《垂直关系的判定》公开课教学设计【高中数学必修2(北师大版)
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①确定斜线与平面的交点即斜足；
②经过斜线上除斜足外任一点作平面的垂线，确定垂足，进而确定斜线在平面内的射影；
③解由垂线、斜线及其射影构成的直角三角形，求出线面角．
3.二面角
⑴ 定义：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.表示方法：棱为 、面分别为 的二面角记作二面角 .有时为了方便，也可在 内(棱以外的半平面部分)分别取点 ，将这个二面角记作二面角 .如果棱记作 ，那么这个二面角记作二面角 或 .
本节课的设计遵循从具体到抽象的原则，适当运用多媒体辅助教学手段，借助实物模型，通过直观感知、操作确认、合情推理归纳出线面、面面垂直的判定定理，将合情推理与演绎推理有机结合，让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中，揭示线面、面面垂直的判定，养成积极主动、勇于探索、自主学习的学习方式，发展学生的空间观念和空间想象力，提高学生的数学逻辑思维能力.
③如果两个平行平面中的一个与一条直线垂直，那么另一个也与这条直线垂直．
2．直线与平面所成角
⑴ 定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线.过斜线上斜足外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
问题4：两个平面什么状态叫面面垂直呢？想直角是九十度一样，那两平面的这种角度是在哪体现呢？
问题5：那除了找二面角平面角确定垂直还有其他方法吗？由线面垂直如何得到面面垂直呢？
问题6：演示开门、关门的过程：门与地面始终垂直吗？为什么？将课本打开，直立放在桌面上，每页纸张与桌面是否垂直？为什么？（用判定定理解释）
【教学难点】
直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理的合情推理及其应用.
课前准备：
课件、学案、实物模型.
教学过程：
一、课题引入：
之前我们学习了线面平行、面面平行的判定定理、性质定理.那今天我们一起来研究另一种特殊的位置关系，垂直关系.日常生活中,我们对直线与平面垂直有很多感性认识,比如,旗杆与地面的位置关系,大桥的桥柱与水面的位置关系等,都给我们以直线与平面垂直的印象.在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子.随着时间的变化，尽管影子的位置在移动，但旗杆与影子所在直线永远垂直.
⑴折痕AD与桌面垂直吗?
⑵如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面α垂直?
二、新课探究：
1．直线和平面垂直
⑴ 定义：如果直线 和平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 与平面 互相垂直，记作 .直线 叫平面 的垂线；平面 叫直线 的垂面；垂线和平面的交点叫垂足.
注：①定义中“平面 内的任意一条直线”就是指“平面 内的所有直线”，这
②要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条
相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则
无关紧要.
相关的重要结论：
①过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；过一点与已知平面垂直的直线有且
只有一条．
②如果两条平行线中的一条与一个平面垂直，那么另一条也与这个平面垂直．
《垂直关系的判定》教学设计
教材分析:
本节内容在立体几何学习中，具有重要的意义和地位.在平行的基础上进一步研究立体几何中最重要的关系----垂直关系:线面垂直、面面垂直的判定定理，结合有关的实物模型，通过直观感知、操作确认（合情推理，不要求证明）归纳出垂直关系的判定定理.本节课的学习对培养学生空间感与逻辑推理能力起到重要作用，以及之后的考试中都是最为核心的内容.当然也最为复杂.
二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.
与“无数条直线”不同，注意区别.
②直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式.
③若 ，则 .
⑵ 直线与平面垂直的判定定理
文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．
图形语言：
符号语言： , ， ， ， .
注:①判定定理的条件中：“平面内的两条相交直线”是关键性词语，不可忽视.
教学目标：
【知识与能力目标】
1. 掌握直线与平面垂直的判定定理；
2. 掌握两平面垂直的判定定理；
3．了解直线与平面所成角及平面与平面所成角的概念及其求法；
4．能熟练应用直线与平面、平面与平面垂直的判定定理解决相关问题．
【过程与方法】
1. 学生通过观察实物及模型，归纳得出直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理.
问题7：判定面面垂直的本角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线构成的角叫做二面角的平面角.
②二面角的平面角 的范围：0°≤ ≤180°．当两个半平面重合时， =0°；当两个半平面相交时，0°＜ ＜180°；当两个半平面合成一个平面时， =180°．
注：(1)直线与平面平行，直线在平面上的射影是一条直线.
(2)直线与平面垂直时射影是点.
(3)斜线上任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上.
⑵直线与平面所成的角 的范围：0°≤ ≤90°
直线和平面相交时，0°< ≤90°．
垂直时， =90°
直线和平面平行或直线在平面内， =0°．
．
⑶求斜线与平面所成角的一般步骤：
问题1：如果一条直线垂直于一个平面的无数条直线,那么这条直线是否与这个平面垂直?举例说明.
问题2：直线垂直于平面内任意一条直线，则直线与平面垂直，但如果用这个方式证明好吗？那如何证明呢？
问题3：请同学们准备一块三角形的纸片,我们一起做一个试验:过 的顶点 翻折纸片,得折痕 ,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上( , 与桌面接触).
2. 通过读图、识图、画图的过程，培养空间想象能力及运用图形和符号语言进行交流的能力.
【情感态度与价值观】
学生在观察、探究、发现中学习，在自主、合作、交流中学习.体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极地学习态度，提高学习的自我效能感.
