凸函数的若干新性质及应用

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应 用 数 学 2004
) y) f (λ x + (1 - λ
1
λ 1 - λ ≤ ( ) + ( ) . f x f y
( 2)
事实上 ,因 f ( x ) > 0 为凹函数 ,故有 ) y ) ≥λ ) f ( y) , f (λ x + (1 - λ f ( x) + ( 1 - λ 所以
) y ) = 2 f (λ ) y) 2 g (λ x + (1 - λ x + (1 - λ
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即可 . 注意到 f ( x ) 2
1/ f ( x ) 为凸函数 .
另一方面 ,当 f ( x ) > 0 为凸函数时 , 1/ f ( x ) 不一定为凹函数 ,例如 f ( x ) ∶R1 → R1 , f ( x )
= e
- x
> 0 为凸函数 ,但 1/ f ( x ) = e 仍为凸函数 .
x
定理 2 设 f ( x ) 为 Rn 上的凸函数 ,则 g ( x ) = f ( x ) ( f ( x ) +| f ( x ) | ) 亦为凸函数 . 证 若 Π x ∈ Rn , f ( x ) > 0 或 f ( x ) < 0 , 则 g ( x ) 显然为凸函数 . 下面用凸函数的定义证 明本定理 . 只要证明 : Π x , y ∈ Rn ,λ ∈ ( 0 , 1) , 有 ) y ) ≤λ ) g ( y) . g (λ x + (1 - λ g ( x) + (1 - λ 分三种情况讨论 . ( i ) 当 f ( x ) ≤0 , f ( y ) ≤0 时 ,因 f ( x ) 为凸函数 ,故 ) y ) ≤λ ) f ( y ) ≤0 . f (λ x + (1 - λ f ( x) + ( 1 - λ ) y ) = 0 , 故 ( 5) 式成立 . 此时 ,因 g ( x ) = 0 , g ( y ) = 0 , g (λ x + (1 - λ
定理 3 若 f ( x ) 为 Rn 上的连续可微凸函数 ,则 g ( x ) = f ( x ) ( f ( x ) +| f ( x ) | ) 亦为连续 可微凸函数 . 证 g ( x ) 为凸函数已在定理 2 中得到 ,我们只证明 g ( x ) 连续可微 . 事实上 ,我们可以证 明
g ( x ) = ( f ( x ) +| f ( x ) | ) f ( x) . ( 8)
分三种情况讨论 . (i) 当 f ( x) < 0 时 , g ( x) = 0 , 故 g ( x) = 0 . ( ii ) 当 f ( x ) > 0 时 , g ( x ) = 2 f ( x ) f ( x ) = ( f ( x ) +| f ( x ) | ) ( iii ) 当 f ( x ) = 0 时 , g ( x ) = 0 , 又因
lim
y →x
f ( x ) , 故 ( 8) 式成立 .
g ( y) = 0 ,
从而 g ( x ) 在 Rn 上连续可微 . 考虑下列线性不等式组
Ax - b ≤0 , ( 9)
或记为 a i x - bi ≤0 , i = 1 , …, m . 构造函数
m
T
M ( x) =
i =1
∑( a Tx i
4
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T c - A μ ≥0 , T T c x - μ b = 0,
( 12)
Ax = b , x ≥0 .
其中 x ∈ R ,μ ∈ R 为变量 . 构造函数 2 ) = ‖Ax - b ‖ M ( x ,μ + x T ( x - | x | ) + ( c T x - μT b) 2
m
T bi ) ( a T i x - bi +| a i x - bi | ) .
由定理 2 可知 , M ( x ) 为连续可微凸函数且
M ( x) =
i =1
∑( a Tx i
bi +| a T i x - bi | ) a i .
定理 4 设 x 3 为 M ( x ) 的极小点 ,若 M ( x 3 ) = 0 , 则 x 3 为不等式组 ( 9) 之解 ; 若 M ( x 3 ) > 0 , 则 ( 9) 无解 . 证 略. 由上述定理可知 ,我们可用无约束极小化方法求 ( 9) 之解 . 进一步可推广到非线性凸不等 式组
( ii ) 当 f ( x ) > 0 , f ( y ) > 0 时 ,若 f (λ ) y ) ≤0 , 则 ( 5) 式显然成立 . 若 f (λ x + (1 - λ x + (1
) y ) > 0 , 则有 - λ ) y ) = 2 f (λ ) y) 2 g (λ x + (1 - λ x + (1 - λ ) f ( y) ) 2 ≤ 2 (λ f ( x) + (1 - λ ) f ( y) 2) ≤ 2 (λ f ( x) 2 + (1 - λ ) g ( y) , =λ g ( x) + ( 1 - λ ( 5)
f i ( x ) ≤0 , i = 1 , …, m , ( 10)
其中 f i ( x ) 为凸函数 , i = 1 , …, m . 构造函数
m
M ( x) =
i =1
∑f ( x ) ( f
i
i
( x ) +| f i ( x ) |百度文库) .
