
f ( x F( x
) )
A
（或

）．
20
【例7】 lim ln cot x 1 x 0 ln x
教材P76
【例8】 【例9】
lim ln x x x n
0
x 2 sin 1
lim
x
0(0 ，但不能使用洛必达法则)
罗尔定理 设函数 f(x) 满足 (1) 在闭区间[a,b]上连续, (2) 在开区间(a,b)内可导, (3) f(a)=f(b),
注意：罗尔定理的条件有三个，如果缺少其中任 何一个条件，定理将不成立.
3
罗尔定理几何意义：·
如果 AB 是一条连续的曲线弧，除端点外处处有不
垂直于 x 轴的切线，且两个端点的纵坐标相等，那么
36
教材P82
二、函数极值的判定及求法
定理 1 如果函数 f (x) 在点 x0 处可导，且在点 x0 处取得极值，那么 f (x0 ) 0 ．
使得 f (x) 0 的点叫做函数 f (x) 的驻点． 注意（1）可导函数 f (x) 的极值点一定是它 的驻点，但反之不成立． （2）函数在它的导数不存在的点处也可能取 得极值．
【例1】 讨论函数f(x ) x sin x 在区间(0,2 )上的单调性。
【例2】 讨论函数f(x ) e x x 1的单调性。
28
教材P79
判别单调性的方法： 1、求出函数的导数 2、求出一阶导数等于零的点(驻点)，导数不存在的点(尖点)， 区间的端点等特殊点 3、根据上面的点把函数的定义区间分为若干部分，画出表格 4、由表格给出结论
第四章 微分中值定理与导数的应用
第一节 微分中值定理 第二节 洛必达法则 第三节 函数单调性的判别法 第四节 函数的极值及其求法 第五节 函数的最大值和最小值 第六节 曲线的凹凸性与拐点 第七节 函数图形的描绘
1
第一节 微分中值定理
一、罗尔中值定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理
2
一、罗尔中值定理
1 x
0时， f (x) 0 ，即
f (x) 是单调增加的函数，故 f (x) f (0) ．由于
f (0) 0 ，从而推出当 x 0 时， f (x) 0 ，即
1 1 x 1 x ．
2
31
典型例题选讲
例 2 证明方程 x3 x2 2x 1 0 在 (0,1) 内有 且只有一个实根．

x 1
x2
e0 1.
24
洛必达法则
型
00 ,1 , 0 型
0型 0 型
0 型
25
教材P77 习题4-2 1、2、3、4
26
第三节 函数单调性的判定方法
问题的提出
y
y f (x) B
A
oa
bx
A
y
y f (x)
B
oa
bx
f ( x) 0
若 y f ( x)在区间（a,b)上单调增加 若 y f ( x)在区间（a,b)上单调减少
【例3】 讨论函数f(x ) 3 x 2的单调性。
【例4】 讨论函数f(x ) 2x 3 9x 2 12x 3的单调性。 【例5】 讨论函数f(x ) x 3的单调性。
29
函数单调性的应用
教材P80
函数的单调性，通常可以用来证明不等式和判定方程的根的存在性及其个数． 例 6 利用函数的单调性证明不等式
x 0
x2
2
【例2】 lim e x 1 1
x x 0
【例3】 lim ln(1 x ) 1
x 0
x
【例4】 lim x 3 x 10 13
x 2 x 2 4
4
【例5】 lim e x e x 2x 2
x 0 x sin x
arctan x
x0
1
解原式
lim
x0
ln x
1 x

lim
x0

x 1
x2
lim( x) 0 x0
22
2） 型
例2 求 lim(secx tan x) ( )

x
2
解
(
lim(secx
x
0 0
),

2
lim

tan x) lim 1 sin x x cos x
37
定理 2
设函数
f
(
x)
在
x
0
的某去心邻域

U
(
x0
,

)
内
可导,f ( x 0 ) 0. （ 1 ） 若 当 x (x0 , x0 ) 时 ， f (x) 0 ， 而 当
x (x0 , x0 ) 时， f (x) 0 ，则函数 f (x) 在 x0 处取得 极大值；
自证: arctan x arccot x , x (, )
2
10
三、柯西中值定理（可略）
定理 设函数f(x)与g(x)满足：
(1)在闭区间[a,b]上都连续，
(2)在开区间(a,b)内都可导，
(3)在开区间(a,b)内，g(x) 0,
则至少存在一点 (a,b)，使 f (b) f (a) f ( ) .
（ 2 ） 若 当 x (x0 , x0 ) 时 ， f (x) 0 ， 而 当
x (x0 , x0 ) 时， f (x) 0 ，则函数 f (x) 在 x0 处取
证: 设 f (t) ln(1 t) ,
中值定理条件, 因此应有
即 因为
故
9
例3. 证明等式 证: 设
由推论可知
(常数)
令x=0,得
又
故所证等式在定义域
上成立.
经验: 欲证 x I 时 f (x) C0, 只需证在 I 上 f (x) 0,
且 x0 I , 使 f (x0 ) C0.
34
一、函数极值的定义
教材P81
定义 设函数 f (x) 在点 x0 的某邻域内有定 义，如果对于其去心邻域内的任意一点，有 f (x) f (x0 )（或 f (x) f (x0 )) ，那么就称 f (x0 ) 是函 数 f (x) 的一个极大值（或极小值），并把点 x0 称 为函数 f (x) 的一个极大值点（或极小值点）．