教学重难点：
【教学重点】
归纳出直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理.
②经过斜线上除斜足外任一点作平面的垂线，确定垂足，进而确定斜线在平面内的射影；
③解由垂线、斜线及其射影构成的直角三角形，求出线面角．
3.二面角
⑴ 定义：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.表示方法：棱为 、面分别为 的二面角记作二面角 .有时为了方便，也可在 内(棱以外的半平面部分)分别取点 ，将这个二面角记作二面角 .如果棱记作 ，那么这个二面角记作二面角 或 .
本节课的设计遵循从具体到抽象的原则，适当运用多媒体辅助教学手段，借助实物模型，通过直观感知、操作确认、合情推理归纳出线面、面面垂直的判定定理，将合情推理与演绎推理有机结合，让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中，揭示线面、面面垂直的判定，养成积极主动、勇于探索、自主学习的学习方式，发展学生的空间观念和空间想象力，提高学生的数学逻辑思维能力.
③如果两个平行平面中的一个与一条直线垂直，那么另一个也与这条直线垂直．
2．直线与平面所成角
⑴ 定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线.过斜线上斜足外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
问题4：两个平面什么状态叫面面垂直呢？想直角是九十度一样，那两平面的这种角度是在哪体现呢？
问题5：那除了找二面角平面角确定垂直还有其他方法吗？由线面垂直如何得到面面垂直呢？
问题6：演示开门、关门的过程：门与地面始终垂直吗？为什么？将课本打开，直立放在桌面上，每页纸张与桌面是否垂直？为什么？（用判定定理解释）
【教学难点】
直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理的合情推理及其应用.
课前准备：
课件、学案、实物模型.
教学过程：
一、课题引入：
之前我们学习了线面平行、面面平行的判定定理、性质定理.那今天我们一起来研究另一种特殊的位置关系，垂直关系.日常生活中,我们对直线与平面垂直有很多感性认识,比如,旗杆与地面的位置关系,大桥的桥柱与水面的位置关系等,都给我们以直线与平面垂直的印象.在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子.随着时间的变化，尽管影子的位置在移动，但旗杆与影子所在直线永远垂直.
⑴折痕AD与桌面垂直吗?
⑵如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面α垂直?
二、新课探究：
1．直线和平面垂直
⑴ 定义：如果直线 和平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 与平面 互相垂直，记作 .直线 叫平面 的垂线；平面 叫直线 的垂面；垂线和平面的交点叫垂足.
注：①定义中“平面 内的任意一条直线”就是指“平面 内的所有直线”，这
②要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条
相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则
无关紧要.
相关的重要结论：
①过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；过一点与已知平面垂直的直线有且
只有一条．
②如果两条平行线中的一条与一个平面垂直，那么另一条也与这个平面垂直．
《垂直关系的判定》教学设计
教材分析:
本节内容在立体几何学习中，具有重要的意义和地位.在平行的基础上进一步研究立体几何中最重要的关系----垂直关系:线面垂直、面面垂直的判定定理，结合有关的实物模型，通过直观感知、操作确认（合情推理，不要求证明）归纳出垂直关系的判定定理.本节课的学习对培养学生空间感与逻辑推理能力起到重要作用，以及之后的考试中都是最为核心的内容.当然也最为复杂.
二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.
与“无数条直线”不同，注意区别.
②直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式.
③若 ，则 .
⑵ 直线与平面垂直的判定定理
文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．
图形语言：
符号语言： , ， ， ， .
注:①判定定理的条件中：“平面内的两条相交直线”是关键性词语，不可忽视.
教学目标：
【知识与能力目标】
1. 掌握直线与平面垂直的判定定理；
2. 掌握两平面垂直的判定定理；
3．了解直线与平面所成角及平面与平面所成角的概念及其求法；
4．能熟练应用直线与平面、平面与平面垂直的判定定理解决相关问题．
【过程与方法】
1. 学生通过观察实物及模型，归纳得出直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理.
问题7：判定面面垂直的本角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线构成的角叫做二面角的平面角.
②二面角的平面角 的范围：0°≤ ≤180°．当两个半平面重合时， =0°；当两个半平面相交时，0°＜ ＜180°；当两个半平面合成一个平面时， =180°．
注：(1)直线与平面平行，直线在平面上的射影是一条直线.
(2)直线与平面垂直时射影是点.
(3)斜线上任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上.
⑵直线与平面所成的角 的范围：0°≤ ≤90°
直线和平面相交时，0°< ≤90°．
垂直时， =90°
直线和平面平行或直线在平面内， =0°．
．
⑶求斜线与平面所成角的一般步骤：
问题1：如果一条直线垂直于一个平面的无数条直线,那么这条直线是否与这个平面垂直?举例说明.
问题2：直线垂直于平面内任意一条直线，则直线与平面垂直，但如果用这个方式证明好吗？那如何证明呢？
问题3：请同学们准备一块三角形的纸片,我们一起做一个试验:过 的顶点 翻折纸片,得折痕 ,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上( , 与桌面接触).
2. 通过读图、识图、画图的过程，培养空间想象能力及运用图形和符号语言进行交流的能力.
【情感态度与价值观】
学生在观察、探究、发现中学习，在自主、合作、交流中学习.体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极地学习态度，提高学习的自我效能感.
教学重难点：
【教学重点】
归纳出直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理.