三点法圆度误差分离的近似方法及精度分析

)+
sin (2Π N
)
] i=
5, 9, 13, …
每周测量点数的增加对圆度误差分离精确度的 提高因奇次或偶次谐波而有很大差异; 同时圆
图 2
从式 (18) 可以看出, 这种近似对圆度误差 分离精确度的影响是相当复杂的, 除影响各阶 谐波分量的幅值外, 其相位也同时受到影响。从 式 (18) 还可以看出, 其影响程度和传感器的安 装间隔、每周测量点数、谐波次数及其奇偶等有 关。图 2、图 3 分别给出偶次谐波分量和奇次谐 波分量由于近似方法引入的相对误差随每周测 量点数变化情况的仿真结果。 从图 2 及图 3 中 不难看出, 近似法圆度误差分离技术对圆度误 差中的奇次和偶次谐波分量的影响明显不同;
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y n ( i) = Cy = c0 r ( i- p 0 ) + c1 r ( i- p 1 ) + c2 r
( i- p 2) + [ c0co s (2Πp 0 N ) + c1co s
(2Πp 1 N ) + c2co s (2Πp 2 N ) ]∆x ( i)
+ [ cosin ( 2Πp 0 N ) + c1 sin ( 2Πp 1
(9)
式中 G ( i) = C 8
(10)
称为三点法圆度误差分离的权函数;
8=
(e , e , e ) j2Πip 0 N
j2Πip 1 N
j2Πip 2 N T
(11)
称为三点法误差分离的相移旋转因子。
对式 (9) 作逆付氏变换, 可得被测零件的圆 度 形状误差 r (i)。 将 r (i) 回代到矩阵方程式 (1) 可解出回转轴的回转误差运动。
问题。尤其是在使用误差分离技术进行测量时, 被测工件既是被测对象又同时是测量基 准[2～ 4], 这对实现回转误差和零件的形状误差 的在线测量提供了便利。近年来, 计算机技术的 发展为误差分离技术的研究提供了强有力的工 具, 使误差分离技术取得了长足的进步。
二、三点法圆度误差分离原理
三点法圆度误差分离技术的原理如图 1 所 示。 图中, o 为传感器 0, 1, 2 测量轴线的交点。 以 o 为原点, 建立坐标系 x oy , 设 r ( i) 为被测零
图 3 近似法引入的奇次谐波误差
度误差谐波阶次的高低不同所受影响的程度也 存在相当大的区别。总体看来, 对于偶次谐波分 量, 由于近似引入的误差随着每周测量点数的 增加而减小, 谐波阶次的变化对其影响不大; 对 于奇次谐波分量, 由于近似引入的误差随着谐 波阶次的增加而减小, 而每周测量点数的变化 对其影响相对较小。从图中可以看出, 当每周测 量点数为 256 时, 奇次谐波分量的最大相对误 差可达 25◊ , 而偶次谐波分量的最大相对误差
e c2 j2Πp 2 N
(17)
式 (16)、(17) 则反映了近似三点法对被测
零件圆度误差的第 i 阶谐波分量的影响程度。
由式 (9) 可以得到经过近似的圆度误差的
频域表示:
Rδ( i) = Yδn ( i) G ( i)
(15)
为进一步研究这种近似造成的原理误差, 设 p 0 = 0、p 1= (N 2)、p 2= (N 2) - 1, 并将式 (7) 中 给定的权值系数代入式 (17) 可得:
co s (2Π N
)+Leabharlann Baidu
sin (2Π N ) sin (2Π N ) + co s (2iΠ N
)+
jsin (2iΠ N
) i=
2, 6, 10, …
∃R ( i) R (i)
=
co s (2Π N ) -
- sin (2Π N ) sin (2Π N ) + co s (2iΠ N ) +
(14)
c1= - sin [ 2Π(p 2- p 0) N ] sin [ 2Π(p 2- p 1) N ] (7)
上式表明, 只要选取的传感器安装间隔适
c2= sin [ 2Π(p 1- p 0) N ] sin [ 2Π(p 2- p 1) N ]