由定理 2 知 M ( x ) 为凸函数 ,且具有下列结论 . 定理 5 若 x 3 为 M ( x ) 的极小点 ,当 M ( x 3 ) = 0 时 , x 3 即为 ( 10) 的解 ,当 M ( x 3 ) > 0 时 , ( 10) 无解 . 对于标准线性规划问题
应 用 数 学
MATHEMATICA APPLICATA y2004 ,17 ( 增) :01～04
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凸函数的若干新性质及应用
时贞军1 ,2 ,岳丽2
( 1. 中国科学院计算数学与科学工程计算研究所 ,北京 100080 ;2. 曲阜师范大学运筹与管理学 院 ,山东 日照 276826)
摘要 : 本文证明了凸函数的若干新性质 ,讨论了这些性质在求解线性与非线性不等式 组和线性规划中的应用 ,为线性与非线性不等式组 、 线性规划的求解提供了一种新方 法. 关键词 : 凸函数 ; 线性不等式组 ; 非线性不等式组 ; 线性规划 中图分类号 :O221. 2 AMS( 2000) 主题分类 :90C30 文献标识码 :A 文章编号 :100129847 ( 2004) 增20001204 凸函数是一个传统研究课题 ,具有广泛的实际背景和应用价值 ,对凸函数性质的探讨是一 个重要的研究方向 ,曾出现过很多重要文献 ,如 [ 1 ] ,[ 2 ] . 本文研究凸函数的若干新性质及其应 用. 函数 f ∶Rn → R1 称为凸函数是指 : Π x , y ∈ Rn ,λ ∈ ( 0 , 1) , 有 ) y ) ≤λ ) f ( y) . f (λ x + (1 - λ f ( x) + ( 1 - λ 若 ( 1) 式的不等号相反则称为凹函数 . 下面列出与本文相关的凸函数的一些性质 [1 ] :
( 1)
性质 1 若 f ( x ) 为凸函数 ,则 - f ( x ) 为凹函数 ,反之亦然 . 性质 2 若 f ( x ) , g ( x ) 为凸函数 , α ≥0 ,β ≥0 , 则 α f ( x) + β g ( x ) , max ( f ( x ) , g ( x ) ) 亦 为凸函数 . 性质 3 若 f ( x ) 为凸函数 , φ ∶R1 → R1 为单调增加的凸函数 ,则 φ( f ( x ) ) 亦为凸函数 . 性质 4 若 x 3 为凸函数 f ( x ) 的局部极小点 ,则它亦是其全局极小点 . 性质 5 凸函数在其有效域内部是连续的 . ) = f (λ ) y ) 为 ( 0 ,1) 上的凸函数 . 性质 6 若 f ( x ) 为凸函数 , x , y ∈Rn , 则 φ(λ x + (1 - λ 定理 1 若 f ( x ) 为凹函数且 f ( x ) > 0 , Π x ∈Rn , 则 1/ f ( x ) 为凸函数 ; 反之不成立 ,即若 f ( x ) > 0 为凸函数 , 1/ f ( x ) 不一定为凹函数 . 证 根据假设 ,要证明 1/ f ( x ) 为凸函数 ,只要证明 Π x , y ∈ Rn ,λ ∈ ( 0 , 1) , 有
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收稿日期 :2002205226 基金项目 : 国家自然科学基金资助项目 ( 10171054) ,中国博士后基金和中科院王宽诚博士后基金资助 项目 (6765700) 作者简介 : 时贞军 ,男 ,汉 ,山东人 ,博士后 ,教授 ,研究方向 : 非线性规划和数值最优化方法 . © 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
T ) T ( c - A Tμ - | c - A Tμ | ) , + (c - A μ
n
m
其中 | x | 为分量分别取绝对值后得到的向量 ,则 M ( x ,μ) 为关于 x ,μ的连续可微凸函数 ,从 而有 定理 6 若 ( x 3 ,μ3 ) 为 M ( x ,μ) 的极小点 , M ( x 3 ,μ3 ) = 0 ,则 x 3 为线性规划 ( 11) 的 最优解 , μ3 为 ( 11) 的最优 Lagrange 乘子 ; 若 M ( x 3 ,μ3 ) > 0 , 则 ( 11) 无解 .
) y) f (λ x + (1 - λ
( 3)
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1 ≤λ ( ) . ) f ( y) f x + (1 - λ
从而 ,要证明 ( 2) 只要证明 λ 1 1 - λ ( 4) ≤ ( ) + ( ) λ ) f ( y) f ( x) + (1 - λ f x f y 2 + f ( y ) ≥ 2 f ( x ) f ( y ) , 可得 ( 4 ) 式显然成立 , 从而 ( 2 ) 式成立 . 这说明
( 7)
增刊 时贞军等 : 凸函数的若干新性质及应用
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) 2 f ( y) 2 ≤ 2 (1 - λ ) f ( y) 2 ≤ 2 (1 - λ ) g ( y) , =λ g ( x) + ( 1 - λ 此时 ( 5) 式显然成立 . 这样无论哪种情况 ( 5) 式都成立 ,从而 g ( x ) 为凸函数 .
从而 ( 5) 式成立 . ( iii ) 当 f ( x ) ≤0 , f ( y ) > 0 时 ,令 φ(λ ) = f (λ ) y ) , 从而有 φ( 0) > 0 ,φ( 1) ≤ x + (1 - λ 3 0 . 由凸函数的性质 5 、 性质 6 及介值定理得 ,存在 λ ∈ [ 0 , 1 ] 使 φ(λ ) ≤0 , Πλ ∈ [λ3 , 1 ] ; ( 6) 而 φ(λ ) > 0 , Πλ ∈ [ 0 ,λ3 ) . 当 λ ∈ [λ3 , 1 ] 时 , ( 5) 式显然成立 ,当 λ ∈ [ 0 ,λ3 ) 时 ) = f (λ ) y) 0 < φ(λ x + (1 - λ λ ) f ( y) ≤ (1 - λ ) f ( y) ≤ f ( x) + (1 - λ 所以
min{ c T x | Ax = b , x ≥0} ,
( 11)
其中 A ∈ R
m ×n
, b ∈ R , c ∈ R . 将上述线性规划问题等价变形为下列线性等式与不等式组
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