当, 三点法圆度误差分离技术则可由两个传感
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(i) ]T
(3)
为被测零件经延时 p 0、p 1、p 2 后圆度形状误差
和回转运动误差构成的列向量;
1 0 0 co s (2Πp 0 N ) sin (2Πp 0 N )
A = 0 1 0 co s (2Πp 1 N ) sin (2Πp 1 N )
0 0 1 co s (2Πp 2 N ) sin (2Πp 2 N )
(4)
为测量传感器的输出系数矩阵。
代入式 (6) 得:
y n ( i) = c0 r ( i- p 0) + c1 r ( i- p 1) + c2 r ( i-
p 2)
(8)
对式 (8) 进行付氏变换, 同时应用付氏变换
的时延相移性质可解出被测零件的圆度误差的
频域表达式为
R (i) = Y n (i) G (i)
∆x (i) =
[y 0 (i) - r (i- p 0) ]sin (2Πp 1 N ) - [y 1 (i) - r (i- p 1) ]sin (2Πp 0 N ) sin[2Π(p 1- p 0) ]
(12)
∆y ( i ) = [ y 1 ( i ) - r ( i - p 1 ) - ∆x ( i ) co s (2Πp 1 N ) ] sin (2Πp 1 N ) (13)
量”代替“测量”构成数量相等的另一批复合术 语。
后三个定义的优点是明确区分了计量和测 量, 避免了前三个定义所引出的问题。但由于定 义中都包含了“单位统一、量值准确”之类的限 定词, 使得“计量”的外延明显小于《V IM 》中的 “m etro lgy”, 于是就发生了一个问题:“m etro lo2 gy”中不能被“计量”涵盖的那一部分是什么呢? 如何使用国外同行理解, 中文中的“计量”即不 是“m ea su rem en t”, 又不完全是“m etro logy”呢?
∃R ( i) = R ( i) - Rδ( i) = R ( i) c1ej2Πp1 N G ( i)
(16) 或者
的, 同时也存在有不可避免的原理误差[7]。下面 将从频域入手, 讨论这种近似带来的影响。
四、近似三点法精确度分析
∃R (i) R (i)
=
e c0 j2Πp 0 N +
e c1 j2Πp 1 N e c1 j2Πp 1 N +
作回转运动, 于是可得三个传感器输出方程:
y= A e
(1)
式中 y = 〔y 0 ( i) , y 1 ( i) , y 2 ( i) 〕T
(2)
分别为测量传感器 0, 1, 2 输出 y 0 ( i)、y 1 ( i)、y 2
(i) 构成的列向量;
e= [ r ( i- p 0) , r ( i- p 1) , r ( i- p 2) , ∆x ( i) , ∆y
此需要设计出既能基本满足三点法圆度误差分 离技术的要求, 又易于实施的测量方案。
考察式 (5) 及式 (7) 权值系数向量的取值。 从式中可以看出, 除元素 c0 = 1 外, 元素 c1、c2 均为传感器安装间隔 p 0、p 1、p 2 的函数。为方 便讨论起见, 不妨设 p 0= 0、p 1= N 4、p 2→N 2 而不等于 N 2, 那么有权值系数向量的元素 c1 →0 但≠0。
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测试与设备
计量技术 1998. № 2
三点法圆度误差分离的 近似方法及精度分析Ξ
李济顺 洪迈生
(上海交通大学, 上海 200030)
摘 要 三点法圆度误差分离是应用最早、最成熟的误差分离技术之一。 通常情况下, 三点法圆度误差 分离是易于实现的。但在某些特定场合, 由于结构及安装空间的限制, 无法安装三个传感器, 实现起来并 非易事。针对这种情况, 本文从三点法权函数出发, 探讨了三点法圆度误差分离技术的两测点近似方法, 并对近似方法的精度进行了讨论。 关键词 三点法 圆度误差分离 近似方法 精度分析
中间一个即第四个定义, 实际上是认定“计 量”与“计量学”为同义词, 即两者的内涵和外延 均相同。这样即区分了“计量”和“测量”, 使之不 致混淆; 又能与 B IPM 、ISO 等七个国际组织制
定的《国际通用计量学基本术语》中的“m etro l2 ogy”和“m ea su rem en t”相对应, 方便国际交流。 剩下的只是个中文修辞问题, 即何时用“计量” 较好, 何时用“计量学”更恰当的问题, 并不引发 岐 义。 按照中文用词讲究简炼的习惯, 用“计 量”即可时就不用多一个字的“计量学”。在构成 复合术语时尤其如此。 因此, 称有关的法律为 “计量法”, 不称“计量学法”; 称从事有关工作的 机构为“计量机构”, 不称“计量学机构”; 称“计 量监督”而不称“计量学监督”; ……等等。 只在 极少数场合, 例如在强调所指称的是一门学科 的名称时, 才用“计量学”。 而且即使在这种场 合, 用“计量”代替“计量学”亦无不可。
jsin (2iΠ N ) i= 4, 8, 12, …
co s (2Π N ) -
jsin (2Π N ) sin (2iΠ N ) - j[ co s (2iΠ N ) -
sin (2Π N ) ] i= 3, 7, 11, …
(18)
co s (2Π N ) -
- jsin (2Π N ) sin (2iΠ N ) - j[ co s (2iΠ N
10
计量技术 1998. № 2
器近似实现。 式 (14) 即为使用两个传感器近似 实现三点法圆度误差分离的基本方程。 之所以 不取 p 2= N 2, 使得 c1= 0 是由于 c1= 0 会使得 三点法圆度误差分离技术退化为与反转法本质 上相同的对置法[6]。 因此, 这种近似是有条件
由 式 (9) 及 (15) 可得由于近似造成的第 i 阶谐波分量的误差为
三、三点法圆度误差分离的近似方法
通常情况下, 三点法圆度误差分离技术是
容易实现的, 但在某些特殊场合, 例如在曲轴轴
径的圆度误差补偿磨削加工时, 由于结构及安
装空间的限制, 很难安装三个测量传感器[5]。因
图 1 三点法圆度误差分离原理
以权值系数行向量表示:
C = (c0, c1, c2)
(5)
左乘矩阵方程式 (1) 并展开, 有
N ) + c2 sin (2Πp 2 N ) ]∆x ( i)
(6)
如果 c1 < < 1 成立, 就有理由忽略三点法
令测量系统的参数配置满足一定的条件, 使相 圆度误差分离技术中传感器 1 对式 (8) 的影响。
应的权值系数向量取如下形式: c0= 1
于是式 (8) 可改写成如下形式:
Yδn ( i) = c0 r ( i- p 0) + c2 r ( i- p 2)
Ξ 国家自然科学基金资助项目。 © 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
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件 在采样点 i 处的圆度形状误差; ∆x ( i)、∆y ( i) 分别为回转轴在采样点 i 处的回转误差在坐标 系 x oy 坐标轴上的分量; p 0、p 1、p 2 分别为传感 器 0, 1, 2 测量轴线和坐标轴 ox 的间隔; N 为 每周的采样点数。测量时传感器固定, 被测零件
一、引 言
圆度误差是衡量圆柱形零件形状精确度的 重要指标之一。 圆度误差的测量与评定也倍受 各国学者及广大工程技术人员的关注。1966 年 日本学者青木和大园首次提出应用三点法误差 分离技术[1] 测量工件的圆度误差获得成功以 来, 这种技术立刻引起了学术界和应用领域的 极大兴趣。 由于这种方法能将被测工件的形状 误差与回转轴的回转误差相分离, 因而应用误 差分离技术可以同时解决上述两个方面的测试